Геометрия гамильтоновых систем для многообразий и потенциалов Бертрана (1102755), страница 10
Текст из файла (страница 10)
 ñàìîì äåëå, ïóñòü W èìååò äíî, ò.å. îòðåçîê [c1 , c2 ] êàê â ïóíêòå 2 ïðåäëîæåíèÿ2.4. Ðàññìîòðèì óðîâåíü ýíåðãèè E 0 ∈ (E0 , E) è îðáèòó {θ = θ(ϕ)} ñ òàêîé ýíåðãèåéè òàêèì ýôôåêòèâíûì ïîòåíöèàëîì. Òîãäà îíà çàìêíóòà è ïîëóïåðèîä ôóíêöèè θ(ϕ)ñîèçìåðèì ñ π , ò.å.Zθ2Kdθp= µπ,(2.2.2)2(E 0 − W (θ))Çàìå÷àíèå 2.2.2.θ1ãäå µ ðàöèîíàëüíàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ êîíñòàíòà.  ñèëó (1.1.8), à òàêæå a022 6= 0 ëåâàÿ÷àñòü íåïðåðûâíî çàâèñèò îò θ1 , θ2 êîãäà θ1 ∈ (a0 , θ0 ), θ2 ∈ (θ0 , b0 ). À ïðàâàÿ ÷àñòü ïðîáåãàåò äèñêðåòíîå ìíîæåñòâî çíà÷åíèé èç ìíîæåñòâà πQ, òàêîå âîçìîæíî òîëüêî, åñëèëåâàÿ è ïðàâàÿ ÷àñòè ïîñòîÿííû. Ñ äðóãîé ñòîðîíû íàïèñàííûé èíòåãðàë ðàñïàäàåòñÿ âñóììó òðåõZc1Zc2Zθ2KdθKdθKdθp+ p+ p.002(E − W )2(E − W )2(E 0 − W )θ1c1c2Êðàéíèå äâà ïîëîæèòåëüíû.
À öåíòðàëüíûé ðàâåí √(c2 −c01 )K , ò.ê. W |[c1 ,c2 ] = E0 . Ïðè2(E −E0 )ñòðåìëåíèè E ê E0 öåíòðàëüíûé èíòåãðàë (à çíà÷èò è âñÿ ñóììà) ñòðåìèòñÿ ê ∞, ÷òîïðîòèâîðå÷èò ïîñòîÿíñòâó ïîëóïåðèîäà.041Íåâûðîæäåííîñòü ìèíèìóìà θ0 äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî, à èìåííî ñïðàâåäëèâà îöåíêàZθ2Zθ0Kdθp≥2(E − W (θ))Kdθp,2(E − W (θ))θ1θ1ãäå θ0 ∈ [θ1 , θ2 ]. Äàëåå â ñèëó ïðåäëîæåíèÿ 2.3 E = W (θ1 ) = W (θ2 ), à çíà÷èò èíòåãðàëîöåíèâàåòñÿZθ0θ1KdθKθ − θ1Kθ0 − θ1pp 0≥√=√ p.2 max W (θ1 ) − W (θ)2 W (θ1 ) − W (θ0 )2(E − W (θ))Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî âûïîëíåíî â ñèëó òîãî, ÷òî θ0 ìèíèìóì W (θ). À â ñèëó òîãî, ÷òî20)W (θ1 ) − W (θ0 ) = W 0 (θ0 )(θ1 − θ0 ) + W 00 (θ0 ) (θ1 −θ+ o((θ1 − θ0 )2 ) è W 0 (θ0 ) = W 00 (θ0 ) = 02!ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî ïîñëåäíÿÿ äðîáü åñòü îòíîøåíèå ôóíêöèè √K2 (θ0 −θ1 ) ê ôóíêöèè o(θ0 −θ1 ),è îíî ñòðåìèòñÿ ê ∞, êîãäà θ1 → θ0 , ÷òî ïðîòèâîðå÷èò (2.2.2).
Ñâîéñòâî äîêàçàíî.Ñôîðìóëèðóåì òåïåðü ñàìîå ñèëüíîå ñâîéñòâî çàìûêàþùåãî ïîòåíöèàëà, êîòîðîå áóäåò èñïîëüçîâàòüñÿ ïðè îáîáùåíèè òåîðåìû Áåðòðàíà íà ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ.Ïóñòü V (θ) çàìûêàþùèé ïîòåíöèàë íà S 0 ≈ (a, b)×S 1 áåç ýêâàòîðîâ (âñþäó a022 6= 0) ñ çàìêíóòîé íåêðóãîâîé îðáèòîé θ̃(ϕ). Ïóñòü a0 , b0 ñîîòâåòñòâåííîïåðè- è àïîöåíòðû îðáèòû θ̃(ϕ). Òîãäà ∀θ1 < θ2 ∈ [a0 , b0 ] ñóùåñòâóåò çàìêíóòàÿ îðáèòàñ ïåðèöåíòðîì θ1 è àïîöåíòðîì θ2 .Ïðåäëîæåíèå 2.5.Äîêàçàòåëüñòâî.Åñëè áû òàêîå ðåøåíèå ñóùåñòâîâàëî, òî â ñèëó (1.1.10)V (θ1 ) −K2K2=V(θ)−= E.22a222 (θ1 )2a222 (θ2 )(2.2.3)Îòñþäà íàõîäèì (ðåøàÿ êàê ñèñòåìó óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî E è K ), ÷òî êèíåòè÷åñêèé ìîìåíò è ýíåðãèÿ ó (íå îáÿçàòåëüíî çàìêíóòîé!) îðáèòû {θ = θ(ϕ)}, ãäå θ(ϕ) ïåðèîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ, âûñ÷èòûâàþòñÿ ÷åðåç ïåðè è àïîöåíòðû òàê:K2 = 2V (θ2 ) − V (θ1 )V (θ2 ) − V (θ1 )=2,11R(θ1 ) − R(θ2 )− a2 (θ1 )a2 (θ2 )22(2.2.4)22V (θ1 )R(θ2 ) − V (θ2 )R(θ1 )V (θ1 )a222 (θ1 ) − V (θ2 )a222 (θ2 )E==,22a22 (θ1 ) − a22 (θ2 )R(θ2 ) − R(θ1 )(2.2.5)ãäå ôóíêöèÿ R(θ) := − a2 1(θ) ââåäåíà äëÿ óäîáñòâà âû÷èñëåíèé.22Çíà÷èò, íàøà îðáèòà (åñëè îíà ñóùåñòâóåò) äîëæíà áûòü èìåííî ñ òàêèìè E , K .Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå (1.1.7) ñ óêàçàííûìè E è K è íà÷àëüíûì óñëîâèåì θ(0) = θ1 .Ïðîâåðèì êîððåêòíîñòü ïîñòðîåííîãî ðåøåíèÿ, ò.å.
÷òî îíî äåéñòâèòåëüíî ñóùåñòâóåò èôëóêòóèðóåò ìåæäó θ1 è θ2 . Åñëè áû ýôôåêòèâíûé ïîòåíöèàë èñêîìîãî ðåøåíèÿ W (θ) =2V (θ) + K2 R(θ) èìåë áû âèä ÿìû, ò.å. W (θ1 ) = W (θ2 ) = E, W (θ) < E ∀θ ∈ (θ1 , θ2 ), òî42ñîãëàñíî ïðåäëîæåíèþ 2.3 ñóùåñòâîâàëà áû òðåáóåìàÿ îðáèòà. Â êðàÿõ θ1 , θ2 ñëîæíîñòåéíèêàêèõ íåò, ò.ê. ïî ïîñòðîåíèþ (â ñèëó (2.2.4), (2.2.5)) âûïîëíåíî W (θ1 ) = E = W (θ2 ).K2RÏåðâàÿ ñëîæíîñòü.
Ìîæåò îêàçàòüñÿ, ÷òî ýôôåêòèâíûé ïîòåíöèàë W = V +2áóäåò âñþäó ïðåâîñõîäèòü E , ò.å. W |(θ1 ,θ2 ) > E . Òîãäà ñîãëàñíî ïðåäëîæåíèþ 2.3 ðåøåíèåâîîáùå íå ñóùåñòâóåò â (θ1 , θ2 ). Ïîêàæåì îò ïðîòèâíîãî, ÷òî òàêîãî áûòü íå ìîæåò.Îáîçíà÷èì çà Ẽ è K̃ ýíåðãèþ è êèíåòè÷åñêèé ìîìåíò îðáèòû θ̃(ϕ).
Ãðàôèê ýôôåêòèâíîãî ïîòåíöèàëà W̃ (θ) äëÿ èñõîäíîé îðáèòû θ̃(ϕ) ñîñòîèò èç óáûâàþùåé [a0 , c] è âîçðàñòàþùåé [c, b0 ] ÷àñòåé, ðàçäåë¼ííûõ ãëîáàëüíûì íåâûðîæäåííûì ìèíèìóìîì θ = c. Ýòîâûíóæäàåò íàñ ðàññìàòðèâàòü ñëó÷àè.Ñëó÷àé ïåðâûé: θ1 â óáûâàþùåé ÷àñòè, à θ2 â âîçðàñòàþùåé. Òîãäà äëÿ ýôôåêòèâíîãîïîòåíöèàëà èñõîäíîé îðáèòû θ̃ âûïîëíåíî W̃ 0 (θ1 ) ≤ 0, W̃ 0 (θ2 ) > 0 (îäíî èç íåðàâåíñòâ2îáÿçàòåëüíî ñòðîãîå, ò.ê. W 0 îáðàùàåòñÿ â íîëü òîëüêî â òî÷êå c), ò.å. V 0 (θ1 ) + K̃2 R0 (θ1 ) ≤20, V 0 (θ2 ) + K̃2 R0 (θ2 ) > 0. À ò.ê. ýôôåêòèâíûé ïîòåíöèàë íîâîé îðáèòû W |(θ1 ,θ2 ) > E , òî22W 0 (θ1 ) ≥ 0, W 0 (θ2 ) ≤ 0, ÷òî îçíà÷àåò V 0 (θ1 ) + K2 R0 (θ1 ) ≥ 0, V 0 (θ2 ) + K2 R0 (θ2 ) ≤ 0.
Îòñþäàïîëó÷àåòñÿ ïðîòèâîðå÷èå K 2 ≥ K 02 > K 2 .Ñëó÷àé âòîðîé: áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè θ1 , θ2 â çîíå óáûâàíèÿ. Ôóíêöèÿ R ìîíîòîííàÿ, ò.ê. a022 6= 0 ⇒ R0 6= 0. Çíà÷èò ôóíêöèÿ (K 2 − K̃ 2 )R(θ) òîæå ìîíîòîííàÿ. Óñòàíîâèìõàðàêòåð ìîíîòîííîñòè.  ñèëó (2.2.3)V (θ1 ) +K2K2R(θ1 ) = V (θ2 ) +R(θ2 ).22(2.2.6) òî æå âðåìÿ θ1 , θ2 â çîíå óáûâàíèÿ ýôôåêòèâíîãî ïîòåíöèàëà W̃ èñõîäíîé îðáèòû,çíà÷èò W̃ (θ1 ) > W̃ (θ2 ). ×òî äà¼òV (θ1 ) +K̃ 2K̃ 2R(θ1 ) > V (θ2 ) +R(θ2 ).22(2.2.7)Ñîâìåùàÿ (2.2.6), (2.2.7) ïîëó÷èìR(θ1 ) 2R(θ2 ) 2(K̃ − K 2 ) >(K̃ − K 2 ).22×òî ñ ó÷¼òîì ìîíîòîííîñòè (K 2 − K̃ 2 )R(θ) äà¼ò íàì, ÷òî (K 2 − K̃ 2 )R(θ) ñòðîãî âîçðàñòàåò.Äàëåå â ñèëó òîãî, ÷òî W (θ1 ) = W (θ2 ) = E , W |(θ1 ,θ2 ) > E ìîæíî çàêëþ÷èòü, ÷òîó ãðàôèêà ýôôåêòèâíîãî ïîòåíöèàëà W ñóùåñòâóåò ãëîáàëüíûé ìàêñèìóì, ò.å. ∃θ0 ∈(θ1 , θ2 ) : W 0 (θ0 ) = 0 è ïðàâåå W óáûâàåò.
Èç òîãî, ÷òî W̃ (θ0 ) < W̃ (a0 ) = W̃ (b0 ) çàêëþ÷àåìV (θ0 ) +K̃ 2K̃ 2R(θ0 ) < V (b0 ) +R(b0 ).22(2.2.8)×òî ñ ó÷¼òîì ìîíîòîííîñòè R: R(b0 )(K 2 − K̃ 2 ) > R(θ0 )(K 2 − K̃ 2 ) äà¼òV (θ0 ) +K2K2R(θ0 ) > V (b0 ) +R(b0 ).2243(2.2.9)Òàêèì îáðàçîì â òî÷êå b0 ýôôåêòèâíûé ïîòåíöèàë W áîëüøå, ÷åì â òî÷êå θ0 .
Çíà÷èòñóùåñòâóåò òî÷êà θ3 : θ3 > θ0 , W (θ0 ) = W (θ3 ) = E0 , ∀θ ∈ (θ0 , θ3 ) W (θ) < E0 . Ñîãëàñíîïðåäëîæåíèþ 2.3 ñóùåñòâóåò îðáèòà ñ ïåðèöåíòðîì θ0 , àïîöåíòðîì θ3 , ýíåðãèåé E0 èêèíåòè÷åñêèì ìîìåíòîì K . Íî W 0 (θ0 ) = 0, çíà÷èò îíà íå äîñòèãàåò ñâîåãî àïîöåíòðà,÷òî ïðîòèâîðå÷èò çàìêíóòîñòè âñåõ îãðàíè÷åííûõ îðáèò.Âòîðàÿ ñëîæíîñòü. Ìîæåò îêàçàòüñÿ, ÷òî W |(θ ,θ ) ≤ E , ïðè÷¼ì â íåêîòîðûõ òî÷êàõ1 2W äîñòèãàåò E , íî íå âî âñåõ. Òîãäà ìåæäó äâóìÿ ñîñåäíèìè òàêèìè òî÷êàìè, èëè ìåæäóòàêîé òî÷êîé θ0 è îäíèì èç êðà¼â (áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè θ2 ) ïîòåíöèàë èìååò âèäÿìû, ò.å.
W (θ0 ) = W (θ2 ) = E , ∀θ ∈ (θ0 , θ2 ) W (θ) < E . Ïî ïðåäëîæåíèþ 2.3 ñóùåñòâóåòîðáèòà ìåæäó θ0 è θ2 . Íî ò.ê. W 0 (θ0 ) = 0, òî îðáèòà íå äîñòèãàåò çíà÷åíèÿ θ0 , çíà÷èòíåçàìêíóòà, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò çàìêíóòîñòè âñåõ îãðàíè÷åííûõ îðáèò.Òðåòüÿ ñëîæíîñòü. Ñëó÷àè, êîãäà W 6≡ E íà [θ1 , θ2 ] è åñòü òî÷êà θ0 òàêàÿ, ÷òîW (θ0 ) > E ðàçáèðàåòñÿ àíàëîãè÷íî ïåðâîé ñëîæíîñòè.Ïîñëåäíÿÿ ñëîæíîñòü. Ìîæåò îêàçàòüñÿ, ÷òî ýôôåêòèâíûé ïîòåíöèàë âñþäó íà[θ1 , θ2 ] ïîñòîÿíåí, ò.å. W |[θ1 ,θ2 ] ≡ const. Äîêàæåì, ÷òî òàêîãî áûòü íå ìîæåò. Ñëó÷àé, êîãäàïîòåíöèàë W ≥ E íà (θ1 , θ2 ), ïðè ýòîì íå ïîñòîÿíåí è íå âñþäó áîëüøå E , ðàçáèðàåòñÿàíàëîãè÷íî ïåðâîé ñëîæíîñòè. ñèëó òîãî, ÷òî W̃ èìååò çîíû óáûâàíèÿ [a0 , c] è âîçðàñòàíèÿ [c, b0 ] íóæíî ðàññìîòðåòüäâà ñëó÷àÿ.Ñëó÷àé ïåðâûé: θ1 ëåæèò â çîíå óáûâàíèÿ, à θ2 ëåæèò â çîíå âîçðàñòàíèÿ.
Òîãäà22c ∈ [θ1 , θ2 ] è W 0 (c) = 0 êàê è W̃ 0 (c) = 0; ÷òî îçíà÷àåò V 0 (c) + K2 R0 (c) = 0 = V 0 (c) + K̃2 R0 (c).Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî K = K̃ è W = W̃ . Íî ó W̃ íåò îòðåçêîâ ïîñòîÿíñòâà.Ñëó÷àé âòîðîé: áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè θ1 , θ2 ëåæàò â çîíå óáûâàíèÿ. Åñëè W =2const íà [θ1 , θ2 ], òî W 0 ≡ 0 íà [θ1 , θ2 ], ÷òî îçíà÷àåò V 0 + K2 R0 = 0. Îòñþäà ñëåäóåòW̃ 0 =V0+[θ1 ,θ2 ]K̃ 2 0K 2 0 K̃ 2 0 R0 2R =−R +R = (K̃ − K 2 ).2222(2.2.10)Ïîñòðîèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îðáèò, ó êîòîðûõ ïîëóïåðèîä íåîãàíè÷åííî âîçðàñòàåò.Ïóñòü [θ1 , θ22 ] ìàêñèìàëüíûé èç îòðåçêîâ âèäà [θ1 , x], íà êîòîðûõ W ≡ const.
Î÷åâèäíîx < c, ò.ê. èíà÷å W 0 (c) = 0 = W̃ 0 (c) ⇒ K̃ = K ⇒ W = W̃ , à W̃ (c) < W̃ (θ1 ). Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xi } ∈ (θ22 , c), ìîíîòîííî ñòðåìÿùèõñÿ ê θ2 . Äëÿ êàæäîãî xiðàññìîòðèì ýôôåêòèâíûé ïîòåíöèàë Wi , ñîîòâåòñòâóþùèé îðáèòàì γi ñ ïåðèöåíòðîì θ1 ,àïîöåíòðîì xi è êèíåòè÷åñêèì ìîìåíòîì Ki (ýòî ìîæíî ñäåëàòü â âèäó (2.2.5), (2.2.4)).Âåðíî, ÷òî Wi |[θ1 ,xi ] 6≡ const, ò.ê. èíà÷å Wi0 (θ1 ) = W 0 (θ1 ) ⇒ Ki = K ⇒ Wi = W íà(a0 , b0 ) ⇒ W ïîñòîÿíåí íà [θ1 , xi ], ÷òî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ xi > θ22 . Ñî âñåìè îñòàëüíûìè ñëîæíîñòÿìè ìû óìååì áîðîòüñÿ, ïîýòîìó Wi èìååò âèä ïîòåíöèàëüíîé ÿìû è, âñèëó çàìûêàåìîñòè V , Wi óáûâàåò íà [θ1 , ci ], âîçðàñòàåò íà [ci , xi ], ãäå ci åäèíñòâåííûéíåâûðîæäåííûé ìèíèìóì Wi íà [θ1 , xi ].Íè îäèí ìèíèìóì ci íå ìîæåò ïîïàñòü â îòðåçîê [θ1 , θ22 ], ò.ê.
èíà÷å Wi0 (ci ) = 0 = W 0 (ci ),îòêóäà ñëåäóåò ðàâåíñòâî Wi è W , ÷òî êàê ìû óæå âèäåëè, íåâîçìîæíî. Ïîëóïåðèîä44îðáèòû γi ìîæíî îöåíèòü òàêZci0.5Φi =θ1Zθ22Ki dθ√ p≥2 Wi (θ1 ) − Wi (θ)Zθ22≥θ1θ1Ki dθ√ p≥2 Wi (θ1 ) − Wi (θ)Ki dθKi (θ22 − θ1 )√ p=√ p.2 Wi (θ1 ) − Wi (θ22 )2 Wi (θ1 ) − Wi (θ22 )(2.2.11)Îöåíêà ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî [θ1 , θ22 ] ïðîìåæóòîê óáûâàíèÿ êàæäîé èç ôóíêöèé Wi . Òåïåðü âèäíî, ÷òî êîãäà xi → θ22 ÷èñëèòåëü ñòðåìèòñÿ ê K(θ22 − θ1 ), à çíàìåíàòåëü ê√ p2 W (θ1 ) − W (θ22 ) = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
