Геометрия гамильтоновых систем для многообразий и потенциалов Бертрана (1102755), страница 4
Текст из файла (страница 4)
1.1.5), áåç íåãî ìîæåò íå ñóùåñòâîâàòü ñèëüíî óñòîé÷èâûõ êðóãîâûõ îðáèò (äà è âîîáùå îãðàíè÷åííûõ îðáèò) è ôîðìàëüíî óñëîâèå (∀)locáóäåò âûïîëíåíî.Íàçîâ¼ì ïîòåíöèàë V (r) ïîëóëîêàëüíî çàìûêàþùèì, åñëè âûïîëíåíû óñëîâèÿ (∃), (∀)loc è ñëåäóþùåå óñëîâèå:Îïðåäåëåíèå 1.1.8.(∀)s−loc ëþáàÿ íåîñîáàÿ îãðàíè÷åííàÿ îðáèòà â êîëüöå U = [a0 , b0 ] × S 1 ñ óðîâíåì êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà K̂ ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòîé, ãäå a0 := inf r|γ , b0 := sup r|γ , γ îãðàíè÷åííàÿîðáèòà èç (∃), K̂ çíà÷åíèå êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà íà íåé.Ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåì 5, 6 â ðàáîòå [56] ðàññìàòðèâàëñÿ ïðåäåëüíûé ïåðåõîä ïðèñòðåìëåíèè íåêðóãîâûõ îðáèò ê êðóãîâîé θ = x, ïîýòîìó åñòåñòâåííî ïðåäïîëîæèòü,÷òî ìîæíî ãëîáàëüíîå òðåáîâàíèå çàìêíóòîñòè îãðàíè÷åííûõ îðáèò çàìåíèòü íà êàêèåíèáóäü ëîêàëüíûå, ÷òî è ñäåëàíî â îïðåäåëåíèÿõ 1.1.7, 1.1.8.Çàìêíóòàÿ îðáèòà u(ϕ) îðáèòàëüíî óñòîé÷èâà, åñëè îòâå÷àþùàÿåé ôàçîâàÿ òðàåêòîðèÿ (u(t), ϕ(t), pu (t), pϕ (t)) áóäåò îðáèòàëüíî óñòîé÷èâà, åñëè ðàññìîòðåòü îãðàíè÷åíèå ñèñòåìû íà ìíîæåñòâî óðîâíÿ êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà {(u, ϕ, pu , pϕ ) :pϕ = const}, ñîäåðæàùåå ýòó ôàçîâóþ òðàåêòîðèþ.Îïðåäåëåíèå 1.1.9.15Ïîòåíöèàë V (r) áóäåì íàçûâàòü ñèëüíî (ñîîòâåòñòâåííî ñëàáî )çàìûêàþùèì, åñëè âûïîëíåíî (∀)loc (ñîîòâåòñòâåííî åãî àíàëîã äëÿ âñÿêîé îðáèòàëüíîóñòîé÷èâîé êðóãîâîé îðáèòû) è ñëåäóþùåå óñëîâèå:ëþáàÿ îêðóæíîñòü {u} × S 1 ÿâëÿåòñÿ ñèëüíî óñòîé÷èâîé (ñîîòâåòñòâåííî îðáèòàëüíîóñòîé÷èâîé) êðóãîâîé îðáèòîé.Îïðåäåëåíèå 1.1.10.Íåñëîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ëþáîé çàìûêàþùèé öåíòðàëüíûé ïîòåíöèàë V (r) ÿâëÿåòñÿ ïîëóëîêàëüíî çàìûêàþùèì, à ëþáîé ñèëüíî çàìûêàþùèé ëîêàëüíîè ñëàáî çàìûêàþùèì.Çàìå÷àíèå 1.1.6.Ïîñêîëüêó íà ïîâåðõíîñòÿõ âðàùåíèÿ áåç ýêâàòîðîâ âñå 5 òèïîâ ïîòåíöèàëîâ ñîâïàäàþò [56], òî ìîæíî ââåñòè ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå.Íàçîâåì ïîâåðõíîñòü âðàùåíèÿ S (èëè S 0 ) áåç ýêâàòîðîâ áåðòðàíîâñêîé, åñëè íà íåé ñóùåñòâóåò çàìûêàþùèé ïîòåíöèàë V , êîòîðûé íàçîâåì áåðòðàíîâñêèì.
À óïîðÿäî÷åííóþ ïàðó (S, V ) íàçîâåì áåðòðàíîâñêîé.Îïðåäåëåíèå 1.1.11.Ðàññìîòðèì â êà÷åñòâå ïðèìåðà îáû÷íóþ åâêëèäîâó ïëîñêîñòü S0 ñ âûêîëîòûì öåíòðîì, ïîëÿðíûìè êîîðäèíàòàìè (r, ϕ mod 2π) è åâêëèäîâîé ìåòðèêîé ds2 = dr2 + r2 dϕ2 .Ïîâåðõíîñòü S0 ÿâëÿåòñÿ ïîâåðõíîñòüþ âðàùåíèÿ (0, ∞) × S 1 . Êðàé ïëîñêîñòè, îòâå÷àþùèé âûêîëîòîìó öåíòðó ÿâëÿåòñÿ óñòðàíèìûì ïîëþñîì, à ïðîòèâîïîëîæíûé êðàé,îòâå÷àþùèé óðîâíþ r = ∞ ÿâëÿåòñÿ àáñîëþòîì. Ïóñòü íà S0 äåéñòâóåò çàêîí âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ, ò.å. çàäàí ïîòåíöèàë V (r) = − Ar (A > 0).
 ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèå îðáèò(1.1.7) ïðèìåò âèä (êàê äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå íà ôóíêöèþ r(ϕ))2A00rϕϕ− rϕ02 − r = − 2 r2 .rKp, ãäå p ôîêàëüíûé ïàðàìåòð, eÐåøåíèÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ âûãëÿäÿò òàê r = 1+e cos(ϕ+ϕ0) ýêñöåíòðèñèòåò îðáèòû, ϕ0 êîíñòàíòà èíòåãðèðîâàíèÿ (óãîë ïîâîðîòà îðáèòû âîêðóãïðèòÿãèâàþùåãî öåíòðà). Ïðè e < 1 ïîëó÷àþòñÿ îãðàíè÷åííûå îðáèòû, êîòîðûå áóäóòýëëèïñàìè, ïðè e ≥ 1 ïîëó÷àþòñÿ íåîãðàíè÷åííûå îðáèòû ïàðàáîëû è ãèïåðáîëû. Ïîòåíöèàë − Ar ÿâëÿåòñÿ çàìûêàþùèì, ò.ê. ñóùåñòâóåò õîòÿ áû îäíà çàìêíóòàÿ íåêðóãîâàÿîðáèòà, à òàêæå âñå îãðàíè÷åííûå îðáèòû (à ýòî ýëëèïñû) áóäóò çàìêíóòû. Êàæäàÿ êðóãîâàÿ îðáèòà áóäåò ñèëüíî óñòîé÷èâîé.Áåðòðàíîâñêèå êîîðäèíàòû (θ, ϕ) ñâÿçàíû ñ ïîëÿðíûìè (r, ϕ) ñîîòíîøåíèåì θ = 1r .
Âáåðòðàíîâñêèõ êîîðäèíàòàõ óïðîùàåòñÿ íå òîëüêî âèä óðàâíåíèÿ (1.1.7), êîòîðîå â íèõïðèíèìàåò âèä θ00 +θ = KA2 , íî è ÿâíûé âèä îðáèò (ôóíêöèè θ(ϕ)): θ = p−1 (1+e cos(ϕ+ϕ0 )).Äðóãèì ïðèìåðîì çàìûêàþùåãî ïîòåíöèàëà ñëóæèò çàêîí Ãóêà V (r) = Ar2 (A > 0). ýòîì ñëó÷àå âñå íåîñîáûå îðáèòû áóäóò ýëëèïñàìè, à íåîãðàíè÷åííûõ íåîñîáûõ îðáèòíå ñóùåñòâóåò.Èññëåäîâàíèå ïîâåðõíîñòåé Áåðòðàíà íà÷í¼ì ñ îïèñàíèÿ íåñêîëüêèõ ïðîñòûõ ïðèìåðîâ. Ñðåäè ïîâåðõíîñòåé âðàùåíèÿ ñ çàìûêàþùèìè ïîòåíöèàëàìè íàèáîëåå ïðîñòûì16ïðèìåðîì, íà êîòîðîì âèäíû âñå îáùèå ñâîéñòâà áåðòðàíîâñêîé ñèñòåìû, ÿâëÿåòñÿ îáû÷íûé êðóãîâîé êîíóñ. Åãî ìåòðèêà ÿâëÿåòñÿ ïëîñêîé åâêëèäîâîé è îí ïîëíîñòüþ îòðàæàåò ñëó÷àé ïëîñêîãî äâèæåíèÿ â öåíòðàëüíîì ïîëå, ïðî êîòîðîå èçâåñòíî íåìàëî.
Òàêæåîãðîìíîå çíà÷åíèå äëÿ èññëåäîâàíèÿ çàìêíóòûõ òðàåêòîðèé íà ïîâåðõíîñòÿõ âðàùåíèÿèãàåò íàëè÷èå ýêâàòîðîâ (ïàðàëëåëåé u = u0 : a022 (u0 ) = 0). Öèëèíäð â ýòîì ñìûñëåöåëèêîì ñîñòîèò èç ïàðàëëåëåé-ýêâàòîðîâ è ÿâëÿåòñÿ íàèáîëåå ïëîõèì êàíäèäàòîì â ïîâåðõíîñòè Áåðòðàíà. Îñòàíîâèìñÿ íà ýòèõ ïðèìåðàõ ïîïîäðîáíåå.1.1.2Öèëèíäð, êîíóñ, ñôåðàÐàññìîòðèì â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå R3 ñ äåêàðòîâûìè êîîðäèíàòàìè (x, y, z ) êðóãîâîé öèëèíäð C0 , çàäàííûé ñîîòíîøåíèÿìè x2 + y 2 = 1, a < z < b, ãäå a, b êîíñòàíòû èçR ∪ {−∞} ∪ {∞}.
Ïîëîæåíèå òî÷êè íà öèëèíäðå çàäà¼òñÿ êîîðäèíàòàìè (z, ϕ mod 2π).Èíäóöèðîâàííàÿ ñ îáúåìëþùåãî ïðîñòðàíñòâà ìåòðèêà íà í¼ì ïðèìåò âèä ds2 = dz 2 +dϕ2 . íàøèõ îáîçíà÷åíèÿõ (1.1.1) a11 = a22 ≡ 1, îòêóäà õîðîøî âèäíî, ÷òî êàæäàÿ ïàðàëëåëüöèëèíäðà ÿâëÿåòñÿ ýêâàòîðîì (â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 1.1.4).Óòâåðæäåíèå 2.Íà öèëèíäðå C0 íå ñóùåñòâóåò çàìûêàþùåãî ïîòåöèàëà.Ïóñòü íà öèëèíäðå ñóùåñòâóåò çàìûêàþùèé ïîòåíöèàë V (z), ïîääåéñòâèåì êîòîðîãî ïî öèëèíäðó äâèæåòñÿ ÷àñòèöà. Òîãäà óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ñîãëàñíî(1.1.3), (1.1.4) âûãëÿäÿò òàê:z̈ = −V 0 (z),ϕ̈ = 0.Äîêàçàòåëüñòâî.Ïîêàæåì, ÷òî åñëè ñóùåñòâóåò õîòÿ áû îäíî çàìêíóòîå íåêðóãîâîå ðåøåíèå, òî òàêæåñóùåñòâóåò îãðàíè÷åííîå íåâûðîæäåííîå íåçàìêíóòîå ðåøåíèå, è òåì ñàìûì ïðèâåä¼ìóòâåðæäåíèå ê ïðîòèâîðå÷èþ.Âèä óðàâíåíèé ïîêàçûâàåò, ÷òî äâèæåíèå âäîëü êîîðäèíàò z è ϕ ïðîèñõîäÿò íåçàâèñèìîäðóã îò äðóãà, ïîýòîìó çàìêíóòîñòü îðáèòû îçíà÷àåò íåêîòîðóþ ñîãëàñîâàííîñòü ýòèõäâèæåíèé; èäåÿ ñîñòîèò â òîì, ÷òî ìîæíî äâèæåíèå âäîëü ïàðàëëåëè ÷óòü-÷óòü óñêîðèòü èëè çàìåäëèòü, ÷òîáû òå îðáèòû, êîòîðûå áûëè çàìêíóòû, ðàçîìêíóëèñü áû. ñèëó çàìûêàåìîñòè ïîòåíöèàëà ñóùåñòâóåò õîòÿ áû îäíà íåêðóãîâàÿ çàìêíóòàÿ òðàåêòîðèÿ r~1 (t) = (z1 (t), ϕ1 (t)), òîãäà ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ íàéä¼òñÿ îáùèé ïåðèîä Tó ôóíêöèé z1 (t), ϕ1 (t).
Èíòåãðèðîâàíèå âòîðîãî óðàâíåíèÿ äà¼ò ϕ = c1 t + c2 (çíà÷åíèÿ, îòëè÷àþùèåñÿ íà 2π , çàäàþò îäíó è òó æå êîîðäèíàòó). Ðàññìîòðèì òðàåêòîðèþ√r~2 (t) := (z1 (t), ϕ2 (t)) (ñì. ðèñ 1.1), ãäå ϕ2 (t) = 2c1 t + c2 (óñêîðèì äâèæåíèå âäîëü ϕ).Ïåðèîäû ó z1 (t) è ϕ2 (t) òåïåðü íåñîèçìåðèìû, ïîýòîìó ó ýòèõ ôóíêöèé íåò îáùåãî ïåðèîäà, à çíà÷èò òðàåêòîðèÿ r~2 (t) íåçàìêíóòà (õîòÿ ëåæèò â òåõ æå ãðàíèöàõ, ÷òî è r~1 (t)).Ïîëó÷àåòñÿ ó ïîòåíöèàëà V (z) åñòü îãðàíè÷åííûå íåçàìêíóòûå òðàåêòîðèè. Êîíóñ ÿâëÿåòñÿ ïîâåðõíîñòüþ áåç ýêâàòîðîâ è íà í¼ì â îòëè÷èè îò öèëèíäðà ñóùåñòâóåò äâà çàìûêàþùèõ ïîòåíöèàëà.
Ðàññìîòðèì àáñòðàêòíûé êîíóñ, ò.å. ïîâåðõíîñòü17r1HtLr2HtLÐèñ. 1.1: Èñõîäíàÿ r1 (t) è ðàñòÿíóòàÿ r2 (t) îðáèòû.C ≈ (0, ∞) × S 1 ñ êîîðäèíàòàìè (u, ϕ mod 2π) è ìåòðèêîéds2 = du2 + µ2 u2 dϕ2 ,ãäå êîíñòàíòà µ > 0 è óãîë ïðè âåðøèíå ïîëó÷àåòñÿ 2πµ.Íà òåõ êîíóñàõ, ãäå êîíñòàíòà µ èððàöèîíàëüíàÿ, íå ñóùåñòâóåòöåíòðàëüíûõ çàìûêàþùèõ ïîòåíöèàëîâ V (u). Íà òåõ êîíóñàõ, ãäå µ ∈ Q, ñóùåñòâóåòðîâíî äâà çàìûêàþùèõ ïîòåíöèàëà: àíàëîã íüþòîíîâñêîãî V1 (u) = Au−1 + B , ãäå A < 0,è àíàëîã ãóêîâñêîãî V2 (u) = Au2 + B , ãäå A > 0.
Îðáèòû çàäàííûå êàê ôóíêöèÿ u(ϕ)èìåþò îäèí è òîò æå ïåðèîä Φ2 = π/µ äëÿ ãóêîâñêîãî è Φ1 = 2π/µ äëÿ íüþòîíîâñêîãî.Óòâåðæäåíèå 3.Óòâåðæäåíèå ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì òåîðåìû 4.Êîììåíòàðèé 1.2.Îïèøåì ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ðàöèîíàëüíîé êîíñòàíòû µ = pq .Ó îðáèòû u(ϕ) êîíñòàíòà µ îïðåäåëÿåò êîëè÷åñòâî âèòêîâ âîêðóã ïîâåðõíîñòè, êîòîðîåäîëæíà ñäåëàòü ÷àñòèöà, ïðåæäå ÷åì òðàåêòîðèÿ çàìêí¼òñÿ. Ãðàôèê îðáèòû u(ϕ) íàïëîñêîñòè (u, ϕ) áóäåò ïðåäñòàâëÿòü èç ñåáÿ ñèíóñîèäó ñ ïåðèîäîì Φ1 (Φ2 äëÿ ñëó÷àÿãóêîâñêîãî ïîòåíöèàëà). Ãðàôèê ñ ðîñòîì ϕ êîëåáëåòñÿ ìåæäó ìàêñèìóìîì (max u(ϕ)) èìèíèìóìîì (min u(ϕ)).
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî çà p (äëÿ ãóêîâñêîãî çà 2p) êîëåáàíèé çíà÷åíèåêîîðäèíàòû ϕ óâåëè÷èòñÿ íà 2qπ è ÷àñòèöà â ñâî¼ì äâèæåíèè ïî êîíóñó C ñîâåðøèò qîáîðîòîâ âîêðóã ïîâåðõíîñòè.Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë êîíñòàíòû µ äëÿ ïîâåðõíîñòè ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Ðàññìîòðèì êîíñòðóêöèþ: ðàçðåæåì êîíóñ C ïî îáðàçóþùåé è ðàçâåðíåì. Ïîëó÷èì íåêîòîðûéñåêòîð íà åâêëèäîâîé ïëîñêîñòè. Çàìåòèì, ÷òî óãîë ïðè âåðøèíå (ðàâíûé 2πµ) ìîæåòáûòü è áîëüøå 2π, â ýòîì ñëó÷àå êîíóñ íå âëîæèòñÿ â R3 êàê ïîâåðõíîñòü âðàùåíèÿ.
Äàëåå ðàññìîòðèì ïîâåðõíîñòü C̃, ÿâëÿþùóþñÿ îäíîâðåìåííî ðàçâåòâëåííûì íàêðûòèåìêîíóñà C è ðàçâåòâëåííûì íàêðûòèåì åâêëèäîâîé ïëîñêîñòè, ãäå êîëè÷åñòâî ëèñòîâ ëþáîãî èç íàêðûòèé ìèíèìàëüíî âîçìîæíîå. Ïîâåðõíîñòü C̃ ìîæíî ïîñòðîèòü ñëåäóþùèì18îáðàçîì. Áóäåì íàêëàäûâàòü íà ïëîñêîñòü ñåêòîðà, ïîëó÷åííûå ðàçâîðîòîì ðàçðåçàííîãî ïî îáðàçóþùåé êîíóñà, êàæäûé ñëåäóþùèé ïîâîðà÷èâàÿ òàê, ÷òîáû áåðåã êàæäîãîñëåäóþùåãî ñåêòîðà ñîâïàë ñ ïðîòèâîïîëîæíûì áåðåãîì ïðåäûäóùåãî.
Òàêèì îáðàçîìïîëó÷èì ðàçâåòâëåííîå íàêðûòèå C̃ → R2 \ {0} íàä ïðîêîëîòîé ïëîñêîñòüþ. Ïðè ýòîì,åñëè êîíóñ áûë ðàöèîíàëåí, ò.å. óãîë ïðè âåðøèíå áûë ñîèçìåðèì ñ 2π (èíûìè ñëîâàìè, µ ∈ Q, îáîçíà÷èì µ = pq ), òî ÷åðåç q øàãîâ ïîñòðîåíèÿ C̃ áåðåã î÷åðåäíîãî ñåêòîðàñîâïàäåò ñ áåðåãîì ïåðâîãî ñåêòîðà; â ýòîì ñëó÷àå ïðåêðàòèì ïðîöåññ ïîñòðîåíèÿ C̃ èíàêðûòèå C̃ → R2 \ {0} áóäåò p−ëèñòíûì.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå áåðåãà ðàçíûõ ñåêòîðîâíèêîãäà íå ñîâïàäóò è íàêðûòèå áóäåò áåñêîíå÷íîëèñòíûì.Òàêèì îáðàçîì, ïîâåðõíîñòü C̃ íàêðûâàåò èñõîäíûé êîíóñ q−ëèñòíî, åñëè µ ðàöèîíàëüíî è ðàâíî pq , áåñêîíå÷íîëèñòíî â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Íàêðûòèå ñòðîèòñÿ åñòåñòâåííûì îáðàçîì: åãî ëèñòàìè áóäóò ñåêòîðà, èç êîòîðûõ ñîñòàâëåíà ïîâåðõíîñòü C̃ ; êàæäûéòàêîé ñåêòîð ðàçâåðòêà êîíóñà, ïîýòîìó ìîæíî îïðåäåëèòü îòîáðàæåíèå C̃ → C, ïåðåâîäÿùåå â òî÷êó ñ êîîðäèíàòàìè (r, ϕ) íà êîíóñå âñå òî÷êè ïîâåðõíîñòè C̃, èìåþùèåòå æå êîîðäèíàòû íà òîì ñåêòîðå, êîòîðîìó ïðèíàäëåæàò.
Íàãëÿäíî ýòî ìîæåò áûòüïðåäñòàâëåíî ñëåäóþùèì îáðàçîì. Âîçüìåì ñåêòîðà, ïîëó÷åííûå ðàçâîðà÷èâàíèåì ðàçðåçàííîãî ïî îáðàçóþùåé êîíóñà, è ðàñïîëîæèì èõ íàä ðàçâåðòêîé êîíóñà äðóã íàääðóãîì q ýêçåìïëÿðîâ, åñëè µ ðàöèîíàëüíî, ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî â ïðîòèâíîì ñëó÷àå;ïðîòèâîïîëîæíûå êðàÿ ëåæàùèõ äðóã íàä äðóãîì ñåêòîðîâ ñ÷èòàþòñÿ ñêëååííûìè. Òî÷êè ýòèõ ñåêòîðîâ ýòî òî÷êè ïîâåðõíîñòè C̃, îòîáðàæåíèå C̃ → C çàäàåòñÿ åñòåñòâåííîéïðîåêöèåé.Ñëó÷àé µ = 1 ñîîòâåòñòâóåò ïðîêîëîòîé ïëîñêîñòè.Ñôåðà èìååò âñåãî îäèí ýêâàòîð è â ýòîì ñìûñëå ÿâëÿåòñÿ ïîãðàíè÷íûì ñëó÷àåì ìåæäó êîíóñîì è öèëèíäðîì. Ðàññìîòðèì ñôåðó S 2 ñ êîîðäèíàòàìè (ν, ϕ), ãäå ν øèðîòà,ϕ äîëãîòà, è ñ ìåòðèêîé ds2 = dν 2 + sin2 ν dϕ2 . Ïóñòü íà ñôåðå äåéñòâóåò ïîòåíöèàëV ≡ 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
