Геометрия гамильтоновых систем для многообразий и потенциалов Бертрана (1102755), страница 2
Текст из файла (страница 2)
a022 (u) 6=0 ∀u ∈ (a, b) (ñì. ïîäðîáíåå [56]). Îòñóòñòâèå ýêâàòîðîâ ÿâëÿåòñÿ âàæíûì óñëîâèåì; âñëó÷àå æå èõ íàëè÷èÿ âñå äàííûå ðàçëè÷íûìè ìàòåìàòèêàìè äîêàçàòåëüñòâà íå ðàáîòàþò â îêðåñòíîñòÿõ ýêâàòîðîâ. Áîëåå òîãî ñóùåñòâóþò ïîòåíöèàëû, òîæäåñòâåííî ðàâíûåêîíñòàíòå, êîòîðûå çàäàþò ãåîäåçè÷åñêèå íà ïîâåðõíîñòè [5], ïðè÷¼ì òàêèõ ïîâåðõíîñòåéâðàùåíèÿ, íàçûâàåìûõ ïîâåðõíîñòÿìè Òàííåðè (âñå ãåîäåçè÷åñêèå êîòîðûõ çàìêíóòû)ñóùåñòâåííî áîëüøå ÷åì áåðòðàíîâñêèõ. Óñïåøíîå ðåøåíèå ïðîáëåìû âîçìîæíîãî íàëè÷èÿ ýêâàòîðîâ, ïðè óñëîâèè çàìêíóòîñòè âñåõ íåîñîáûõ îðáèò, ñ ïîìîùüþ ïðèíöèïàÌîïåðòþè è êëàññèôèêàöèè [5] ïîâåðõíîñòåé Òàííåðè ïðåäëîæåíî â ñòàòüå [39].Çàìå÷àíèå 0.0.3.Ïåðâîå ðåøåíèå äëÿ ïîâåðõíîñòåé âðàùåíèÿ óäàëîñü ïîëó÷èòü Äàðáó â 1877ã. [8],ïðàâäà îí íå ïðåäñòàâèë ïîëíîãî îïèñàíèÿ ñ ÿâíûì âèäîì ìåòðèê âñåõ òàêèõ ïîâåðõíîñòåé. Èç åãî óòâåðæäåíèé ñëåäóåò ñëåäóþùåå: ïîòåíöèàë V ÿâëÿåòñÿ èñêîìûì òîãäà èòîëüêî òîãäà, êîãäà â êîîðäèíàòàõ (V, ϕ) ìåòðèêà ïîâåðõíîñòè S èìååò âèäds2 =èëèds2 =dϕ2A dV 2+µ2 (AV 2 − BV + C)2 AV 2 − BV + Cdϕ2A dV 2+,µ2 (−V − K)3 (A/(−V − K) − BV + C)2 A/(−V − K) − BV + Cãäå A, B, C, K äåéñòâèòåëüíûå êîíñòàíòû, µ ðàöèîíàëüíàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ.
Êîíñòàíòû íå ìîãóò áûòü ïðîèçâîëüíûìè, îíè äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü äâóì óñëîâèÿì (ñì.[56]). 1992 Ïåðëèê îáîáùèë òåîðåìó Áåðòðàíà äëÿ ÎÒÎ íà ïîâåðõíîñòü ñ ìåòðèêîéïðîñòðàíñòâà-âðåìåíè [23]. Èññëåäîâàíèå ñ ó÷¼òîì ÎÒÎ ïðîäîëæèëè èñïàíöû â 20082010 ãã. [1, 2, 3]. 2007 Ñàíòîïðåòå [24] ïîëó÷èë ôîðìóëèðîâêó òåîðåìû Áåðòðàíà äëÿ àíàëèòè÷åñêîéïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ S â R3 â íàòóðàëüíûõ êîîðäèíàòàõ (v, ϕ), ò.å. â òàêèõ, â êîòîðûõìåòðèêà íà S èìååò âèä!10.(0.0.2)0 f 2 (v)Ïåðâàÿ ÷àñòü åãî òåîðåìû îáîáùàåò ðåçóëüòàò Áåðòðàíà íà ïîâåðõíîñòè ïîñòîÿííîé êðèâèçíû (áåç ýêâàòîðîâ, âëîæåííûå â R3 ), âòîðàÿ ÷àñòü óòâåðæäàåò, ÷òî íà âñåõ îñòàëüíûõïîâåðõíîñòÿõ âðàùåíèÿ áåðòðàíîâñêîãî ïîòåíöèàëà ìîæåò áûòü íå áîëåå îäíîãî, óêàçàíîíåîáõîäèìîå óñëîâèå äëÿ ýòîãî.5(Ñàíòîïðåòå Ì.) Ïóñòü äàíà àíàëèòè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòü âðàùåíèÿ S ñêîîðäèíàòàìè (v, ϕ) è ìåòðèêîé (0.0.2). ÒîãäàÒåîðåìà 1.• Íà S ñóùåñòâóåò ðîâíî 2 áåðòðàíîâñêèõ ïîòåíöèàëà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàf (v) óäîâëåòâîðÿåò f 00 f − f 02 ≡ −β 2 , ãäå β > 0 ðàöèîíàëüíàÿ êîíñòàíòà.• Íà îñòàëüíûõ S ñóùåñòâóåò íå áîëåå îäíîãî áåðòðàíîâñêîãî ïîòåíöèàëà, ïðèòîìäëÿ åãî ñóùåñòâîâàíèÿ íåîáõîäèìî, ÷òîáû f äëÿ íåêîòîðîé ðàöèîíàëüíîé β > 0óäîâëåòâîðÿëà β 4 − 5(−f 00 f + f 02 )β 2 − 5f f 00 f 02 + 4f 002 f 2 − 3f 000 f 0 f 2 + 4f 04 = 0. îðèãèíàëüíîé ñòàòüå íåÿâíî ïðåäïîëàãàëîñü îòñóòñòâèå ó ïîâåðõíîñòè ýêâàòîðîâ, òàêæå ïîä áåðòðàíîâñêèì ïîíèìàëñÿ íå çàìûêàþùèé, à ñèëüíî çàìûêàþùèé ïîòåíöèàë (ñì.
äàëåå), êðîìå òîãî áûë óñòàíîâëåí ÿâíûé âèä ïîòåíöèàëîâ â íåêîòîðûõ (áåðòðàíîâñêèõ, ñì. çàì. 1.1.2) êîîðäèíàòàõ. Óñëîâèå íà ìåòðèêó β 4 − 5(−f 00 f +f 02 )β 2 − 5f f 00 f 02 + 4f 002 f 2 − 3f 000 f 0 f 2 + 4f 04 = 0 ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â äðóãîì âèäå(ñì. ïîäðîáíåå òåîðåìó 9).Çàìå÷àíèå 0.0.4.Ýòà òåîðåìà ïîêàçûâàåò, ÷òî íà ïîâåðõíîñòÿõ âðàùåíèÿ ñóùåñòâóþò ñåðü¼çíûå îòëè÷èÿ îò åâêëèäîâîé ïëîñêîñòè, ñôåðû è ïëîñêîñòè Ëîáà÷åâñêîãî, ò.ê. çäåñü íàéäóòñÿïîâåðõíîñòè òîëüêî ñ îäíèì áåðòðàíîâñêèì ïîòåíöèàëîì (àíàëîã ïîòåíöèàëà Ãóêà).Ê äàííîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìå äâèæåíèÿ ïî äâóìåðíîé ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ ïîääåéñòâèåì öåíòðàëüíîãî ïîòåíöèàëà ïðèìåíèì òàêæå ãàìèëüòîíîâ ïîäõîä.
Ñèñòåìà èìååò äâå ñòåïåíè ñâîáîäû è äâà ïåðâûõ íåçàâèñèìûõ êîììóòèðóþùèõ èíòåãðàëà ýíåðãèè èêèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà. Ïîõîæèå ñèñòåìû àêòèâíî èçó÷àþòñÿ â ïîñëåäíåå âðåìÿ òîïîëîãè÷åñêèìè ìåòîäàìè, ðàçâèòûìè â ðàáîòàõ [32], [47]-[41], [20]. Ñðåäè ïîäîáíûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì áåðòðàíîâñêàÿ ïðåäñòàâëÿåò îñîáûé èíòåðåñ, ò.ê. îíà íå ÿâëÿåòñÿ âïîëíåèíòåãðèðóåìîé ïî Ëèóâèëëþ, îäíàêî êàæäûé å¼ ðåãóëÿðíûé ñëîé Ëèóâèëëÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëèáî òîð, ëèáî öèëèíäð, ëèáî ïàðó öèëèíäðîâ, åå èçîýíåðãåòè÷åñêèå ïîâåðõíîñòèíå ÿâëÿþòñÿ êîìïàêòíûìè, âñå å¼ òîðû Ëèóâèëëÿ ðåçîíàíñíû. Ïîëó÷åííîå â ðàáîòå [30]îáîáùåíèå òåîðåìû Ëèóâèëëÿ äëÿ ñèñòåì ñ îäíèì íåïîëíûì ôàçîâûì ïîòîêîì ïîçâîëÿåòóâåðåííî ïðèìåíÿòü ðàçðàáîòàííûå ìåòîäû îïèñàíèÿ âïîëíå èíòåãðèðóåìûõ ïî Ëèóâèëëþ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì ê ñèñòåìå Áåðòðàíà.Öåëü äèññåðòàöèèÄèññåðòàöèîííàÿ ðàáîòà ïðåñëåäóåò ñëåäóþùèå öåëè:1.
Îáîáùåíèå òåîðåìû Áåðòðàíà íà àáñòàêòíûå ìíîãîîáðàçèÿ âðàùåíèÿ ñ ïñåâäîðèìàíîâîé ìåòðèêîé. Ïðîâåäåíèå êëàññèôèêàöèè ïîâåðõíîñòåé Áåðòðàíà.2. Àíàëèç ðåàëèçóåìîñòè ïñåâäîðèìàíîâûõ ïîâåðõíîñòåé Áåðòðàíà, îáîáùåíèå êðèòåðèÿ Ñàíòîïðåòå è ïåðâîãî çàêîíà Êåïëåðà íà íèõ.3. Îïèñàíèå ñëîåíèÿ Ëèóâèëëÿ áåðòðàíîâñêèõ ñèñòåì ñ ïñåâäîðèìàíîâîé ìåòðèêîé,ïîñòðîåíèå áèôóðêàöèîííûõ äèàãðàìì.6Ìåòîäû èññëåäîâàíèÿ äèññåðòàöèè èñïîëüçóþòñÿ ìåòîäû äèôôåðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè, òîïîëîãèè è òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêè. Ïðè èññëåäîâàíèè òîïîëîãèè ñëîåíèÿ Ëèóâèëëÿ áåðòðàíîâñêîéñèñòåìû èñïîëüçóþòñÿ ìåòîäû òåîðèè òîïîëîãè÷åñêîé êëàññèôèêàöèè èíòåãðèðóåìûõãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.Íàó÷íàÿ íîâèçíàÐåçóëüòàòû äèññåðòàöèè ÿâëÿþòñÿ íîâûìè, ïîëó÷åíû àâòîðîì ñàìîñòîÿòåëüíî è çàêëþ÷àþòñÿ â ñëåäóþùåì:1.
Íàéäåíû âñå ρ-çàìûêàþùèå ôóíêöèè îáîáùåííîãî ñåìåéñòâà äèôôåðåíöèàëüíûõóðàâíåíèé Áåðòðàíà.2. Îáîáùåíà òåîðåìà Áåðòðàíà íà àáñòðàêòíûå ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ áåç ýêâàòîðîâ,ñ ïñåâäîðèìàíîâîé ìåòðèêîé. Ïðîâåäåíà êëàññèôèêàöèÿ âñåõ ïîâåðõíîñòåé Áåðòðàíà.3. Óñòàíîâëåí ôàêò ðåàëèçóåìîñòè ïîâåðõíîñòåé Áåðòðàíà ñ ïñåâäîðèìàíîâîé ìåòðèêîé â R32 , îáîáùåí êðèòåðèé Ñàíòîïðåòå è ïåðâûé çàêîí Êåïëåðà.4. Äëÿ ñèñòåì Áåðòðàíà ñ ïñåâäîðèìàíîâîé ìåòðèêîé ïîñòðîåíû áèôóðêàöèîííûåäèàãðàììû îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà, îïèñàíû ïåðåñòðîéêè ñëîåâ Ëèóâèëëÿ, ñâÿçàííûå êàê ñ îñîáûìè òî÷êàìè îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà, òàê è ñ ðåãóëÿðíûìè.Àïðîáàöèÿ äèññåðòàöèèÐåçóëüòàòû äèññåðòàöèè äîêëàäûâàëèñü íà ñëåäóþùèõ íàó÷íûõ êîíôåðåíöèÿõ:• ìåæäóíàðîäíàÿ êîíôåðåíöèÿ Âîðîíåæñêàÿ çèìíÿÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ øêîëà èì. Ñ.Ã.Êðåéíà.
(Âîðîíåæ, 25-30 ÿíâàðÿ 2012 ã.);• XX ìåæäóíàðîäíàÿ êîíôåðåíöèÿ ñòóäåíòîâ, àñïèðàíòîâ è ìîëîäûõ ó÷¼íûõ Ëîìîíîñîâ (Ìîñêâà, 813 àïðåëÿ 2013 ã.);• XXI ìåæäóíàðîäíàÿ êîíôåðåíöèÿ ñòóäåíòîâ, àñïèðàíòîâ è ìîëîäûõ ó÷¼íûõ Ëîìîíîñîâ (Ìîñêâà, 711 àïðåëÿ 2014 ã.).Ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè äîêëàäûâàëèñü è îáñóæäàëèñü íà çàñåäàíèÿõ ñëåäóþùèõ íàó÷íûõ ñåìèíàðîâ:• íà ñåìèíàðå Ñîâðåìåííûå ãåîìåòðè÷åñêèå ìåòîäû ïîä ðóêîâîäñòâîì àêàä.
À.Ò.Ôîìåíêî, ïðîô. À.Â.Áîëñèíîâà, ïðîô. À.Ñ.Ìèùåíêî, ïðîô. À.À.Îøåìêîâà, äîö.Å.À.Êóäðÿâöåâîé, äîö. È.Ì.Íèêîíîâà. (íåîäíîêðàòíî: 2008-2014 ãã.);• íà ñåìèíàðå Ãåîìåòðèÿ â öåëîì ïîä ðóêîâîäñòâîì ïðîô. È.Õ. Ñàáèòîâà â 2012 ã;7• íà ñåìèíàðå ¾Oberseminar Dierentialgeometrie¿ ïîä ðóêîâîäñòâîì ïðîô. Ã. Êíèïåðà(ñîâìåñòíûé ñåìèíàð Ðóðñêîãî óíèâåðñèòåòà â Áîõóìå è Òåõíè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòàâ Äîðòìóíäå, Ãåðìàíèÿ, 2010 ã.).ÏóáëèêàöèèÎñíîâíûå ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè îïóáëèêîâàíû â 8 ðàáîòàõ [56-63], ñïèñîê êîòîðûõïðèâåäåí â êîíöå äèññåðòàöèè.Ñòðóêòóðà è îáú¼ìÄèññåðòàöèÿ ñîñòîèò èç ââåäåíèÿ è ÷åòûðåõ ãëàâ. Òåêñò äèññåðòàöèè èçëîæåí íà 107ñòðàíèöàõ è ñîäåðæèò 1 òàáëèöó è 27 ðèñóíêîâ.
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû ñîäåðæèò 63 íàèìåíîâàíèÿ.Âî ââåäåíèè ïîäðîáíî èçëàãàåòñÿ èñòîðèÿ ðàññìàòðèâàåìûõ âîïðîñîâ; îáîñíîâûâàåòñÿ àêòóàëüíîñòü ðåçóëüòàòîâ è èõ íàó÷íàÿ íîâèçíà; îïèñûâàåòñÿ ñòðóêòóðà äèññåðòàöèèè îñíîâíûå ðåçóëüòàòû. ïåðâîé ãëàâå ïðèâîäÿòñÿ áàçîâûå îïðåäåëåíèÿ è ðàññìàòðèâàþòñÿ êëàññè÷åñêèåïðèìåðû ñèñòåì Áåðòðàíà íà ïëîñêîñòè è ïîëóñôåðå; íàðÿäó ñ êëàññè÷åñêèìè ïðèìåðàìèðàçáèðàåòñÿ ïðèìåð ñ ïðîèçâîëüíûì öåíòðàëüíûì ãëàäêèì ïîëåì íà êðóãîâîì öèëèíäðå,äëÿ êîòîðîãî ïîêàçûâàåòñÿ íåçàìûêàåìîñòü.
Òàêæå çäåñü ôîðìóëèðóåòñÿ îïîðíûé äëÿäàëüíåéøèõ ãëàâ ðåçóëüòàò, êàñàþùèéñÿ ñâîéñòâ ïåðèîäè÷íîñòè ðåøåíèé îáîáùåííîãîñåìåéñòâà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé Áåðòðàíà.Âî âòîðîé ãëàâå ôîðìóëèðóåòñÿ îáîáùåíèå êëàññè÷åñêîé òåîðåìû Áåðòðàíà íà ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ ñ ïñåâäîðèìàíîé ìåòðèêîé, â êîòîðîé óêàçûâàþòñÿ âñå èíäåôèíèòíûå ìåòðèêè áåç ýêâàòîðîâ, äîïóñêàþùèå ñóùåñòâîâàíèå íà ïîâåðõíîñòè öåíòðàëüíîãîçàìûêàþùåãî ïîòåíöèàëà, à òàêæå ïðèâîäÿòñÿ ñàìè ïîòåíöèàëû. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâàîáîáùåíèÿ óñòàíàâëèâàåòñÿ ðÿä âçàèìîñâÿçåé ìåæäó îðáèòàìè íà ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿè àíàëèòè÷åñêèìè ñâîéñòâàìè ýôôåêòèâíîãî ïîòåíöèàëà. Ïðèâîäèòñÿ ïîëíàÿ êëàññèôèêàöèÿ ïîâåðõíîñòåé Áåðòðàíà ñ òî÷íîñòüþ äî èçîìåòðèè è ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîäîáèÿ.
Âêîíöå ãëàâû óñòàíàâëèâàåòñÿ ÿâíûé âèä çàâèñèìîñòè ïåðèîäà T çàìêíóòûõ òðàåêòîðèéîò ïåðâîãî èíòåãðàëà ýíåðãèè äëÿ íåêîòîðûõ ìíîãîîáðàçèé Áåðòðàíà. Äëÿ ïîâåðõíîñòåéÁåðòðàíà ïîñòîÿííîé ãàóññîâîé êðèâèçíû àíàëîãè÷íûé ðåçóëüòàò áûë ïîëó÷åí Â.Â. Êîçëîâûì [37].Òðåòüÿ ãëàâà ïîñâÿùåíà âî ìíîãîì ñâîéñòâàì ïîâåðõíîñòåé Áåðòðàíà, êîòîðûå ìîæíî îïðåäåëåííûì îáðàçîì ðåàëèçîâàòü êàê ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ â R3 è R32 . Äîêàçàíî,÷òî âñå ïîâåðõíîñòè Áåðòðàíà ñ ïñåâäîðèìàíîâîé ìåòðèêîé áåç ýêâàòîðîâ ðåàëèçóþòñÿâ R32 . Äëÿ âñåõ òàêèõ ïîâåðõíîñòåé îáîáùåí èçâåñòíûé êðèòåðèé Ñàíòîïðåòå.
Òàêæå äëÿíåêîòîðûõ èç íèõ ñôîðìóëèðîâàí àíàëîã ïåðâîãî çàêîíà Êåïëåðà. ÷åòâåðòîé ãëàâå ñèñòåìû Áåðòðàíà ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê ãàìèëüòîíîâû ñèñòåìûè èçó÷àåòñÿ èõ ñëîåíèå Ëèóâèëëÿ ïåðâûõ èíòåãðàëîâ ýíåðãèè è êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà.Äëÿ êàæäîé ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ ñ ïñåâäîðèìàíîâîé ìåòðèêîé è çàìûêàþùèì ïîòåíöèàëîì íà íåé ïîñòðîåíû áèôôóðêàöèîííûå äèàãðàììû. Íà îáðàçå ôàçîâîãî ïðîñòðàí8ñòâà ïðè îòîáðàæåíèè ìîìåíòà âûäåëåíû çîíû, îòâå÷àþùèå ðàçëè÷íûì âèäàì ñëîåâËèóâèëëÿ, êîòîðûå ñîîòâåòñòâóþò ðàçëè÷íûì òèïàì äâèæåíèé, äëÿ êàæäîãî ñëîÿ óñòàâíîâëåíî, ïîëíû ëè ôàçîâûå ïîòîêè sgrad E , sgrad K ; îïèñàíû âîçíèêàþùèå ïåðåñòðîéêèñëîåâ Ëèóâèëëÿ ïðè ïåðåõîäå èç îäíîé çîíû â äðóãóþ.ÁëàãîäàðíîñòèÀâòîð âûðàæàåò ãëóáîêóþ áëàãîäàðíîñòü À.Ò.
Ôîìåíêî è Å.À. Êóäðÿâöåâîé çà ïîñòàíîâêó çàäà÷ è ïîñòîÿííóþ ïîìîùü íà âñåõ ýòàïàõ ðàáîòû. Àâòîð áëàãîäàðåí È.Õ.Ñàáèòîâó, À.Ä. Ìàëûõ è À.Â. Ùåïåòèëîâó çà ïîëåçíûå îáñóæäåíèÿ. Àâòîð áëàãîäàðåíÀ.Ñ. Ìèùåíêî, À.À. Îøåìêîâó, Ä.À. Ôåäîñååâó çà ó÷àñòèå â äèñêóññèÿõ è ïîëåçíûå ñîâåòû.9Ãëàâà 1Ïîâåðõíîñòè è ìåòðèêè Áåðòðàíà1.11.1.1Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ è ïðèìåðûÁàçîâûå îïðåäåëåíèÿÄèññåðòàöèÿ ïîñâÿùåíà èññëåäîâàíèþ äâóõ ìåõàíè÷åñêèõ ñèñòåì: äâèæåíèå ïî ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ ñ ðèìàíîâîé è ïñåâäîðèìàíîâîé ìåòðèêàìè ñîîòâåòñòâåííî. Îïèøåìïîäðîáíåå âûøåóïîìÿíóòûå ñèñòåìû ñ òî÷êè çðåíèÿ ëàãðàíæåâà ôîðìàëèçìà.Áóäåì ðàññìîòðèâàòü àáñòðàêòíûå äâóìåðíûå ìíîãîîáðàçèÿ âðàùåíèÿ S ≈ (a, b) × S 1ñ êîîðäèíàòàìè (u, ϕ mod 2π) è ðèìàíîâîé ìåòðèêîé:ds2 = a211 (u)du2 + a222 (u)dϕ2 .(1.1.1)Ôóíêöèè a11 (u), a22 (u) ãëàäêèå C 5 (a, b) è ñòðîãî ïîëîæèòåëüíûå, ãäå a è b ïðîáåãàþòëþáûå çíà÷åíèÿ îò −∞ äî +∞, ò.å.
óäîâëåòâîðÿþò −∞ ≤ a < b ≤ ∞.  ñëó÷àå, åñëè ïîâåðõíîñòü S ìîæíî âëîæèòü â R3 êàê ïîâåðõíîñòü âðàùåíèÿ ñ îñüþ âðàùåíèÿ,ñîâïàäàþùåé ñ OZ , a22 áóäåò èìåòü ñìûñë ðàññòîÿíèÿ îò òî÷êè íà ïîâåðõíîñòè äî îñèâðàùåíèÿ.Íàðÿäó ñ S áóäåì òàêæå ðàññìàòðèâàòü ìíîãîîáðàçèÿ S 0 ≈ (a, b) × S 1 ñ êîîðäèíàòàìè(u, ϕ mod 2π) è ïñåâäîðèìàíîâîé ìåòðèêîé:ds2 = a211 (u)du2 − a222 (u)dϕ2 ,(1.1.2)ãäå ôóíêöèè a11 (u), a22 (u) òàêæå ãëàäêèå C 5 (a, b) è ñòðîãî ïîëîæèòåëüíûå, a è b òàêæåóäîâëåòâîðÿþò −∞ ≤ a < b ≤ ∞. äàëüíåéøåì íåêîòîðûå óòâåðæäåíèÿ áóäóò ñðàçó ôîðìóëèðîâàòüñÿ êàê äëÿ ðèìàíîâà ñëó÷àÿ òàê è äëÿ ïñåâäîðèìàíîâà, ïîýòîìó äëÿ åäèíîîáðàçèÿ ôîðìóë áóäåì èñïîëüçîâàòü ïîêàçàòåëü ε̂.Êîíñòàíòà ε̂ ðàâíà 1 äëÿ ïîâåðõíîñòè S ñ ìåòðèêîé (1.1.1), è ðàâíà−1 äëÿ ïîâåðõíîñòè S 0 ñ èíäåôèíèòíîé ìåòðèêîé (1.1.2).Îïðåäåëåíèå 1.1.1.10Ó ïîâåðõíîñòåé S è S 0 êîîðäèíàòíûå ëèíèè {u = const} ÿâëÿþòñÿ ïàðàëëåëÿìè, à ëèíèè {ϕ = const} ìåðèäèàíàìè.
Ãðàíèöàìè S (ñîîòâåòñòâåííî S 0 ) ÿâëÿþòñÿ äâå ãðàíè÷íûåïàðàëëåëè {u = a} è {u = b}.Íàçîâ¼ì ïàðàëëåëü {u0 } × S 1 ýêâàòîðîì, åñëè a022 (u0 ) = 0.Íàçîâ¼ì ãðàíè÷íóþ ïàðàëëåëü {u = u0 } ýêâàòîðîì, åñëè a022 (u)/a11 (u) → 0, a22 (u) →const 6= 0 ïðè u → u0 ; àáñîëþòîì, åñëè a22 (u) → ∞ ïðè u → u0 ; ïîëþñîì, åñëè a22 (u) → 0ïðè u → u0 .2Ïîëþñ íàçîâ¼ì êîíè÷åñêèì, åñëè a0222 (u)/a11 (u) → 1/c ïðè u → u0 , ãäå c > 1 äëÿ ðèìàíîâàñëó÷àÿ (0 < c < 1 äëÿ ïñåâäîðèìàíîâà ñëó÷àÿ) âåùåñòâåííàÿ êîíñòàíòà; ñîîòâåòñòâåííîóñòðàíèìûì, åñëè 0 ≤ ε̂ − ε̂a022 (u)2 /a211 (u) → 0 ïðè u → u0 .Îïðåäåëåíèå 1.1.2.Òðåáîâàíèå ê ïîëþñó áûòü êîíè÷åñêèì èëè óñòðàíèìûì àâòîìàòè÷åñêè îçíà÷àåò, ÷òîïîâåðõíîñòü â îêðåñòíîñòè ïîëþñà ðåàëèçóåòñÿ êàê ïîâåðõíîñòü âðàùåíèÿ â R3 (ñîîòâåòñòâåííî â R32 ). Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, êðóãîâîé êîíóñ {(x, y, z) : x2 + y 2 = z 2 , z > 0}â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå R3 (ìåòðèêà èíäóöèðóåòñÿ ñ îáúåìëþùåãî ïðîñòðàíñòâà).Òîãäà ãðàíèöà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ {z = ∞} ÿâëÿåòñÿ àáñîëþòîì, à ãðàíèöà {z = 0} ÿâëÿåòñÿ êîíè÷åñêèì ïîëþñîì.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
