Геометрия гамильтоновых систем для многообразий и потенциалов Бертрана (1102755), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Äâå ïîâåðõíîñòè S1 = Sc1 ,t1 ,µ1 ,a1 ,b1 è S2 = Sc2 ,t2 ,µ2 ,a2 ,b2 S 1 -èçîìåòðè÷íû òîãäà èòîëüêî òîãäà, êîãäà ñîâïàäàþò âñå ïàðàìåòðû (c1 , t1 , µ1 , a1 , b1 ) = (c2 , t2 , µ2 , a2 , b2 ).Äâå ïîâåðõíîñòè S1 = Sc1 ,t1 ,µ1 ,a1 ,b1 è S2 = Sc2 ,t2 ,µ2 ,a2 ,b2 ϕ-èçîìåòðè÷íû â îêðåñòíîñòè ñâîèõ ìåðèäèàíîâ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà (c1 , t1 , a1 , b1 ) = (c2 , t2 , a2 , b2 ),ò.å.
÷àñòü {(θ, ϕ) : 0 < ϕ < ϕ1 } ⊂ Sc1 ,t1 ,µ1 ,a1 ,b1 âåðòèêàëüíî èçîìåòðè÷íà ÷àñòè{(θ, ϕ) : 0 < ϕ < µµ21 ϕ1 } ⊂ Sc2 ,t2 ,µ2 ,a2 ,b2 .2. Äâå ïîâåðõíîñòè Sc1 ,t1 ,µ1 ,a1 ,b1 è Sc2 ,t2 ,µ2 ,a2 ,b2 S 1 -ïîäîáíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàñóùåñòâóåò k > 0: t1 = k 4 t2 , c1 = k 2 c2 , a1 = ka2 , b1 = kb2 , µ1 = µ2 .Ïðè çíà÷åíèè ïàðàìåòðîâ (c, t) èç îáëàñòè Ω3 = {(c, t) : c2 + 4t < 0} ∩ {(c, t) : t <0, c > 0, c2 + 4t > 0} äëÿ ðèìàíîâà ñëó÷àÿ è Ω2 = {(c, t) : c2 + 4t > 0, t < 0, c < 0} äëÿïñåâäîðèìàíîâà (ñì. ðèñ. 2.2, 2.1) èìåþòñÿ äâå ìàêñèìàëüíûå ïîâåðõíîñòè Áåðòðàíà, è,êàê ïîêàçûâàåò òåîðåìà 7, îíè íå èçîìåòðè÷íû äðóã äðóãó è íå ïîäîáíû.Äâå ïîäïîâåðõíîñòè Áåðòðàíà îäíîé ìàêñèìàëüíîé ïîâåðõíîñòè òàêæå íå ìîãóò áûòü íèèçîìåòðè÷íûìè, íè ïîäîáíûìè.Êàê óæå óïîìèíàëîñü âûøå, ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë µ = pq ðàñêðûâàëñÿ â ÷àñòíîñòè âòîì, ÷òî îêðåñòíîñòü ìåðèäèàíà ïîâåðõíîñòè Sc,t,µ íàêðûâàëà íåêîòîðóþ ïîâåðõíîñòüäîëüêó q -ëèñòíî, à îêðåñòíîñòü ìåðèäèàíà ïîâåðõíîñòè Sc,t,1 íàêðûâàëà òó æå ñàìóþïîâåðõíîñòü-äîëüêó p-ëèñòíî; ïîýòîìó ëîêàëüíî (â îêðåñòíîñòè ìåðèäèàíîâ) Sc,t,µ è Sc,t,1èçîìåòðè÷íû, ÷òî è ïîäòâåðæäàåò òåîðåìà 7.Äâå ïîâåðõíîñòè Áåðòðàíà ïîäîáíû, åñëè ó íèõ ñîâïàäàåò ðàöèîíàëüíûé ïàðàìåòð µ, àòî÷êè (c1 , t1 ) è (c2 , t2 ) â ïëîñêîñòè Oct ëåæàò íà îäíîé ïàðàáîëå; êàê ñëåäóåò èç òåîðåìû 7âñå ïîâåðõíîñòè Áåðòðàíà (ñ îäíèì è òåì æå µ è ïîäõîäÿùèìè ãðàíèöàìè), îòâå÷àþùèå50òî÷êàì êðèâîé, ðàçäåëÿþùåé çîíû Ω2 è Ω3 (â ðèìàíîâîì ñëó÷àå, ñì.
ðèñ. 2.2) ïîäîáíû,ò.ê. ýòà êðèâàÿ âåòâü ïàðàáîëû c2 +4t = 0. Ñòîèò îòìåòèòü, ÷òî ëó÷è {(c, t) : t = 0, c > 0}è {(c, t) : t = 0, c < 0} óäîáíî â ýòîé òåîðåìå ñ÷èòàòü âûðîæäåííûì ñëó÷àåì ïàðàáîëû,ò.ê. îíè ôîðìàëüíî óäîâëåòâîðÿþò òðåáîâàíèÿì òåîðåìû, ïðè ýòîì ïîâåðõíîñòè, ñîîòâåòñòâóþùèå ïåðâîìó ëó÷ó íå ïîäîáíû ïîâåðõíîñòÿì, ñîîòâåòñòâóþùèì âòîðîìó ëó÷ó.Íàïðèìåð, â ðèìàíîâîì ñëó÷àå ïðè c = 1, µ = 1 (ïåðâûé ëó÷) èìååì ïðîêîëîòóþ ïîëóñôåðó, à ïðè c = −1, µ = 1 (âòîðîé ëó÷) èìååì ïðîêîëîòóþ ïëîñêîñòü Ëîáà÷åâêîãî,êîòîðûå íå èçîìåòðè÷íû è íå ïîäîáíû. Ñëó÷àé c = t = 0 (âîçìîæåí òîëüêî â ðèìàíîâîìñëó÷àå) ÿâëÿåòñÿ îáîñîáëåííûì è ñîîòâåòñòâóþùèå ïîâåðõíîñòè Áåðòðàíà íå ïîäîáíûíèêàêèì äðóãèì.Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè ó óêàçàííûõ ïîâåðõíîñòåé ñîâïàäàþò âñå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ, òî â êà÷åñòâå S 1 -èçîìåòðèè äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü òîæäåñòâåííîå ñîïîñòàâëåíèå h,ïåðåâîäÿùåå òî÷êó x ïåðâîé ïîâåðõíîñòè ñ êîîðäèíàòàìè (θ, ϕ) â òî÷êó h(x) âòîðîé ïîâåðõíîñòè ñ òåìè æå êîîðäèíàòàìè.Îáðàòíî, åñëè ñóùåñòâóåò òðåáóåìàÿ S 1 -èçîìåòðèÿ h: (θ1 , ϕ1 ) ∈ S1 → (θ2 , ϕ2 ) ∈ S2 ; òî âñèëó òîãî, ÷òî ïàðàëëåëè ïåðåõîäÿò â ïàðàëëåëè, âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî êîìïîíåíò a222ìåòðèêè, ò.å.
âåðíî µ2 (θ2 +c1−t θ−2 ) = µ2 (θ2 +c1−t θ−2 ) . Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî âûïîëíÿåòñÿ íå â11 122 21 12 2îäíîé òî÷êå, à íà èíòåðâàëå, êîãäà θ1 ïðîáåãàåò èíòåðâàë (a1 , b1 ), θ2 = h(θ1 ) ïðîáåãàåòèíòåðâàë (a2 , b2 ); ìîæíî ñ÷èòàòü ïðàâóþ ÷àñòü ñëîæíîé ôóíêöèåé µ2 (θ2 +c1−t θ−2 ) ◦ θ2 (θ1 ),22 22 2îïðåäåë¼ííîé íà èíòåðâàëå (a1 , b1 ).
Òàê êàê ìåðèäèàí èçîìåòðè÷íî ïåðåõîäèò â ìåðèäèàí, òî (µ1 /µ2 )4 (dθ1 )2 = (dθ2 )2 , ò.å. θ2 = ±(µ1 /µ2 )2 θ1 + const. Îòñþäà ñëåäóåò ðàâåíñòâîïàðàìåòðîâ c, t, µ è òîæäåñòâåííîñòü ôóíêöèè θ2 (θ1 ), à çíà÷èò è ðàâåíñòâî ïàðàìåòðîâ aè b. ñëó÷àå ϕ-èçîìåòðèè îêðåñòíîñòåé ìåðèäèàíîâ, åñëè âûïîëíåíî (c1 , t1 , a1 , b1 ) == (c2 , t2 , a2 , b2 ), òî â êà÷åñòâå òðåáóåìîãî îòîáðàæåíèÿ ìîæíî âçÿòü ñëåäóþùåå h : (θ1 , ϕ1 ) ∈S1 → (θ1 , µµ12 ϕ1 ) ∈ S2 .
Äîêàæåì îáðàòíîå. Ïóñòü ñóùåñòâóåò äèôôåîìîðôèçì h : {−ε1 <ϕ1 < ε1 } ⊂ S1 → {−ε2 < ϕ2 < ε2 } ⊂ S2 , ïåðåâîäÿùèé ìåðèäèàíû â ìåðèäèàíûè òàêîé, ÷òî h∗ g2 = g1 . Íî â ýòîì ñëó÷àå íà íóëåâîì ìåðèäèàíå äîëæíî áûòü âûdϕ22ε21dϕ2 (ϕ )ε10è(ϕ)=±=,îòêóäàñëåäóåòïîëíåíî µ2 (θ2 +c1 −t2 θ−2 ) = µ2 (θ2 +c −t−2122ϕ2εθ )µ (θ +c −t θ−2 )21111 12222 211ε22. Êàê è â ñëó÷àå S 1 -èçîìåòðèè (ñì. âûøå), îòñþäà ïîëó÷àåì,22µ2 (θ2 +c2 −t2 θ2−2 )±(µ1 ε2 )2 θ1 /(µ2 ε1 )2 + const. Îòñþäà ñëåäóþò ðàâåíñòâà c1 = c2 , t1 = t2 , µ1 /ε111 1÷òî θ2 == µ2 /ε2 èòîæäåñòâåííîñòü ôóíêöèè θ2 (θ1 ), à çíà÷èò è a1 = a2 , b1 = b2 .Âî âòîðîì óòâåðæäåíèè òåîðåìû ïðîâåðèì, ÷òî åñëè íàáîðû ÷èñåë (c1 , t1 , µ1 , a1 , b1 )è (c2 , t2 , µ2 , a2 , b2 ) óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ òåîðåìû, òî ñîîòâåòñòâóþùèå èì ïîâåðõíîñòèS 1 −ïîäîáíû.
Âåðíî, ÷òî µ1 = µ2 è ñóùåñòâóåò k > 0: c1 = k 2 c2 , t1 = k 4 t2 , a1 = ka2 , b1 =kb2 . Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå h: S1 → S2 , êîòîðîå òî÷êó x ∈ S1 ñ êîîðäèíàòàìè (θ1 , ϕ)ïåðåâîäèò â òî÷êó h(x) ∈ S2 ñ êîîðäèíàòàìè (θ2 = θ1 /k, ϕ). Ìåòðèêà âòîðîé ïîâåðõíîñòè51â òî÷êå h(x) ðàâíà2dθ22 (θ1 )+ µ2 (θ2 (θ )+cdϕ−t θ−2 (θ )) =(θ22 (θ1 )+c2 −t2 θ2−2 (θ1 ))2122 22 12dθ2 (θ )== (θ2 (θ )+ c1 −t2 θ1−2 (θ )k−4 )2 + µ2 (θ2 (θ )+ c1dϕ−t1 θ2−2 (θ1 )k−4 )11 22 12 1k2k2k2 dθ12dθ12k2 dϕ2dϕ22+=k+−2−2−2−2(θ12 +c1 −t1 θ1 )2µ2 (θ12 +c1 −t1 θ1 )(θ12 +c1 −t1 θ2 )2µ2 (θ12 +c1 −t1 θ2 )h∗ g2 === k 2 g1 .Òàêèì îáðàçîì h ÿâëÿåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèåì S 1 -ïîäîáèÿ. Äîêàæåì îáðàòíîå. Ïóñòü ñóùåñòâóþò êîíñòàíòà k > 0 è äèôôåîìîðôèçì h : S1 → S2 , ïåðåâîäÿùèé ïàðàëëåëè âïàðàëëåëè è òàêîé, ÷òî h∗ g2 = k 2 g1 .
Íî ïî äîêàçàííîìó ñóùåñòâóåò äèôôåîìîðôèçìh̃ : S1 → S̃1 := Sc1 /k2 ,t1 /k4 ,µ1 ,a1 /k,b1 /k , ïåðåâîäÿùèé ïàðàëëåëè â ïàðàëëåëè è òàêîé, ÷òîh̃∗ g̃1 = k 2 g1 . Çíà÷èò, S2 è S̃1 ÿâëÿþòñÿ S 1 -èçîìåòðè÷íûìè.  ñèëó ï.1 èìååì S2 = S̃1 , ÷òîè òðåáîâàëîñü.Íà ñåãîäíÿøíèé äåíü óñòàíîâëåíî íåìàëî ñâîéñòâ äâèæåíèÿ ïî ïîâåðõíîñòÿì Áåðòðàíà ñ ðèìàíîâîé ìåòðèêîé è ïîñòîÿííîé ãàóññîâîé êðèâèçíîé (ò.å. åâêëèäîâîé ïëîñêîñòè, ñôåðå è ïëîñêîñòè Ëîáà÷åâñêîãî, êîòîðûì ñîîòâåòñâóþò çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîât = 0, µ = 1) ïîä äåéñòâèåì ïîòåíöèàëîâ Íüþòîíà è Ãóêà (è èõ àíàëîãîâ), â òîì ÷èñëåïîñ÷èòàíû ïåðèîäû äâèæåíèé ïî çàìêíóòûì îðáèòàì, äëÿ ýòèõ ïåðèîäîâ óñòàíîâëåíûçàêîíû Êåïëåðà è èõ àíàëîãè. Íàïðèìåð, â ñëó÷àå ïëîñêîñòè Ëîáà÷åâñêîãî âåðåí ñëåäóþùèé ôàêò (ñì. [37]).(Êîçëîâ Â.Â.).
Ïóñòü çàäàíà ïîâåðõíîñòü CL ñ êîîðäèíàòàìè (θ, ϕ)è ìåòðèêîé (2.1.2), ãäå c = −1, µ = 1. Ïóñòü íà CL äåéñòâóåò àíàëîã íüþòîíîâñêîãîïîòåíöèàëà V1 èëè àíàëîã ãóêîâñêîãî V2 (ñì. çàì. 2.1.5). Òîãäà ïåðèîä äâèæåíèÿ T ÷àñòèöû ïî îðáèòå (ò.å. ïåðèîä òðàåêòîðèè) çàâèñèò òîëüêî îò èíòåãðàëà ýíåðãèè E ,è íå çàâèñèò îò èíòåãðàëà êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà, ïðè÷¼ì çàâèñèìîñòü èìååò âèäs,rr2ππEE2E2T =√−1− 1 (â ñëó÷àå V1 ).(â ñëó÷àå V2 ), T = √− −AA2A2A − 2EA(2.3.1)Óòâåðæäåíèå 4Îêàçûâàåòñÿ (êàê ñëåäóåò èç ðàáîòû Ãîðäîíà [11]), â ñëó÷àå, åñëè â íåêîòîðîé îáëàñòè ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà ïðîèçâîëüíîé àâòîíîìíîé ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû âñå ôàçîâûå îðáèòû çàìêíóòû, òî ïåðèîä äâèæåíèÿ ïî çàìêíóòîé òðàåêòîðèè çàâèñèò òîëüêî îòèíòåãðàëà E .
 ñëó÷àå ñ ïëîñêîñòüþ Ëîáà÷åâñêîãî ÿâíûé âèä òàêîé çàâèñèìîñòè äà¼òóòâåðæäåíèå 4. Äëÿ ïîâåðõíîñòåé Áåðòðàíà, ñîîòâåòñòâóþùèõ çíà÷åíèÿì ïàðàìåòðîâ èçîáëàñòè {c2 + 4t > 0}, ÿâíûé âèä äà¼ò ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.Ïóñòü çàäàíà ñèñòåìà Áåðòðàíà (S, V ), ãäå S ïîâåðõíîñòü Áåðòðàíà ñ ðèìàíîâîé ìåòðèêîé (ïñåâäîðèìàíîâîé ìåòðèêîé), ñîîòâåòñòâóþùàÿ òî÷êåÓòâåðæäåíèå 5.52îáëàñòè çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ {(c, t, µ = pq ) : c2 + 4t > 0, t 6= 0)}, V = θA2 àíàëîã ãóêîâñêîãî ïîòåíöèàëà. Òîãäà ïåðèîä T äâèæåíèÿ ïî çàìêíóòîé òðàåêòîðèè ~r(t) íå çàâèñèòîò èíòåãðàëà êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà K è âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå√√∆+c∆−cπq,(2.3.2)+qT = √ q √√2 ∆E( ∆ + c) + 2AE(c − ∆) + 2Aãäå ∆ = c2 + 4t.Ïëîñêîñòü Ëîáà÷åâñêîãî ÿâëÿåòñÿ ïîâåðõíîñòüþ Áåðòðàíà è åé ñîîòâåòñòâóþò çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ µ = 1, t = 0, c = −1.
Óñòðåìèì â ôîðìóëå (2.3.2) tê íóëþ, à c ê ìèíóñ åäèíèöå ïîëó÷èì çíà÷åíèå ïåðèîäà íà CL êàê â óòâåðæäåíèè 4√( ∆ = |c| = −c = 1):πT =√.2A − 2EÀíàëîãè÷íîå âûðàæåíèå ïðè ñòðåìëåíèè t êíóëþ ïîëó÷àåòñÿ è äëÿ ïñåâäîðèìàíîâàñëó÷àÿ. Çíà÷åíèå ïåðèîäà ïîñ÷èòàíî äëÿ òî÷åê (c, t), êîòîðûå ëåæàò âûøå ïàðàáîëûc2 + 4t = 0, óñòðåìèì c2 + 4t ê íóëþ, ÷òîáû ïîíÿòü, ÷òî ïðîèñõîäèò íà ïàðàáîëå, ò.å.
÷åìóðàâåí ïåðèîä T íà ïîâåðõíîñòè Áåðòðàíà, ïàðàìåòðèçîâàííîé (c, t, µ) : c2 + 4t = 0:!Ec + 4A.T =π·q√32 Ec + 2AÇàìå÷àíèå 2.3.1.Âîïðîñ ïîäñ÷¼òà ÿâíîãî âèäà çàâèñèìîñòè ïåðèîäà îò ýíåðãèè ó îãðàíè÷åííîé îðáèòû íàïîâåðõíîñòè Áåðòðàíà, ïàðàìåòðèçîâàííîé ïàðàìåòðàìè (c, t, µ) òàêèìè, ÷òî c2 + 4t < 0(òîëüêî äëÿ ðèìàíîâà ñëó÷àÿ, ò.ê. äëÿ ïñåâäîðèìàíîâà ïîâåðõíîñòåé ñ òàêèìè çíà÷åíèÿìè ïàðàìåòðîâ íå ñóùåñòâóåò, ÷òî âèäíî èç òàáëèöû 2.1 èëè ðèñóíêà 2.1), îñòà¼òñÿîòêðûòûì.Ñîãëàñíî óðàâíåíÿì Ýéëåðà-Ëàãðàíæà âñþäó âäîëü ~r(t) âûïîë= K .
Ïðåäñòàâèì â ôîðìå óäîáíîé äëÿ èíòåãðèðîâàíèÿ a222 (θ)dϕ = Kdt.íåíîÏðîèíòåãðèðóåì ìåæäó äâóìÿ ñîñåäíèìè ýêñòðåìóìàìè îäíîé îðáèòû, ò.å. ìåæäó àïîöåíòðîì è ïåðèöåíòðîì, ïîëó÷èòñÿ ïîëîâèíà âðåìåíè T̃ , íåîáõîäèìîãî äëÿ òîãî, ÷òîáûîðáèòà ñîâåðøèëà îäíî êîëåáàíèå. Ïðè ýòîì, ïðåæäå ÷åì çàìêíóòüñÿ îðáèòà ñîâåðøèò qêîëåáàíèé, ïîýòîìó ïåðèîä T = q · T̃ .Äîêàçàòåëüñòâî.a222 (θ)ϕ̇ZΦ/2T̃a222 (θ ◦ ϕ)dϕ = K .2(2.3.3)0Óðàâíåíèå (2.2.20) äàåò ÿâíûé âèä îðáèòû êàê ãðàôèêà ôóíêöèè θ(ϕ) ñðàçó è äëÿ ðèìàíîâà è äëÿ ïñåâäîðèìàíîâà ñëó÷àåâ: θ2 = α + β sin( 2ϕ+ 2ϕµ0 ), ãäåµs22AEcEcα= 2 2− , β=−+t−.(2.3.4)µK2µ2 K 2 2µ2 K 253À óãîë ϕ0 áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ðàâåí − π4 (÷òîáû ïðè èçìåíåíèè ϕ îò 0 äî Φ/2 =(µπ)/2 âåëè÷èíà θ2 ìåíÿëàñü îò ñâîåãî ìèíèìóìà α − β äî ñâîåãî ìàêñèìóìà α + β ,åñëè ϕ0 6= − π4 , òî ãðàíèöû â ïåðâîì èíòåãðàëå íàäî èçìåíèòü ñ 0 è Φ/2 íà äðóãèå, õîòÿçíà÷åíèå èíòåãðàëà íå èçìåíèòñÿ).Èíòåãðàë ñ ó÷¼òîì Φ = µπ, ϕ̃ = 2ϕ− π2 ïðåîáðàçóåòñÿµ2T̃ =KZΦ/2dϕ2=22−2µ (θ + c − tθ ) ◦ θ(ϕ)Kµ20α+β0π2=ZΦ/2dϕ− +c−π)2t− π2 )α+β sin( 2ϕµ=πd( 2ϕµZ1µKsin( 2ϕµ−π)2α + β sin ϕ̃ + c −− π2tα+β sin ϕ̃=1µKZ2(α + β sin ϕ̃)dϕ̃.(α + β sin ϕ̃)2 + c(α + β sin ϕ̃) − t− π2(2.3.5)Çíàê âûðàæåíèÿ θ2 + c − tθ−2 ðàâåí ε̂, ò.å.
çàâèñèò îò ðèìàíîâîñòè ñëó÷àÿ, çíàê êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà K ìîæåò áûòü êàê ïîëîæèòåëüíûì òàê è îòðèöàòåëüíûì â ëþáîì ñëó÷àåîòðèöàòåëüíîå çíà÷åíèå ïåðèîäà T íè÷åìó íå ïðîòèâîðå÷èò, à îçíà÷àåò äâèæåíèå â îá2dτðàòíóþ ñòîðîíó. Ñòàíäàðòíàÿ çàìåíà τ = tg ϕ̃2 , dϕ̃ = 1+τ2 ïðèâîäèò íàñ îò èíòåãðèðîâàíèÿòðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé ê äðîáíî-ðàöèîíàëüíûì1T̃ =µKZ1−11=µKZ12βτ) 2dτ1+τ 2 1+τ 22βτ 22βτ) + c(α + 1+τ2)1+τ 2(α +(α +−t=2(α + ατ 2 + 2βτ )dτ=(α + ατ 2 + 2βτ )2 + (cα − t)(1 + τ 2 )2 + 2βcτ (1 + τ 2 )−1=1µKZ12(α + ατ 2 + 2βτ )dττ 4 (α2 + cα − t) + τ 3 (4βα + 2βc) + τ 2 (4β 2 + 2α2 + 2cα − 2t)+−1+τ (4αβ + 2βc) + α2 + cα − t.(2.3.6) çíàìåíàòåëå ñòîèò âîçâðàòíûé ìíîãî÷ëåí ÷åòâ¼ðòîé ñòåïåíè, ÷òî ïîçâîëÿåò ïðîñòî ðàçëîæèòü çíàìåíàòåëü íà ìíîæèòåëè. Ïðîìåæóòî÷íîå âûðàæåíèå äëÿ èíòåãðàëà ïðèìåòâèä:1T̃ =µKZ1−12βτ + 1)dτα√2α+c− ∆β α2 +cα−t τ + 1)(τ 22α(τ 2 +(α2 + αc − t)(τ 2 +√∆+ β 2α+c+τ + 1)α2 +cα−tÄëÿ óïðîùåíèÿ âûðàæåíèé áóäåì èñïîëüçîâàòü ñîêðàùåíèÿ√√2α + c − ∆2α + c + ∆β+ = β 2, β− = β 2.α + cα − tα + cα − t54.(2.3.7)(2.3.8)Ñ ó÷¼òîì ââåä¼íûõ ñîêðàùåíèé èíòåãðàë ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå 1 √ZZ1 √1 (α ∆ − αc + 2t)dτ + (α ∆ + αc − 2t)dτ =√T̃ =τ 2 + β+ τ + 1τ 2 + β− τ + 1µK ∆(α2 + cα − t)−1=1µK ∆(α2 + cα − t)√(2.3.9)−1√√(α ∆ − αc + 2t)I1 + (α ∆ + αc − 2t)I2 .Ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû (â ñëó÷àå 4ac − b2 > 0)Rdxax2 +bx+c=√ 2arctg √2ax+b4ac−b24ac−b2(2.3.10)íàõîäèìZ11dτ22τ + β+ = parctg pI1 := =τ 2 + β+ τ + 14 − β+24 − β+2 −1−1!22 + β+−2 + β+=parctg p.− arctg p4 − β+24 − β+24 − β+2(2.3.11)x−yÏîñëåäíåå óïðîùàåòñÿ ñ ïîìîùüþ arctg x − arctg y = arctg 1+xy:√424−β+2I1 = parctg 4 − β+21+2 −4β+24−β+ππ= p 2p=.4 − β+2 24 − β+2(2.3.12)Àíàëîãè÷íîå âûðàæåíèå ïîëó÷àåòñÿ äëÿ I2 :π.I2 = p4 − β−2(2.3.13)Òàêèì îáðàçîì ïåðèîä ðàâåí:!√√πα ∆ + αc − 2t α ∆ − αc + 2t√pp+T̃ ==µK ∆(α2 + cα − t)4 − β+24 − β−2√√πα ∆ − αc + 2tα ∆ + αc − 2t=√ qq=+√√(2α+c− ∆)2µK ∆ (α2 + cα − t) 4 − β 2 (2α+c+ ∆)222(α + cα − t) 4 − β (α2 +cα−t)2(α2 +cα−t)2√√π∆+c∆−c.√ q+q=√√µK ∆∆+c 2∆−c(α +) − β2(α −)2 − β 222(2.3.14)2t2t ïîñëåäíåì ïåðåõîäå ïåðâàÿ äðîáü ñîêðàòèëàñü íà α − √∆+c, à âòîðàÿ íà α + √∆−c.Âñïîìèíàÿ òåïåðü ôîðìóëû (2.3.4) è ñâÿçü T = q · T̃ ïîëó÷àåì îêîí÷àòåëüíî óòâåðæäåíèåòåîðåìû.55Óòâåðæäåíèå 5, ïîçâîëÿåò ñâÿçàòü ïåðèîä äâèæåíèÿ ïî çàìêíóòîé òðàåêòîðèè ñ îäíèì èç ïåðâûõ èíòåãðàëîâ (ïîëíîé ýíåðãèåé E ) ñîîòíîøåíèåì, ñîäåðæàùèì ëèøü ðàäèêàëû âòîðîé ñòåïåíè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
