Геометрия гамильтоновых систем для многообразий и потенциалов Бертрана (1102755)
Текст из файла
ÌÎÑÊÎÂÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒèìåíè Ì.Â.ËîìîíîñîâàÌÅÕÀÍÈÊÎ-ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÔÀÊÓËÜÒÅÒÇàãðÿäñêèé Îëåã Àëåêñàíäðîâè÷Ãåîìåòðèÿ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì äëÿìíîãîîáðàçèé è ïîòåíöèàëîâ Áåðòðàíà01.01.04 - ãåîìåòðèÿ è òîïîëîãèÿÍàó÷íûå ðóêîâîäèòåëè:àêàäåìèê ÐÀÍ À. Ò. Ôîìåíêîäîöåíò Å. À. ÊóäðÿâöåâàÌîñêâà - 2015ÎãëàâëåíèåÂâåäåíèå1Ïîâåðõíîñòè è ìåòðèêè Áåðòðàíà1.11.22342Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ è ïðèìåðû1.1.1 Áàçîâûå îïðåäåëåíèÿ . . .1.1.2 Öèëèíäð, êîíóñ, ñôåðà . .Îáîáùåííîå ñåìåéñòâî óðàâíåíèé10................................................................................................10101720Ïîâåðõíîñòè Áåðòðàíà292.12.22.3Îáîáùåíèå òåîðåìû Áåðòðàíà íà ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ .
. . . . . . . . . .Ñâîéñòâà îðáèò è ýôôåêòèâíîãî ïîòåíöèàëà . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòåé Áåðòðàíà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .293748Àáñòðàêòíûå ìíîãîîáðàçèÿ Áåðòðàíà è ïîâåðõíîñòè Áåðòðàíà â573.13.2R3 , R32Áåðòðàíîâñêèå ïîâåðõíîñòè è íàòóðàëüíûå êîîðäèíàòû .
. . . . . . . . . .Ñâîéñòâà ïîâåðõíîñòåé è îðáèò â R3 , R32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5765Ãàìèëüòîíîâ ïîäõîä724.14.24.3728494Ñèñòåìà Áåðòðàíà êàê ãàìèëüòîíîâà ñèñòåìà . . . . . . . . . . . . . . . . .Áèôóðêàöèîííûå äèàãðàììû. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ñëîè Ëèóâèëëÿ è èõ ïåðåñòðîéêè. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .1ÂâåäåíèåÀêòóàëüíîñòüÄèññåðòàöèÿ ïîñâÿùåíà èññëåäîâàíèþ ãåîìåòðè÷åñêèõ è ìåõàíè÷åñêèõ ñâîéñòâ îáîáùåíèÿ çàäà÷è Áåðòðàíà. Çàäà÷è íåáåñíîé ìåõàíèêè, ñâÿçàííûå ñ äâèæåíèåì ñâåòèë ïî íåáóè â ïðîñòðàíñòâå, çàíèìàëè öåíòðàëüíîå ìåñòî â íàóêå íà ïðîòÿæåíèè ìíîãèõ âåêîâ. Ñàìûå ïðîñòûå ìîäåëè âîçíèêëè åù¼ â àíòè÷íîñòè âî âðåìåíà Àðèñòîòåëÿ è ñ òå÷åíèåìâðåìåíè âñ¼ áîëåå è áîëåå óñëîæíÿëèñü. Ðàçâèòèå íîâûõ ìåòîäîâ ìàòåìàòèêè âëåêëî çàñîáîé êà÷åñòâåííûå ñêà÷êè â èññëåäîâàíèè çàäà÷ íåáåñíîé ìåõàíèêè, ïîçâîëÿÿ ëó÷øåïîíèìàòü ñóòü ïðîèñõîäÿùèõ ïðîöåññîâ, ïðèâîäÿùèõ ê íàáëþäàåìûì ÿâëåíèÿì.
Íî ýòîïîíèìàíèå âñåãäà ïðèíîñèëî åù¼ áîëüøå âîïðîñîâ, ñòàâèëî ñëîæíûå ïðîáëåìû ïåðåäèññëåäîâàòåëÿìè, äëÿ ðåøåíèÿ êîòîðûõ òðåáîâàëîñü ïðèâëåêàòü âñ¼ áîëåå íîâûå ìàòåìàòè÷åñêèå èíñòðóìåíòû. Íåìàëî ñëîæíîñòåé ñþäà ïðèâíîñÿò òàê íàçûâàåìûå îáðàòíûåçàäà÷è ìåõàíèêè, êîòîðûå âñåãäà áûëè òðóäíåå ïðÿìûõ. Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî â èññëåäîâàíèè äâèæåíèÿ ïî íåáó ÷àñòàÿ èõ âñòðå÷àåìîñòü åñòåñòâåííà.Îäíîé èç òàêèõ çàäà÷ áûëî âîññòàíîâëåíèå çàêîíà ïðèòÿæåíèÿ ìåæäó íåáåñíûìè òåëàìè ïî ôîðìå òðàåêòîðèé, êîòîðûå îïèñûâàþò ïëàíåòû ïðè ñâî¼ì äâèæåíèè. Îòêðûòèåçàêîíà âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ â XVIII âåêå ïîçâîëèëî ïîíÿòü ïî÷åìó ïëàíåòû, àñòåðîèäûè êîìåòû äâèæóòñÿ ïî êîíè÷åñêèì ñå÷åíèÿì. Íî ìîãëè áûòü è äðóãèå çàêîíû ïðèòÿæåíèÿ, ïðèâîäÿùèå ê êîíè÷åñêèì ñå÷åíèÿì.
Âîïðîñ íàõîæäåíèÿ âñåõ òàêèõ çàêîíîâ îñòàëñÿîòêðûòûì, íà ýòî óêàçàë ñàì ñýð È. Íüþòîí â ñâîèõ íà÷àëàõ íàòóðàëüíîé ôèëîñîôèè[22]. Òàêèì îáðàçîì çíàÿ, ÷òî âñå ïëàíåòû äâèæóòñÿ ïî ýëëèïñàì, ìû íå ìîæåì ñ óâåðåííîñòüþ óòâåðæäàòü, ÷òî ñèëà ïðèòÿæåíèÿ ìåæäó òåëàìè îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíàêâàäðàòó ðàññòîÿíèÿ F ∼ r12 . Êîíå÷íî, âûéäÿ çà ðàìêè ìàòåìàòèêè, ìîæíî ýêñïåðèìåíòàëüíûì ïóò¼ì ïðîâåðèòü ïðàâèëüíîñòü ÷åòâ¼ðòîãî çàêîíà Íüþòîíà, íî íåñìîòðÿ íà ýòîçàäà÷à î âîññòàíîâëåíèè çàêîíà òÿãîòåíèÿ ïî ôîðìå òðàåêòîðèé íîñèëà ïðèíöèïèàëüíûéôóíäàìåíòàëüíûé õàðàêòåð è æäàëà ñâîåãî ðåøåíèÿ.Ïåðâûå óñïåõè áûëè ñäåëàíû òîëüêî â 1870õ ãîäàõ. Æ.
Áåðòðàí ñôîðìóëèðîâàë èðåøèë â 1873 ã. ñëåäóþùóþ çàäà÷ó (èçâåñòíóþ òàêæå êàê òåîðåìà Áåðòðàíà): Íàéòèñèëó ïðèòÿæåíèÿ, êîòîðàÿ äåéñòâóåò ìåæäó Ñîëíöåì è ïëàíåòàìè, çàâèñèò òîëüêî îòðàññòîÿíèÿ äî Ñîëíöà è çàñòàâëÿåò äâèãàòüñÿ ïëàíåòû ïî çàìêíóòûì òðàåêòîðèÿì, åñëèòîëüêî ñêîðîñòü íå î÷åíü âåëèêà.2 ôîðìóëèðîâêå íè÷åãî íå îãîâàðèâàëîñü î âûðîæäåííûõ ñëó÷àÿõ (íàïðèìåð, êîãäàïëàíåòà ïàäàåò íà Ñîëíöå ïî ïðÿìîé), áîëåå òîãî ðåøàëàñü ïëîñêàÿ çàäà÷à, à íå ïðîñòðàíñòâåííàÿ. Íî åñëè çàìåòèòü, ÷òî ñîõðàíÿåòñÿ âåêòîð ìîìåíòà èìïóëüñà, òî ëåãêîïîêàçàòü, ÷òî äâèæåíèå â öåíòðàëüíîì ïîëå ñèë âñåãäà áóäåò ïëîñêèì.Äðóãîé âàðèàíò çàäà÷è âûãëÿäåë òàê: íàéòè çàêîí ñèë, äåéñòâóþùèé íà òî÷êó è çàñòàâëÿþùèé å¼ îïèñûâàòü êîíè÷åñêèå ñå÷åíèÿ êàêîâû áû íå áûëè íà÷àëüíûå óñëîâèÿ.Åñòåñòâåííî, ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî çàêîí íå çàâèñèò îò âðåìåíè, à çàâèñèò òîëüêî îò ïîëîæåíèÿ òî÷êè â ïðîñòðàíñòâå. òàêîì âàðèàíòå ôîðìóëèðîâêè (Áåðòðàí) òðåáîâàíèå ê îðáèòàì áîëåå ñèëüíûå, àèìåííî îíè äîëæíû áûòü íå ïðîñòî çàìêíóòûìè, à ÿâëÿòüñÿ êîíè÷åñêèìè ñå÷åíèÿìè; íîçàòî óñëîâèå, íàëîæåííîå íà çàêîí ñèëû, ñëàáåå, ò.ê.
èùåòñÿ ñèëà, çàâèñÿùàÿ îò ïîëîæåíèÿ òåë â ïðîñòðàíñòâå, à íå ñòðîãî îò ðàññòîÿíèÿ. Ñðàçó ðåøèòü â òàêîé ôîðìóëèðîâêåíå óäàëîñü: äëÿ ðåøåíèÿ âòîðîé çàäà÷è Äàðáó è Àëüôåí [7] óñèëèëè òðåáîâàíèå ê çàêîíóïðèòÿæåíèÿ îí äîëæåí áûòü êàê ðàç öåíòðàëüíûì. Ñî âðåìåíåì óäàëîñü ðåøèòü çàäà÷óè áåç äîïîëíèòåëüíîãî òðåáîâàíèÿ öåíòðàëüíîñòè (Äåïåéðó) [9].Ìàòåìàòèêè ïðîäîëæàëè èñêàòü ðàçëè÷íûå óñëîâèÿ, ïî êîòîðûì ìîæíî âîññòàíîâèòüçàêîí âçàèìîäåéñòâèÿ.
Îäíî èç íèõ, à èìåííî àëãåáðàè÷íîñòü òðàåêòîðèé, íàø¼ë ʼíèãñè åãî ôîðìóëèðîâêà âûãëÿäåëà òàê [37]: Çíàÿ, ÷òî ñèëà, âûçûâàþùàÿ äâèæåíèå ïëàíåòûâîêðóã Ñîëíöà, çàâèñèò òîëüêî îò ðàññòîÿíèÿ è òàêîâà, ÷òî îíà çàñòàâëÿåò ñâîþ òî÷êóïðèëîæåíèÿ îïèñûâàòü àëãåáðàè÷åñêóþ êðèâóþ, êàêîâû áû íè áûëè íà÷àëüíûå óñëîâèÿ(ïðè÷åì ñóùåñòâóþò îãðàíè÷åííûå íåîñîáûå íåêðóãîâûå îðáèòû) íàéòè çàêîí ýòîé ñèëû.Ïîñëåäíèé âàðèàíò ñâîäèòñÿ ê ïåðâîìó, åñëè çàìåòèòü, ÷òî îãðàíè÷åííàÿ êðèâàÿäîëæíà áûòü ëèáî çàìêíóòîé, ëèáî èìåòü òî÷êè ñãóùåíèÿ. Âòîðîå óñëîâèå íåâîçìîæíîâ âèäó àëãåáðàè÷íîñòè êðèâîé, ñëåäîâàòåëüíî êðèâàÿ áóäåò çàìêíóòà, à ýòî óæå óñëîâèåÁåðòðàíà.Îòâåò êî âñåì òð¼ì âàðèàíòàì çàäà÷è îêàçàëñÿ íà óäèâëåíèå îäèíàêîâ: òàêèì óñëîâèÿì óäîâëåòâîðÿþò òîëüêî äâà çàêîíà ïðèòÿæåíèÿ çàêîí òÿãîòåíèÿ Íüþòîíà F1 ∼ r12è çàêîí Ãóêà F2 (r) ∼ r.
Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî ñèëû èñêàëèñü ïîòåíöèàëüíûå è àíàëèòè÷åñêèå. Ñîîòâåòñòâóþùèå ïîòåíöèàëû âûãëÿäÿò òàê V1 ∼ 1r , V2 ∼ r2 .Êàê óòâåðæäàåò ïåðâûé çàêîí Êåïëåðà, â ñëó÷àå çàêîíà Íüþòîíàïëàíåòà äâèæåòñÿ ïî ýëëèïñó, â îäíîì èç ôîêóñîâ êîòîðîãî íàõîäèòñÿ Ñîëíöå.  ñëó÷àåçàêîíà Ãóêà àíàëîã ïåðâîãî çàêîíà Êåïëåðà âûãëÿäèò òàê: ïëàíåòà äâèæåòñÿ ïî ýëëèïñó, â öåíòðå êîòîðîãî íàõîäèòñÿ Ñîëíöå.
Åù¼ îäíèì îòëè÷èåì çàêîíà Ãóêà îò çàêîíàÍüþòîíà ñîñòîèò â òîì, ÷òî ó íåãî íåò íåîãðàíè÷åííûõ îðáèò, òàêèõ êàê ïàðàáîëà èëèãèïåðáîëà.Çàìå÷àíèå 0.0.1.Äàëüíåéøèå èññëåäîâàíèÿ ïîøëè ïî ïóòè óñëîæíåíèÿ ñòðóêòóðû ïðîñòðàíñòâà. Ñïåðâà áûëè ðàññìîòðåíû ïðîñòðàíñòâà ïîñòîÿííîé ãàóññîâîé êðèâèçíû. Ïðîñòðàíñòâî ïîëîæèòåëüíîé ïîñòîÿííîé êðèâèçíû ñôåðà, îòðèöàòåëüíîé ïëîñêîñòü Ëîáà÷åâñêîãî.3Ðàññìîòðèì ñôåðó ñ!êîîðäèíàòàìè (r, ϕ), ãäå r øèðîòà, ϕ äîëãîòà, è ðèìàíî10âîé ìåòðèêîé. Íà ñôåðå ðàññìàòðèâàåòñÿ òîëüêî öåíòðàëüíûé (åñòåñòâåííî,0 sin2 ràíàëèòè÷åñêèé) ïîòåíöèàë V , ò.å.
çàâèñÿùèé òîëüêî îò r (è íå çàâèñÿùèé îò ϕ). Ïîääåéñòâèåì òàêîãî ïîòåíöèàëà ïî ïîâåðõíîñòè äâèæåòñÿ ÷àñòèöà. ż äâèæåíèå îïèñûâàþò óðàâíåíèÿ Ýéëåðà-Ëàãðàíæà äëÿ ëàãðàíæèàíà L = 21 ṙ2 + 21 sin2 r ϕ̇2 − V (r). Çàäà÷àÁåðòðàíà îáîáùàåòñÿ òàê: êàêèå ìîãóò áûòü ïîòåíöèàëû V (r) íà ñôåðå, ïîä äåéñòâèåìêîòîðûõ ÷àñòèöà îïèñûâàëà áû çàìêíóòóþ òðàåêòîðèþ. Çàäà÷à ñôîðìóëèðîâàíà íå ñòðîãî, ò.ê. äîïîëíèòåëüíî ïðåäïîëàãàåòñÿ åù¼ íåñêîëüêî óñëîâèé, â ò.÷. ðàññìàòðèâàåòñÿ íåâñÿ ñôåðà, à òîëüêî å¼ ïîëîâèíà áåç ýêâàòîðà.Îòâåò î÷åíü ïîõîæ íà ïëîñêèé ñëó÷àé.
Ââåä¼ì âìåñòî r áîëåå óäîáíóþ êîîðäèíàòóθ = ctg r. Òîãäà íà ñôåðå ñóùåñòâóþò òîëüêî äâà ïîòåíöèàëà, ïðèâîäÿùèõ ê çàìêíóòûìòðàåêòîðèÿì: àíàëîã çàêîíà âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ V1 = Aθ + B è àíàëîã ïðóæèííîãîâçàèìîäåéñòâèÿ Ãóêà V2 = Aθ−2 + B , ãäå A, B íåêîòîðûå êîíñòàíòû ñ îïðåäåëåííûìèçíàêàìè. Êàê è íà ïëîñêîñòè òðàåêòîðèè äâèæåíèÿ áóäóò êîíè÷åñêèìè ñå÷åíèÿìè (ïåðåñå÷åíèå ñôåðû ñ êîíóñîì âòîðîãî ïîðÿäêà, ó êîòîðûõ ñîâïàäàþò öåíòðû), áîëåå òîãî âïåðâîì ñëó÷àå öåíòðîì ïðèòÿæåíèÿ áóäåò ôîêóñ, à âî âòîðîì öåíòð (ïîäðîáíåå ñì.
[37]).Íà ñôåðó òàêæå îáîáùàåòñÿ âòîðîé çàêîí Êåïëåðà ñ íåêîòîðîé ìîäèôèêàöèåé, à òàêæå òðåòèé çàêîí Êåïëåðà [15], [37] (ñì. òàêæå óòâåðæäåíèÿ 1113 â 3.2.).Âñå ýòè ðåçóëüòàòû (çàäà÷à Áåðòðàíà è çàêîíû Êåïëåðà) ïåðåíîñÿòñÿñî ñôåðû S 2 íà ïëîñêîñòü Ëîáà÷åâñêîãî L2 , ïðè ýòîì âñå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèèíóæíî çàìåíèòü íà ñîîòâåòñòâóþùèå ãèïåðáîëè÷åñêèå.Çàìå÷àíèå 0.0.2.Ïåðâîå ðåøåíèå áûëî äàíî Äàðáó [8] â 1877 ãîäó, îíî áûëî íåáîãàòî ïîäðîáíîñòÿìè.Äàëåå çàäà÷à íåîäíîêðàòíî ïåðåîòêðûâàëàñü.
 1902, 1903 Ëèáìàí ïîëó÷èë ðåçóëüòàòäëÿ S 2 è L2 è èññëåäîâàë ôîðìó òðàåêòîðèé[17, 18].  1979 ã. çàäà÷à áûëà ðåøåíà â S nÏ. Õèããñîì [13], à â 1980 â S 3 Ñëàâÿíîâñêèì [28].  1982 ã. ïîëó÷åíî îáîáùåíèå íà S n èLn Èêåäîé è Êàòàÿìîé [14], à â 1992-1994 ãã Êîçëîâûì è Õàðèíûì ïîëó÷åíû îáîáùåíèÿíà S 2 è L2 ñ èññëåäîâàíèåì âñåõ çàêîíîâ Êåïëåðà [37, 38].Ñëåäóþùèì óñëîæíåíèåì ÿâëÿåòñÿ ïåðåõîä îò ïîâåðõíîñòåé ïîñòîÿííîé ãàóññîâîéêðèâèçíû ê ïîâåðõíîñòÿì âðàùåíèÿ. Ðàññìîòðèì ïîâåðõíîñòü âðàùåíèÿ S ≈ (a, b)×S 1 ,→R3 ñ êîîðäèíàòàìè (u, ϕ mod 2π), ãäå u ∈ (a, b) è ìåòðèêîé âðàùåíèÿ!a211 (u)0G=(0.0.1)0a222 (u)Ïóñòü íà ýòîé ïîâåðõíîñòè çàäàí ïîòåíöèàë V (u), êîòîðûé çàâèñèò òîëüêî îò u. Ïîääåéñòâèåì òàêîãî ïîòåíöèàëà ïî ïîâåðõíîñòè ïðîèñõîäèò äâèæåíèå ÷àñòèöû ñîãëàñíîóðàâíåíèÿì Ýéëåðà-Ëàãðàíæà äëÿ ëàãðàíæèàíà L = 21 a211 (u)u̇2 + 12 a222 (u)ϕ̇2 − V (u).
Çàäà÷à Áåðòðàíà îáîáùàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: êàêèì ìîæåò áûòü ïîòåíöèàë V (u), ÷òîáû4ëþáàÿ îãðàíè÷åííàÿ îðáèòà áûëà çàìêíóòà (è ñóùåñòâîâàëà õîòÿ áû îäíà òàêàÿ íåêðóãîâàÿ). Ïîòåíöèàëû ñ òàêèì ñâîéñòâîì íàçîâ¼ì áåðòðàíîâñêèìè. çàäà÷å íåÿâíûì îáðàçîì ïðåäïîëàãàåòñÿ åù¼ ðÿä òåõíè÷åñêèõ óñëîâèé, â ò.÷. ïîëîæèòåëüíîñòü ôóíêöèé a11 (u), a22 (u), àíàëèòè÷íîñòü (â ðàáîòàõ íåêîòîðûõàâòîðîâ) âñåõ ôèãóðèðóþùèõ â óñëîâèè ôóíêöèé, îòñóòñòâèå ýêâàòîðîâ, ò.å.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
