Геометрия гамильтоновых систем для многообразий и потенциалов Бертрана (1102755), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Äðóãîé ïðèìåð äîñòàâëÿåò ïðîêîëîòàÿ ïîëóñôåðà {(x, y, z) :x2 +y 2 +z 2 = 1, −1 < z < 0} â R3 . Äëÿ ïîëóñôåðû ãðàíèöà {z = −1} ÿâëÿåòñÿ óñòðàíèìûìïîëþñîì, à ãðàíèöà z = 0 ÿâëÿåòñÿ ýêâàòîðîì.Ïóñòü íà ïîâåðõíîñòè S (ñîîòâåòñòâåííî S 0 ) çàäàí òàêæå öåíòðàëüíûé ãëàäêèé ïîòåíöèàë, ò.å. ôóíêöèÿ V (u) ∈ C 5 (a, b). Ïîä äåéñòâèåì V ïî ïîâåðõíîñòè äâèæåòñÿ ÷àñòèöà.Çàêîí äâèæåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèÿìè Ýéëåðà-Ëàãðàíæà ∂L= dtd ∂Läëÿ ëàãðàíæè∂q∂ q̇1 21 222àíà L = 2 a11 (u)u̇ + ε̂ 2 a22 (u)ϕ̇ − V (u).
Âûïèøåì ýòè óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ:a211 ü + a11 a011 u̇2 − ε̂a22 a022 ϕ̇2 + V 0 = 0,d(ε̂a222 ϕ̇) = 0.dt(1.1.3)(1.1.4)Äàííûå óðàâíåíèÿ èìåþò äâà ïåðâûõ èíòåãðàëà ýíåðãèè è êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà.11E = a211 (u)u̇2 + ε̂ a222 (u)ϕ̇2 + V (u),222K = ε̂a22 (u)ϕ̇.(1.1.5)(1.1.6)Ïîñëåäíåå ëåãêî ïðîâåðèòü ïðÿìûì äèôôåðåíöèðîâàíèåì ïî âðåìåíè.Íàçîâ¼ì òðàåêòîðèåé ðåøåíèå ~r(t) = (u(t), ϕ(t)) óðàâíåíèé äâèæåíèÿ (1.1.3), (1.1.4), äðóãèìè ñëîâàìè, çàâèñèìîñòü êîîðäèíàò òî÷êè îò âðåìåíè.
Îáðàçîòîáðàæåíèÿ ~r(t) áóäåì íàçûâàòü îðáèòîé. Àíàëîãè÷íî, îòîáðàæåíèå (u(t), ϕ(t), a211 (u(t))·u̇(t), ε̂a222 (u(t)) · ϕ̇(t)) ôàçîâàÿ òðàåêòîðèÿ, à åãî îáðàç â êîêàñàòåëüíîì ðàññëîåíèè T ∗ S ôàçîâàÿ îðáèòà.Îïðåäåëåíèå 1.1.3.11Âåëè÷èíû pu := ∂L/∂ u̇ = a211 (u)u̇, pϕ := ∂L/∂ ϕ̇ = ε̂a222 (u)ϕ̇ ÿâëÿþòñÿ èìïóëüñàìè.Íåîñîáóþ îðáèòó åñòåñòâåííî çàäàâàòü ñ ïîìîùüþ çàâèñèìîñòè êîîðäèíàòû u îò ϕ, ò.å.ìîæíî ñ÷èòàòü îðáèòó ôóíêöèåé u(ϕ).Èç óðàâíåíèé òðàåêòîðèè ìîæíî ëåãêî ïîëó÷èòü óðàâíåíèå îðáèòû.Íåîñîáûå îðáèòû {u = u(ϕ)} ïðè äâèæåíèè ïî S ïîä äåéñòâèåì Vçàäàþòñÿ îäíîïàðàìåòðè÷åñêèì (ïàðàìåòð K ) ñåìåéñòâîì óðàâíåíèé 0V 0 (u) a422 (u)a022 (u)a22 (u)a11 (u) 2a022 (u)0002=−.(1.1.7)−− ε̂uϕϕ + uϕa11 (u)a22 (u)a211 (u)K 2 a211 (u)Óòâåðæäåíèå 1.Èñêëþ÷èì âðåìÿ èç óðàâíåíèÿ (1.1.3) ñ ïîìîùüþ (1.1.4) è ïðèäåìê óðàâíåíèÿì íà ôóíêöèþ u = u(ϕ), çàäàþùóþ îðáèòû.u0 KÑîãëàñíî (1.1.6) ϕ̇ = ε̂ a2K(u) .
Äàëåå u̇ = u0ϕ ϕ̇ = ε̂ a2ϕ(u) . Âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿÄîêàçàòåëüñòâî.2222u0ϕ Kddϕdd)ϕ̇ =(u̇) ·=(ε̂ 2ü = (u̇) =dtdϕdtdϕ a22 (u)0u00ϕϕ K2u02ϕ Ka22 (u)−a222 (u)a322 (u)Ka222 (u).Îñòàëîñü ïîäñòàâèòü ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ äëÿ ϕ̇, u̇, ü â óðàâíåíèå (1.1.3). Ñåìåéñòâî óðàâíåíèé (1.1.7) õîðîøî òåì, ÷òî êàæäîå óðàâíåíèå èìååòñâîèì èíòåãðàëîì ýíåðãèþ äâèæåíèÿ:Çàìå÷àíèå 1.1.1.E=a211 (u) 02 2K2uK+ε̂+ V (u).2a422 (u) ϕ2a222 (u)(1.1.8)Ïðîâåðÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåííî äèôôåðåíöèðîâàíèåì ïî óãëó ϕ (âûðàæåíèå (1.1.8) òàêæåïîëó÷àåòñÿ èç (1.1.5) çàìåíîé t íà ϕ). Ïðè ðàáîòå ñ îðáèòàìè áûâàåò óäîáíåå ïîëüçîâàòüñÿèíòåãðàëîì Eϕ := E/K 2 .
 äàëüíåéøåì áóäåò ïîêàçàíî, ÷òî äëÿ çàìûêàþùåãî ïîòåíöèàëà íà ïîâåðõíîñòè áåç ýêâàòîðîâ ïî ôîðìå îãðàíè÷åííîé îðáèòû (ïî ôóíêöèè u(ϕ))îäíîçíà÷íî âîññòàíàâëèâàþòñÿ ýíåðãèÿ E è êèíåòè÷åñêèé ìîìåíò K òî÷êè, äâèãàþùåéñÿ ïî ýòîé îðáèòå; â ïðîòèâîïîëîæíîñòü ýòîìó, ïî ôîðìå îãðàíè÷åííîé ãåîäåçè÷åñêîéçíà÷åíèÿ E è K îäíîçíà÷íî âîññòàíîâèòü íåëüçÿ, âîññòàíàâëèâàåòñÿ ëèøü ñîîòíîøåíèåE, ò.å. Eϕ .K2Ýòîò ýôôåêò ìîæíî õîðîøî ïðîèëëþñòðèðîâàòü íà ïëîñêîñòè R2 .  ñëó÷àå îòñóòñòâèÿïîòåíöèàëà äâèæåíèå ïðîèñõîäèò ïî ãåîäåçè÷åñêèì, ò.å. ïî ïðÿìûì, ïðè òîì ïî ïðÿìîéìîæíî äâèãàòüñÿ ñ ëþáîé ñêîðîñòüþ, ôîðìà îðáèòû òàê è îñòàíåòñÿ ïðÿìîé.
Åñëè æååñòü öåíòðàëüíûé çàìûêàþùèé ïîòåíöèàë, íàïðèìåð Çåìëÿ ïðèòÿãèâàåò ÈÑÇ ïî çàêîíóâñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ, òîãäà ïîÿâëÿåòñÿ ðàçíèöà: ïðè äâèæåíèè ñ ïåðâîé êîñìè÷åñêîéñêîðîñòüþ ôîðìà îðáèòû áóäåò îêðóæíîñòüþ, à ïðè äâèæåíèè ñî âòîðîé ïàðàáîëîé.Åñòü êîîðäèíàòû, â êîòîðûõ ôîðìóëû (1.1.7), (1.1.8) çàìåòíî óïðîùàþòñÿ. Îíè îïðåäåëÿþòñÿ èç óñëîâèÿ: êîýôôèöèåíò ïðè u02 â óðàâíåíèè (1.1.7) ðàâåía011 (u)2a0 (u)0, ò.å. a11− a2222(u) = 0.
Èíòåãðèðóÿ íàõîäèì, ÷òî â ýòèõ êîîðäèíàòàõ (θ, ϕ) âûïîëíÿåòñÿ(u)Çàìå÷àíèå 1.1.2.12a211 (θ) = Ca422 (θ), ãäå C êîíñòàíòà. Ñóùåñòâóþò îíè ïîòîìó, ÷òî èõ ìîæíî ïðåäúÿâèòüÿâíîé ôîðìóëîé. Ïðè ïåðåõîäå îò (u, ϕ) ê (θ, ϕ) êîìïîíåíòû ìåòðèêè (ñîîòâåòñòâåííî222ïñåâäîðèìàíîâîé ìåòðèêè) ïðåîáðàçóþòñÿ òàê: a211 (u)u02θ = ā11 (θ), a22 (u) = ā22 (θ). Íàa (u)40√ 11ïèñàâ ñîîòíîøåíèå ā211 (θ) = Cā422 (θ) ïîëó÷èì a211 (u)u02θ = Ca22 (u). Òàê θu = ± Ca2 (u) ,22R(u)du0èíòåãðèðóåì θ = ±a√11Ca=60..Çàìåíàu→θ(u)ìîíîòîííàÿ,ò.ê.θ2 (u)u22 êîîðäèíàòàõ (θ, ϕ) (íàçîâåì èõ áåðòðàíîâñêèìè) ïðè C = 1 óðàâíåíèÿ (1.1.7) è (1.1.8)âûãëÿäÿò òàê:01K200θϕϕ = − 2 V (θ) + ε̂ 2(1.1.9)K2a22 (θ) θθϕ02 K 2K2.(1.1.10)E=+ V (θ) + ε̂ 222a22 (θ)2K ñêîáêàõ ñòîèò ýôôåêòèâíûé ïîòåíöèàë W = V + ε̂ 2a2 .22Áåðòðàíîâñêèå êîîðäèíàòû îïðåäåëåíû íåîäíîçíà÷íî, ìîæíî èçìåíÿòü êîíñòàíòó C ,áîëåå òîãî ìîæíî ìåíÿòü êîíñòàíòó èíòåãðèðîâàíèÿ.Ñòîèò îòìåòèòü, ÷òî íåñìîòðÿ íà âíåøíþþ ñõîæåñòü ôîðìóë, îòâå÷àþùèõ óðàâíåíèÿì äâèæåíèÿ, óðàâíåíèÿì îðáèò, ïåðâûì èíòåãðàëàì, ýôôåêòèâíîìó ïîòåíöèàëó âðèìàíîâîì è ïñåâäîðèìàíîâîì ñëó÷àÿõ èìååòñÿ ìíîãî ôóíäàìåíòàëüíûõ îòëè÷èé.
Ïîâåðõíîñòè, äîïóñêàþùèå ñóùåñòâîâàíèå çàìûêàþùèõ ïîòåíöèàëîâ, èìåþò ìíîãî îòëè÷èé, ïðè÷åì â ïñåâäîðèìàíîâîì ñëó÷àå ïîâåðõíîñòåé áóäåò ìåíüøå (ñì. ðèñ. 2.1, 2.2),òàêæå â ïñåâäîðèìàíîâîì ñëó÷àå ïîâåðõíîñòè Áåðòðàíà âñåãäà ðåàëèçóþòñÿ â R32 (ñì.òåîðåìó 8), â îòëè÷èå îò ðèìàíîâà. Ñåðü¼çíûå îòëè÷èÿ çàêëþ÷åíû è â òîïîëîãèè ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà. óòâåðæäåíèè 1, çàìå÷àíèÿõ 1.1.1 è 1.1.2 è âñþäó äàëåå â íàñòîÿùåéðàáîòå ïîä îðáèòîé {θ = θ(ϕ)} ïîíèìàåòñÿ ëîêàëüíî çàäàííàÿ îðáèòà, ò.å.
çàäàííàÿ ââèäå ëîêàëüíîãî ãðàôèêà {θ = θ(ϕ) | ϕ1 < ϕ < ϕ2 } ⊂ S = (a, b) × S 1 , ãäå −∞ ≤ ϕ1 <ϕ2 ≤ +∞ è θ(ϕ) (îäíîçíà÷íàÿ) ôóíêöèÿ íà èíòåðâàëå (ϕ1 , ϕ2 ) ⊂ R. Îòìåòèì, ÷òî åñëèëèáî ϕ1 = −∞, ϕ2 = +∞ è ôóíêöèÿ θ(ϕ) íå ÿâëÿåòñÿ 2π -ïåðèîäè÷íîé, ëèáî ϕ2 − ϕ1 >2π , òî îðáèòà ïåðåñåêàåò íåêîòîðûé ìåðèäèàí áîëåå ÷åì â îäíîé òî÷êå, ïîýòîìó îíà íåÿâëÿåòñÿ ãðàôèêîì íèêàêîé îäíîçíà÷íîé ôóíêöèè θ(ϕ).  ïðîòèâíîì ñëó÷àå, ò.å. åñëèëèáî ϕ1 = −∞, ϕ2 = +∞ è ôóíêöèÿ θ(ϕ) ÿâëÿåòñÿ 2π -ïåðèîäè÷íîé, ëèáî ϕ2 − ϕ1 ≤ 2π ,òî îðáèòà ÿâëÿåòñÿ ãðàôèêîì îäíîçíà÷íîé ôóíêöèè θ(ϕ), çàäàííîé íà âñåé îêðóæíîñòèS 1 èëè íà íåêîòîðîì åå èíòåðâàëå.Çàìå÷àíèå 1.1.3.Äàëåå îïðåäåëèì âèäû òðàåêòîðèé è îðáèò, ñ êîòîðûìè áóäåì ðàáîòàòü.Êðóãîâàÿ îðáèòà îðáèòà, êîòîðàÿ ñîâïàäàåò ñ êàêîé-íèáóäü ïàðàëëåëüþ {u0 } × S .
Ñîîòâåòñòâóþùóþ åé òðàåêòîðèþ òîæå íàçîâ¼ì êðóãîâîé.Îðáèòà (ñîîòâåòñòâóþùàÿ åé òðàåêòîðèÿ) çàìêíóòà, åñëè ôóíêöèÿ ~r(t) ïåðèîäè÷íà.Îïðåäåëåíèå 1.1.4.113Îðáèòà (òðàåêòîðèÿ) îãðàíè÷åííàÿ, åñëè îíà ëåæèò â íåêîòîðîì êîìïàêòå [u1 , u2 ] ×S ⊂ (a, b) × S 1 .Îðáèòà (òðàåêòîðèÿ) îñîáàÿ, åñëè îíà ëåæèò íà ìåðèäèàíå, ò.å. ϕ(t) = const. Äëÿòàêèõ îðáèò è òîëüêî äëÿ íèõ èíòåãðàë êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà K ðàâåí íóëþ.1Çàìåòèì, ÷òî íåîãðàíè÷åííîñòü òðàåêòîðèè (îðáèòû) îçíà÷àåò, ÷òîîíà âûõîäèò íà êðàé ïîâåðõíîñòè. Îñîáåííîñòü îðáèòû îçíà÷àåò ïàäåíèå äâèæóùåãîñÿòåëà íà ïðèòÿãèâàþùèé öåíòð, â ñëó÷àå ïëîñêîñòè R2 ïàäåíèå ïðîèñõîäèò ïî ðàäèàëüíîéïðÿìîé.Êîììåíòàðèé 1.1.Ïàðàëëåëü {u0 } × S 1 ÿâëÿåòñÿ êðóãîâîé îðáèòîé ñ ýíåðãèåé E0 èêèíåòè÷åñêèì ìîìåíòîì K0 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïðîèçâîäíàÿ ýôôåêòèâíîãî ïîK2òåíöèàëà W (u) = V (u) + ε̂ 2a2 0(u) ðàâíà íóëþ â òî÷êå u0 è W (u0 ) = E0 (ñì.
ïðåäëîæåíèå222.1).Çàìå÷àíèå 1.1.4.Êðóãîâàÿ îðáèòà u = u0 ñ êèíåòè÷åñêèì ìîìåíòîì K0 ñèëüíîK2óñòîé÷èâà, åñëè ýôôåêòèâíûé ïîòåíöèàë W (u) = V (u) + ε̂ 2a2 0(u) èìååò â òî÷êå u0 íåâû22ðîæäåííûé ëîêàëüíûé ìèíèìóì.Çàìêíóòàÿ îðáèòà ñ êèíåòè÷åñêèì ìîìåíòîì K0 îðáèòàëüíî óñòîé÷èâà, åñëè îòâå÷àþùàÿ åé ôàçîâàÿ òðàåêòîðèÿ îðáèòàëüíî óñòîé÷èâà äëÿ îãðàíè÷åíèÿ ñèñòåìû íà ìíîæåñòâî óðîâíÿ êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà, ñîäåðæàùåãî ýòó òðàåêòîðèþ {K = K0 }.Îïðåäåëåíèå 1.1.5.Î÷åíü âàæíûì ìîìåíòîì â çàäà÷å Áåðòðàíà ÿâëÿåòñÿ òðåáîâàíèå ê ïîòåíöèàëó êàêîé èìåííî òèï ïîòåíöèàëà íàì íóæåí, ò.å.
â êàêîì êëàññå ôóíêöèé èùåòñÿ V (u).Öåíòðàëüíûé (ò.å. çàâèñÿùèé òîëüêî îò êîîðäèíàòû u) ïîòåíöèàëV íàçîâ¼ì çàìûêàþùèì, åñëèÎïðåäåëåíèå 1.1.6.(∃) ñóùåñòâóåò íåîñîáàÿ îãðàíè÷åííàÿ íåêðóãîâàÿ îðáèòà γ â S ;(∀) âñÿêàÿ íåîñîáàÿ îãðàíè÷åííàÿ îðáèòà â S çàìêíóòà.Çàìåòèì, ÷òî âìåñòî óñëîâèÿ çàìêíóòîñòè îðáèò ïðè óñëîâèè, ÷òîíà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü ìåíüøå íåêîòîðîãî ïðåäåëà, ñôîðìóëèðîâàíî óñëîâèå çàìêíóòîñòèîãðàíè÷åííûõ îðáèò. Òàêæå ê óñëîâèþ çàìêíóòîñòè îðáèò äîáàâèëîñü åù¼ ñóùåñòâîâàíèåîäíîé çàìêíóòîé íåêðóãîâîé.
Ýòî óñëîâèå ñóùåñòâåííî. Ïðèâåä¼ì ïðèìåð ïîòåíöèàëà,äëÿ êîòîðîãî âûïîëíåíî (ïðàâäà òîëüêî ôîðìàëüíî) âòîðîå óñëîâèå, îäíàêî ó íåãî âîîáùå íåò îãðàíè÷åííûõ îðáèò. Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì îáûêíîâåííûé öèëèíäð x2 + y 2 = 1 âR3 ñ ïîòåíöèàëîì V (x, y, z) = z . Ëåãêî âèäåòü, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå íå áóäåò îãðàíè÷åííûõ,à çíà÷èò è çàìêíóòûõ îðáèò.Çàìå÷àíèå 1.1.5.14Îáîáùàÿ òåîðåìó Áåðòðàíà íà ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ ðàçíûå àâòîðû ïî-ðàçíîìó ôîðìóëèðîâàëè çàäà÷ó, â ÷àñòíîñòè èñêàëè ïîòåíöèàë â ðàçíûõ ôóíêöèîíàëüíûõ êëàññàõ.Òåîðåìû 4, 5 è 6 ñôîðìóëèðîâàíû è äîêàçàíû â ðàáîòàõ [56], [59] äëÿ çàìûêàþùåãî ïîòåíöèàëà. Îäíàêî âî ìíîãèõ ðàáîòàõ èñïîëüçîâàëèñü äðóãèå òèïû ïîòåíöèàëîâ.
Íàïðèìåð â ðàáîòàõ Áåðòðàíà, Äàðáó è Ñàíòîïðåòå íåÿâíî ïðåäïîëàãàëñÿ ñèëüíî çàìûêàþùèéïîòåíöèàë (ñì. îïðåäåëåíèå 1.1.10), à ó Ïåðëèêà ñëàáî çàìûêàþùèé. Ìîæíî ñòðîèòüîáîáùåíèå òåîðåìû Áåðòðàíà äëÿ äðóãèõ òèïîâ ïîòåíöèàëîâ, íî êàê ìîæíî óáåäèòüñÿäëÿ ïîâåðõíîñòåé áåç ýêâàòîðîâ âñå ýòè ïîòåíöèàëû ñóòü îäíî è òî æå.Ñëåäóþùèå 4 òèïà ïîòåíöèàëîâ íîñÿò ëîêàëüíûé õàðàêòåð, ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî â ðàáîòàõ, â êîòîðûõ îáîáùàëàñü òåîðåìà Áåðòðàíà, íåêîòîðîå âûðàæåíèå (ïåðèîä äâèæåíèÿïî îðáèòå) ðàñêëàäûâàëîñü â ðÿä Òåéëîðà â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè.Îïðåäåëåíèå 1.1.7.Ïîòåíöèàë V (u) ëîêàëüíî çàìûêàþùèé, åñëè(∃)loc ñóùåñòâóåò ñèëüíî óñòîé÷èâàÿ êðóãîâàÿ îðáèòà {u0 } × S 1 â S ;(∀)loc äëÿ âñÿêîé ñèëüíî óñòîé÷èâîé êðóãîâîé îðáèòû {u0 } × S 1 â S ñóùåñòâóåò ε > 0,òàêîå ÷òî âñÿêàÿ íåîñîáàÿ îãðàíè÷åííàÿ îðáèòà, öåëèêîì ëåæàùàÿ â êîëüöå [u0 −ε, u0 +ε]×S 1 è èìåþùàÿ óðîâåíü êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà â èíòåðâàëå (K0 −ε, K0 +ε),ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòîé, ãäå K0 çíà÷åíèå êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà íà ñîîòâåòñòâóþùåéêðóãîâîé òðàåêòîðèè.Òðåáîâàíèå ñóùåñòâîâàíèÿ õîòÿ áû îäíîé ñèëüíî óñòîé÷èâîé êðóãîâîé îðáèòû âûïîëíÿåò òó æå ðîëü, ÷òî è òðåáîâàíèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ õîòÿ áû îäíîé îãðàíè÷åííîé îðáèòûäëÿ çàìûêàþùåãî ïîòåíöèàëà (çàì.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
