Геометрия гамильтоновых систем для многообразий и потенциалов Бертрана (1102755), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Ïîâåðõíîñòè Áîííå îïðåäåëÿþòñÿ êàê äâóìåðíûå ïîâåðõíîñòè â R3 ñ ïîìîùüþ ñðåäíåé êðèâèçíû H , ïîýòîìó ñðàâíèâàòü ñ íèìè áóäåì òîëüêî ðèìàíîâû ìíîãîîáðàçèÿ Áåðòðàíà, ðåàëèçóåìûå â R3 .Äîêàçàòåëüñòâî.Ïàðà ðèìàíîâûõ ïîâåðõíîñòåé S1 , S2 íàçûâàåòñÿ ïàðîé Áîííå, åñëè ñóùåñòâóåò èçîìåòðèÿ h : S1 → S2 , ñîõðàíÿþùàÿ ñðåäíþþ êðèâèçíó. Ïîâåðõíîñòü,âõîäÿùàÿ â êàêóþ-íèáóäü ïàðó Áîííå, íàçûâàåòñÿ ïîâåðõíîñòüþ Áîííå.Îïðåäåëåíèå 3.2.1.Ïîâåðõíîñòè Áîííå, åñòåñòâåííî, âëîæåíû â R3 , â îòëè÷èå îò ïîâåðõíîñòåé Áåðòðàíà è Òàííåðè, êîòîðûå ìîãóò ïîëíîñòüþ âêëàäûâàòüñÿ â R3 , ÷àñòè÷íî èëèâîîáùå íå âêëàäûâàòüñÿ. Ïîâåðõíîñòü Áåðòðàíà ðåàëèçóåòñÿ â R3 êàê ïîâåðõíîñòü âðàùåíèÿ ïðè òåõ çíà÷åíèÿõ c, t, µ è θ ∈ (a, b), ïðè êîòîðûõÇàìå÷àíèå 3.2.1.µ2 (θ2 + c − tθ−2 ) ≥ (θ + tθ−3 )2 .(3.2.1)Ïðî ïîâåðõíîñòè Áîííå èçâåñòíî ñëåäóþùåå.Óòâåðæäåíèå 8.Ïóñòü S äâóìåðíàÿ ïîâåðõíîñòü â R3 .1.
Åñëè S ïîâåðõíîñòü ñåìåéñòâà Áîííå, òî èíäóöèðîâàííàÿ ñ R3 íà S ìåòðèêàÿâëÿåòñÿ ìåòðèêîé âðàùåíèÿ.2. Ñðåäè êîìïàêòíûõ ïîâåðõíîñòåé êëàññà ãëàäêîñòè C 2 è ðîäà p = 0 íåò ïàð Áîííå.3. (Ã.Ð. Æóêîâ) Åñëè ïîâåðõíîñòü âðàùåíèÿ S ñ ìåòðèêîé (1.1.1) è êîîðäèíàòàìè(u, ϕ mod 2π) íå èìååò îìáèëè÷åñêèõ òî÷åê è åå ñðåäíÿÿ êðèâèçíà íåïîñòîÿííà(H 0 (u) 6= 0 ∀u), òî ïîâåðõíîñòü S ÿâëÿåòñÿ ïîâåðõíîñòüþ Áîííå òîãäà è òîëüêîòîãäà, êîãäà(3.2.2)a22 (v) H 2 (v) − K(v) = c0 Hs0 (v).Çäåñü H, K ñðåäíÿÿ è ãàóññîâà êðèâèçíû ñîîòâåòñòâåííî, c0 êîíñòàíòà, v íàòóðàëüíûé ïàðàìåòð ïðîôèëüíîé êðèâîé (ìåðèäèàíà).Ñôåðà S 2 ñ ìåòðèêîé âðàùåíèÿ ïîâåðõíîñòü Òàííåðè, åñëè âñå ãåîäåçè÷åñêèå íà íåéçàìêíóòû (ñì. òåîðåìó 2).
Äîïóñêàåòñÿ íàëè÷èå îñîáåííîñòåé â ïîëþñàõ ñôåðû (ïîäðîáíåå ñì. â [5]), ïîýòîìó èõ ìîæíî âûêîëîòü è ðàññìàòðèâàòü ïîâåðõíîñòü Òàííåðè êàê66ïîâåðõíîñòü S ≈ (a, b) × S 1 ñ ìåòðèêîé (1.1.1). Ïåðå÷åíü âñåõ ìåòðèê âðàùåíèÿ ïîâåðõíîñòåé Òàííåðè äà¼ò òåîðåìà 2.Ïîâåðõíîñòè Áåðòðàíà íå èìåþò ýêâàòîðîâ (òî÷åê u0 : a022 (u0 ) = 0), à ïîâåðõíîñòè Òàííåðè âñåãäà èìåþò ðîâíî îäèí ýêâàòîð. Ïîýòîìó ãëîáàëüíî ýòè äâà êëàññà íåïåðåñåêàþòñÿ.
Èñõîäíûå ïîâåðõíîñòè Òàííåðè (ãîìåîìîðôíûå ñôåðå, áåç âûêàëûâàíèÿïîëþñîâ) êîìïàêòíûå, à ñðåäè òàêèõ ïîâåðõíîñòåé íå ìîæåò áûòü ïîâåðõíîñòè Áîííåïî óòâåðæäåíèþ 8.  ïðîòèâîïîëîæíîñòü ïàðàì Áîííå, ïîâåðõíîñòè Áåðòðàíà è Òàííåðè ìîãóò âîîáùå íå âêëàäûâàòüñÿ â R3 . Îäíàêî ïàðå ïàðàìåòðîâ (c, t) ∈ Ω3 (ñì. ðèñ.√2.2) ñîîòâåòñòâóþò ñðàçó äâå ìàêñèìàëüíûå ïîâåðõíîñòè Áåðòðàíà S1 ≈ (0, 4 −t) × S 1√è S2 ≈ ( 4 −t, ∞) × S 1 (ñì.
òàáë. 2.1), êîòîðûå ìîæíî ãëàäêî ñêëåèòü ïî íåäîñòàþùåìó√ýêâàòîðó { 4 −t} × S 1 , ò.å. ñóùåñòâóåò ãëàäêàÿ ïîâåðõíîñòü S12 ≈ (0, ∞) × S 1 ñ ìåòðèêîé√√(2.1.2) òàêàÿ, ÷òî å¼ ïîäïîâåðõíîñòè (0, 4 −t)×S 1 è ( 4 −t, ∞)×S 1 ñóòü ìàêñèìàëüíûå ïîâåðõíîñòè Áåðòðàíà ñ îäíèì è òåì æå çíà÷åíèåì ïàðàìåòðîâ (c, t, µ), ïðè ýòîì âûïîëíåíî√ñîîòíîøåíèå a022 ( 4 −t) = 0, ò.å. S12 áóäåò èìåòü äâà ïîëþñà è îäèí ýêâàòîð. Íàïðèìåð,ïðè c > 0, t = 0, µ = 1 (ýòî ñîîòâåòñòâóåò ëó÷ó l1 , êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ãðàíèöåé îáëàñòèΩ3 íà ðèñ. 2.2) ìàêñèìàëüíûå ïîâåðõíîñòè Áåðòðàíà ÿâëÿþòñÿ ïðîêëîòûìè â ïîëþñàõïîëóñôåðàìè, êîòîðûå ìîæíî ñêëåèòü ïî ýêâàòîðó â ñôåðó áåç ïîëþñîâ.Óñòðàíèâ ïðåïÿòñòâèå â âèäå ýêâàòîðà, ìîæíî ñðàâíèòü ïîâåðõíîñòè Áåðòðàíà ñ ïîâåðõíîñòÿìè Òàííåðè.Íà ãëàäêîé ïîâåðõíîñòè S12 , ïîëó÷àåìîé ïðè îïèñàííîì âûøå ñêëåèâàíèè äâóõ ìàêñèìàëüíûõ ïîâåðõíîñòåé Áåðòðàíà S1 , S2 , çàäàííûõ ïàðîé ïàðàìåòðîâ(c, t) èç îáëàñòè Ω3 (ðèñ.
2.2), âñå ãåîäåçè÷åñêèå çàìêíóòû, çà èñêëþ÷åíèåì ìåðèäèàíîâ.Óòâåðæäåíèå 9.Äîêàçàòåëüñòâî.Óðàâíåíèÿ ãåîäåçè÷åñêèõ â êîîðäèíàòàõ (θ, ϕ) èìåþò âèä2(θ + tθ−3 ) 21θ̇ + 2 (θ + tθ−3 )ϕ̇2 = 0,2−2(θ + c − tθ )µdϕ̇ϕ̇= K.=0⇔dt µ2 (θ2 + c − tθ−2 )µ2 (θ2 + c − tθ−2 )(3.2.3)θ̈ −(3.2.4)Èç óðàâíåíèÿ (3.2.4) ìîæíî âûðàçèòü t è ïîäñòàâèòü â óðàâíåíèå (3.2.3), ïîëó÷èòñÿ óðàâíåíèå, çàäàþùåå êðèâóþ (ñîîòâåòñòâóþùóþ ãåîäåçè÷åñêîé) â âèäå ôóíêöèè θ = θ(ϕ):(3.2.5)µ2 θ00 + θ + tθ−3 = 0.Ïðîèíòåãðèðóåì óðàâíåíèå (3.2.5) äâà ðàçà:µ2 θ02 + θ2 + c − tθ−2 =1 Ecθ2 = ( 2 2 − ) 1 +µ K2s1+t( µ12 KE2Eµ2 K 2ϕ + ϕ0sin 2c 2µ− 2)Èç ðàöèîíàëüíîñòè µ ñëåäóåò çàìêíóòîñòü ãåîäåçè÷åñêîé.
67(3.2.6).!.(3.2.7)Òàêèì îáðàçîì óêàçàííûå â óòâåðæäåíèè ïîâåðõíîñòè Áåðòðàíà ñ ýêâàòîðàìè ÿâëÿþòñÿ ïîâåðõíîñòÿìè Òàííåðè.Ìåíåå òðèâèàëüíûì ÿâëÿåòñÿ âîïðîñ î ëîêàëüíîì ïåðåñå÷åíèè êëàññîâ, ò.å. ìîãóò ëèñóùåñòâîâàòü îáùèå êóñêè ó ïîâåðõíîñòåé èç ðàçíûõ êëàññîâ.Äâà êëàññà ïîâåðõíîñòåé âðàùåíèÿ (èç òðåõ ïåðå÷èñëåííûõ) ëîêàëüíî ïåðåñåêàþòñÿ, åñëè ñóùåñòâóþò ïîâåõíîñòü S1 ≈ (a1 , b1 )×S 1 ñ ìåòðèêîé diag(a211 (u),a222 (u)) èç ïåðâîãî êëàññà è ïîâåðõíîñòü S2 ≈ (a2 , b2 ) × S 1 ñ ìåòðèêîé diag(ā211 (u), ā222 (u))èç âòîðîãî, à òàêæå ÷èñëà a01 , b01 , a02 , b02 , òàêèå, ÷òî a1 ≤ a01 < b01 ≤ b1 , a2 ≤ a02 < b02 ≤ b2 ,è ãëàäêàÿ èçîìåòðèÿ h, ïåðåâîäÿùàÿ ïîëîñó ïåðâîé ïîâåðõíîñòè S 1 × (a01 , b01 ) â ïîëîñóâòîðîé S 1 × (a02 , b02 ).Îïðåäåëåíèå 3.2.2.Äðóãèìè ñëîâàìè, äâà êëàññà ëîêàëüíî ïåðåñåêàþòñÿ, åñëè êóñî÷åê (â âèäå ïîÿñà)êàêîé-òî ïîâåðõíîñòè èç ïåðâîãî êëàññà ñîâïàäàåò ñ êóñî÷êîì ïîâåðõíîñòè èç âòîðîãîêëàññà.
 ñëåäóþùåì óòâåðæäåíèè ïîâåðõíîñòè ïðåäïîëàãàþòñÿ âëîæåííûìè â R3 .Êëàññ ïîâåðõíîñòåé Áåðòðàíà è êëàññ ïîâåðõíîñòåé Áîííå ñ íåïîñòîÿííîé (∀v H (v) 6= 0) ñðåäíåé êðèâèçíîé ëîêàëüíî íå ïåðåñåêàþòñÿ.Óòâåðæäåíèå 10.0Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà óòâåðæäåíèÿ äîñòàòî÷íî óáåäèòüñÿ, ÷òî íèíà êàêîé îáëàñòè ïîâåðõíîñòè Áåðòðàíà íå âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå (3.2.2), îïðåäåëÿþùåå ïîâåðõíîñòü Áîííå, ñ ýòîé öåëüþ äëÿ ïîâåðõíîñòè Áåðòðàíà ïîñ÷èòàåì a22 , H, K ,ïîäñòàâèì èõ â ôîðìóëó (3.2.2) è óáåäèìñÿ, ÷òî ðàâåíñòâî (3.2.2) íàðóøèòñÿ.Ïî ìåòðèêå (2.1.2) âëîæåííîé â R3 ïîâåðõíîñòè Áåðòðàíà ïîñ÷èòàåì å¼ ñðåäíþþ è1ãàóññîâó êðèâèçíû.
Èòàê, êîìïîíåíòû ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà Ē = a211 = (θ2 +c−tθ−2 )2 , F̄ = 0,1Ḡ = µ2 (θ2 +c−tθ−2 ) . Ãàóññîâà êðèâèçíà âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå1∂ Ḡθ√K = −√,Ē Ḡ ∂θ Ē Ḡ÷òî â èòîãå äàåòK = c − 6tθ−2 − 3tcθ−4 + 2t2 θ−6 .(3.2.8)Äîêàçàòåëüñòâî.Äëÿ ïîäñ÷åòà ñðåäíåé êðèâèçíû âû÷èñëèì ñíà÷àëà ãëàâíóþ êðèâèçíó λ1 êàê êðèâèçíóïðîôèëüíîé êðèâîé (ìåðèäèàíà), çàòåì ïîäåëèì íà íåå K è íàéäåì λ2 . Ñðåäíÿÿ êðèâèçíàáóäåò èõ ñðåäíèì àðèôìåòè÷åñêèì. Èìååìpλ1 = µ2 (θ2 + c − tθ−2 ) − (θ + tθ−3 )2 ,2H =µ2 (θ2 + c − tθ−2 ) − (θ + tθ−3 )2 + c − 6tθ−2 − 3tcθ−4 + 2t2 θ−6p.µ2 (θ2 + c − tθ−2 ) − (θ + tθ−3 )2Îñòàëîñü âû÷èñëèòü Hv0 . Äëÿ ýòîãî çàìåòèì, ÷òî íàòóðàëüíûé ïàðàìåòð v ñâÿçàí ñ θRdθñîîòíîøåíèåì v = µ2 (θ2 +c−tθ−2 ) .
ÈìååìHv0 = Hθ0 · θv0 = Hθ0 ·1= Hθ0 · µ2 (θ2 + c − tθ−2 ).0vθ68Âû÷èñëåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî ïîñëå ïîäñòàíîâêè K, H, Hv0 , a22 â ôîðìóëó (3.2.2), ðàâåíñòâî íå âûïîëíÿåòñÿ äàæå ëîêàëüíî. Ñîîòíîøåíèå (3.2.2) çàäàåò ïîâåðõíîñòè Áîííå è åùå íåêîòîðûå ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ ñ îìáèëè÷åñêèìè òî÷êàìè; êàê ìû ïîêàçàëè òîëüêî ÷òî, íè òå, íè äðóãèå íå áóäóòïîâåðõíîñòÿìè Áåðòðàíà.Êàê ïîêàçûâàåò ñîîòíîøåíèå (3.2.8) äëÿ ðèìàíîâûõ ïîâåðõíîñòåé Áåðòðàíà ïðè t = 0ãàóññîâà êðèâèçíà ïîâåðõíîñòè ðàâíà ïàðàìåòðó c.
Íàïðèìåð, ïðè ïîëîæèòåëüíûõ c èµ = 1 èìååì ïîëóñôåðó, ïðè÷åì åå ðàäèóñ ðàâåí √1c . Ñîãëàñíî òåîðåìå 7 âñå ïîëóñôåðû,çàäàííûå ðàçëè÷íûìè çíà÷åíèÿìè ïàðàìåòðà c, ïîäîáíû äðóã äðóãó, ÷òî ñîîòâåòñòâóåòîæèäàíèÿì, ïðè ýòîì êîíñòàíòà k , ñâÿçûâàþùàÿ c1 è c2 , ÿâëÿåòñÿ êîýôôèöèåíòîì ïîäîáèÿ.Äëÿ ïîâåðõíîñòåé Áåðòðàíà â R3 , ñîîòâåòñòâóþùèõ çíà÷åíèÿì ïàðàìåòðîâ t = 0, µ =1, ïîäðîáíî îïèñàíû ìíîãèå äåòàëè äâèæåíèÿ, â ò.÷. ñôîðìóëèðîâàíû àíàëîãè çàêîíîâÊåïëåðà. Ñôîðìóëèðóåì ýòè àíàëîãè äëÿ ïîëóñôåðû, äëÿ ïëîñêîñòè Ëîáà÷åâñêîãî îíèôîðìóëèðóþòñÿ àíàëîãè÷íî ñ ñîîòâåòñòâóþùåé çàìåíîé âñåõ ñèíóñîâ íà ãèïåðáîëè÷åñêèåñèíóñû.
Äëÿ ïåðâîãî çàêîíà Êåïëåðà ïîíàäîáèòñÿ îïðåäåëåíèå 3.2.3.Ðàññìîòðèì â R3 ñ äåêàðòîâûìè êîîðäèíàòàìè (x, y, z) ïîëóñôåðóS = {x2 + y 2 + z 2 = r2 , z < 0} è çàìêíóòîå ñå÷åíèå γ íà íåé êîíóñîì âòîðîãî ïîðÿäêàñ âåðøèíîé â íà÷àëå êîîðäèíàò. Òîãäà êðèâàÿ γ îáëàäàåò îïòè÷åñêèì ñâîéñòâîì, ò.å. íàïîëóñôåðå ñóùåñòâóþò äâå òî÷êè F1 , F2 òàêèå, ÷òî ëþáîé ëó÷, âûïóùåííûé èç F1 ïîñëåîòðàæåíèÿ îò γ ïðîéäåò ÷åðåç F2 (ëó÷ ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ïî ãåîäåçè÷åñêèì). Íàçîâåìòî÷êè F1 è F2 ôîêóñàìè γ .Îïðåäåëåíèå 3.2.3.(Ïåðâûé çàêîí Êåïëåðà äëÿ ñôåðû [18]). Ïóñòü çàäàíà ïîëóñôåðà CSñ êîîðäèíàòàìè (θ, ϕ) è ìåòðèêîé (2.1.2). Ïóñòü íà ñôåðå äåéñòâóåò àíàëîã íüþòîíîâñêîãî ïîòåíöèàëà V1 èëè àíàëîã ãóêîâñêîãî V2 .
Òîãäà ÷àñòèöà áóäåò äâèãàòüñÿ ïîêîíè÷åñêîìó ñå÷åíèþ, ãäå êîíóñ ÿâëÿåòñÿ êâàäðèêîé è åãî öåíòð ñîâïàäàåò ñ öåíòðîìñôåðû. Êàê è â ïëîñêîñòè íà ïîëóñôåðå àíàëîã ãðàâèòàöèîííîãî ïîòåíöèàëà äà¼ò ýëëèïñ ñ ïðèòÿãèâàþùèì öåíòðîì â ôîêóñå, à â ñëó÷àå îñöèëëÿòîðíîãî ïðèòÿãèâàþùèéöåíòð áóäåò â öåíòðå êâàäðèêè.Óòâåðæäåíèå 11×òîáû îáîáùèòü âòîðîé çàêîí Êåïëåðà íà ïîëóñôåðó íåîáõîäèìî ââåñòè ïîíÿòèå òåíè ÷àñòèöû. Ñîåäèíèì òî÷êó, â êîòîðîé íàõîäèòñÿ ÷àñòèöà, ñ ïîëþñîì ïîëóñôåðû ñïîìîùüþ ìåðèäèàíà, òîãäà ïðè äâèæåíèè ÷àñòèöû ïî ïîâåðõíîñòè äóãà áîëüøîãî êðóãà,ñîåäèíÿþùàÿ òî÷êó ñ ïîëþñîì, çàìåòàåò íåêîòîðóþ ïëîùàäü s(t).
Äëÿ óêàçàííîé ïëîùàäè âòîðîé çàêîí Êåïëåðà íå âûïîëíÿåòñÿ, ò.å. ṡ(t) 6= 0. Ñîïîñòàâèì êàæäîé ÷àñòèöå(ν, ϕ) å¼ òåíü, ò.å. òî÷êó (2ν, ϕ), ãäå (ν, ϕ) ñôåðè÷åñêèå êîîðäèíàòû, êîòîðûå ñâÿçàíû ñáåðòàíîâñêèìè ñëåäóþùèì îáðàçîì: θ = ctgν, ϕ = ϕ.69(Âòîðîé çàêîí Êåïëåðà äëÿ ñôåðû [37]). Ïóñòü çàäàíà ïîëóñôåðà CSñ êîîðäèíàòàìè (θ, ϕ) è ìåòðèêîé (2.1.2).
Ïóñòü íà CS äåéñòâóåò àíàëîã íüþòîíîâñêîãî ïîòåíöèàëà V1 èëè àíàëîã ãóêîâñêîãî V2 . Òîãäà ïëîùàäè, çàìåòàåìûå çà ðàâíûåèíòåðâàëû âðåìåíè ìåðèäèàíîì, ñîåäèíÿþùèì òåíü äâèæóùåéñÿ ÷àñòèöû ñ ïîëþñîìïîëóñôåðû, ðàâíû.Óòâåðæäåíèå 12Ñòîèò çàìåòèòü, ÷òî íå äëÿ êàæäîé òî÷êè ïîëóñôåðû îïðåäåëåíà å¼ òåíü (äëÿ òî÷åêëåæàùèõ âáëèçè ýêâàòîðà óäâîåííàÿ øèðîòà âûõîäèò çà ïðåäåëû ýêâàòîðà, ò.å.
ïîâåðõíîñòè), õîòÿ åñëè ñ÷èòàòü òåíü àáñòðàêòíîé òî÷êîé, ïðèíàäëåæàùåé öåëîé ñôåðå (ò.å.÷àñòèöà äâèãàåòñÿ ïî ïîëóñôåðå, à å¼ òåíü ïî ïîëíîé ñôåðå), òî òîãäà çàêîí îáîáùàåòñÿáåç îãðàíè÷åíèé.(Òðåòèé çàêîí Êåïëåðà äëÿ ñôåðû [37]). Ïóñòü çàäàíà ïîëóñôåðà CS ñêîîðäèíàòàìè (θ, ϕ) è ìåòðèêîé (2.1.2). Ïóñòü íà CS äåéñòâóåò àíàëîã íüþòîíîâñêîãîïîòåíöèàëà V1 . Òîãäà ïåðèîä äâèæåíèÿ T ÷àñòèöû ïî îðáèòå (ò.å. ïåðèîä òðàåêòîðèè)çàâèñèò òîëüêî îò ñóììû ν1 + ν2 , ãäå ν1 , ν2 ïåðè è àïîöåíòðû â ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ, ò.å. ïðîñòî øèðîòû ïåðè- è àïîöåíòðîâ.Óòâåðæäåíèå 13Ê ñîæàëåíèþ, îáîáùèòü ýòè çàêîíû íà ïîâåðõíîñòè Áåðòðàíà, îòâå÷àþùèå íåíóëåâîìó çíà÷åíèþ ïàðàìåòðà t, íå óäàåòñÿ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
