Геометрия гамильтоновых систем для многообразий и потенциалов Бертрана (1102755), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Çíà÷åíèþÇàìå÷àíèå 2.1.3.v→av→bïàðàìåòðà t = 0 ñîîòâåòñòâóþò ïîâåðõíîñòè èç òåîðåìû 4, ìåòðèêà ds2 = dv 2 + f 2 (v)dϕ22êîòîðûõ â áåðòðàíîâñêèõ êîîðäèíàòàõ (θ, ϕ) (ñì. çàì. 1.1.2) ïðèìåò âèä ds2 = (θ2dθ+c)2 +dϕ2.µ2 (θ2 +c)Çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ â, b̂, c, t, µ íå ìîãóò áûòü ïðîèçâîëüíûìè, îíè ñâÿçàíû äðóãñ äðóãîì íåêîòîðûìè îãðàíè÷åíèÿìè. Íàïðèìåð, åñëè ðàññìîòðåòü çíà÷åíèÿ µ = 1, t =0, c = −1, òî èíòåðâàë (â, b̂) íå ìîæåò áûòü òàêèì (0, ∞), ò.ê. ïðè θ = 0.5, âûðàæåíèå θ21−1 èç ìåòðèêè (2.1.2) áóäåò îòðèöàòåëüíûì, à çíà÷èò íàðóøàåòñÿ ïîëîæèòåëüíàÿîïðåäåëåííîñòü.
Èíòåðâàë (â, b̂) ñîñòîèò èç çíà÷åíèé, ïðèíèìàåìûõ ïåðåìåííîé θ; â ñâîþî÷åðåäü, çíà÷åíèÿ, êîòîðûå ìîæåò ïðèíèìàòü θ, îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèìè óñëîâèÿìè:a222 (θ) > 0, a022 (θ) 6= 0, è äëÿ îïðåäåë¼ííîñòè (íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè) θ > 0. Ñëåäóþùèé ñïèñîê ïåðå÷èñëÿåò ìíîæåñòâà çíà÷åíèé, êîòîðûå ìîæåò ïðèíèìàòü θ, ïðè âñåõçíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ µ, c, t.1.  ñëó÷àå t = 0, c ≥ 0 (∀µ ∈ Q>0 ) êîîðäèíàòà θ ìîæåò ïðèíèìàòü çíà÷åíèÿ èçèíòåðâàëà (0, ∞).√2.
 ñëó÷àå t = 0, c < 0 (∀µ ∈ Q>0 ) êîîðäèíàòà θ ìîæåò ïðèíàäëåæàòü ( −c, ∞).323. qÑëó÷àé t > 0 (∀µ ∈ Q>0 ). Èíòåðâàë èçìåíåíèÿ θ ñëåäóþùèé (θ2 , ∞), ãäå θ2 =√−c+ c2 +4t.24. Ñëó÷àé t < 0, c < 0, c2 + 4t > 0 (∀µ ∈ QÌíîæåñòâî qèçìåíåíèÿ θ ñîñòîèò èç äâóõq>0 ). √√−c− c2 +4t−c+ c2 +4t,θ=.èíòåðâàëîâ (0, θ1 ) è (θ2 , ∞), ãäå θ1 =2225.
Ïðè îñòàâøèõñÿ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ c, t, µ âîçìîæíàÿ îáëàñòü èçìåíåíèÿ θ ñî√√ñòîèò èç ñëåäóþùèõ èíòåðâàëîâ (0, 4 −t) è ( 4 −t, ∞).Òàêèì îáðàçîì îãðàíè÷åíèå íà â, b̂, c, t, µ ôîðìóëèðóåòñÿ òàê: ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè òðîéêè (c, t, µ) èíòåðâàë (â, b̂) äîëæåí áûòü ïîäìíîæåñòâîì ñîîòâåòñòâóþùåãî äîïóñòèìîãî ìíîæåñòâà (ñì. ñïèñîê âûøå èëè òàáëèöó 2.1).Åñëè èíòåðâàë (â, b̂) ñîâïàäàåò ñî âñåì äîïóòèìûì ìíîæåñòâîì (â ñëó÷àå, êîãäà äîïóñòèìîå ìíîæåñòâî ñîñòîèò èç äâóõ èíòåðâàëîâ, âûáèðàåòñÿ êàêîé-íèáóäü îäèí èç íèõ),òî ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïîâåðõíîñòü Áåðòðàíà ÿâëÿåòñÿ ìàêñèìàëüíîé.
Êàê ïîêàçûâàåò âûøåïðèâåä¼ííûé ñïèñîê, äîïóñòèìûå èíòåðâàëû (â, b̂) çàâèñÿò îò c, t è íå çàâèñÿò îò µ. ñòàòüå [56], â êîòîðîé ñôîðìóëèðîâàíû è äîêàçàíû òåîðåìû 3, 4, 5 áûëà ïîñòàâëåíà çàäà÷à îáîáùèòü òåîðåìó Áåðòðàíà íà ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ ñ èíäåôèíèòíîéìåòðèêîé, ò.å. îïèñàòü âñå ñîîòâåòñòâóþùèå äâóìåðíûå ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ ñ èíäåôèíèòíîé ìåòðèêîé, äîïóñêàþùèå íàëè÷èå öåíòðàëüíûõ ãëàäêèõ ïîòåíöèàëîâ, ïðèâîäÿùèõê çàìêíóòûì òðàåêòîðèÿì. Íóæíîå îáîáùåíèå äàåò òåîðåìà 6.Ðàññìîòðèì äâóìåðíóþ ïîâåðõíîñòü S 0 ≈ (a, b) × S 1 ñ êîîðäèíàòàìè (u, ϕmod 2π) è ñ ïñåâäîðèìàíîâîé ìåòðèêîé âðàùåíèÿ (1.1.2) òàêîé, ÷òî a022 (u) 6= 0 äëÿëþáîãî u ∈ (a, b).
ÒîãäàÒåîðåìà 6.1. Íà òåõ ïîâåðõíîñòÿõ S 0 , ïñåâäîðèìàíîâà ìåòðèêà êîòîðûõ íåêîòîðîé çàìåíîéu = u(θ), ϕ = ϕ ïðèâîäèòñÿ ê âèäó:!1022G = (θ +c)(2.1.7)1022µ (θ +c)äëÿ íåêîòîðûõ âåùåñòâåííûõ ïîñòîÿííûõ c è µ, òàêèõ ÷òî µ ∈ Q>0 (ñì. çàì.2.1.4), ñóùåñòâóåò ðîâíî äâà ñ òî÷íîñòüþ äî àääèòèâíîé è ïîëîæèòåëüíîé ìóëüòèïëèêàòèâíîé êîíñòàíò ãëàäêèõ çàìûêàþùèõ ïîòåíöèàëà V1 (θ) = A|θ| + B(A < 0), V2 (θ) = θA2 + B (A > 0), ãäå A, B ∈ R.2. Íà òåõ ïîâåðõíîñòÿõ S 0 , ïñåâäîðèìàíîâà ìåòðèêà êîòîðûõ íåêîòîðîé çàìåíîéu = u(θ), ϕ = ϕ ïðèâîäèòñÿ ê âèäó:!102−22G = (θ +c−tθ )(2.1.8)10µ2 (θ2 +c−tθ−2 )33äëÿ íåêîòîðûõ âåùåñòâåííûõ ïîñòîÿííûõ c, t, µ, òàêèõ ÷òî t 6= 0, µ ∈ Q>0 (ñì.çàì. 2.1.4), ñóùåñòâóåò ðîâíî îäèí ñ òî÷íîñòüþ äî àääèòèâíîé è ïîëîæèòåëüíîéìóëüòèïëèêàòèâíîé êîíñòàíò ãëàäêèé çàìûêàþùèé ïîòåíöèàë V2 (θ) = θA2 + B ,ãäå A, B ∈ R, A(θ4 + t) > 0.3.
Íà îñòàëüíûõ ïîâåðõíîñòÿõ S 0 ãëàäêîãî çàìûêàþùåãî ïîòåíöèàëà íå ñóùåñòâóåò.(ñì. îïðåäåëåíèå 1.1.11) Ïñåâäîðèìàíîâî 2-ìåðíîå ìíîãîîáðàçèåâðàùåíèÿ áåç ýêâàòîðîâ, íà êîòîðîì ñóùåñòâóåò öåíòðàëüíûé çàìûêàþùèé ïîòåíöèàë,íàçîâåì ïîâåðõíîñòüþ Áåðòðàíà. Ñîãëàñíî òåîðåìå 6, ýòî ïñåâäîðèìàíîâû 2-ìåðíûåìíîãîîáðàçèÿ, îïèñàííûå â òåîðåìå 6.Îïðåäåëåíèå 2.1.2.Ïîâåðõíîñòè Áåðòðàíà S 0 ñ ïñåâäîðèìàíîâîé ìåòðèêîé âðàùåíèÿ òàêæå îïðåäåëÿþòñÿ 5 ïàðàìåòðàìè c, t, µ, â, b̂. Ýòè ïàðàìåòðû êàê è â ðèìàíîâîì ñëó÷àå íåìîãóò ïðèíèìàòü ïðîèçâîëüíûå çíà÷åíèÿ, íà íèõ íàëîæåíû îãðàíè÷åíèå âèäà ∀θ ∈ (â, b̂)a222 (θ) > 0, a022 (θ) 6= 0, θ > 0. Òàêèì îáðàçîì èíòåðâàë (â, b̂) äîëæåí áûòü ïîäìíîæåñòâîìäîïóñòèìîãî ìíîæåñòâà (ñì.
òàáëèöó 2.1), ïðè ýòîì åñëè îí ñîâïàäàåò ñ äîïóñòèìûììíîæåñòâîì (åãî ñâÿçíîé êîìïîíåíòîé, åñëè èõ äâå), òî ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïîâåðõíîñòüÁåðòðàíà íàçûâàåòñÿ ìàêñèìàëüíîé.Çàìå÷àíèå 2.1.4.Òàáëèöà 2.1: Âîçìîæíûå ïîëîæèòåëüíûå çíà÷åíèÿ θ.Çíà÷åíèå (c, t)Äîïóñòèìûå çíà÷åíèÿ θâ ðèìàíîâîì ñëó÷àåÄîïóñòèìûå çíà÷åíèÿ θâ ïñåâäîðèìàíîâîì ñëó÷àåc ≥ 0, t = 0c < 0, t = 0t>0t < 0, c < 0, c2 + 4t > 0t < 0, c > 0, c2 + 4t > 0èëè c2 + 4t ≤ 0(0, ∞)√( −c, ∞)(θ2 , ∞)(0, θ1 ) èëè (θ2 , ∞)√√(0, 4 −t) èëè ( 4 −t, ∞)∅√(0, −c)(0, θ2 )√√4(θ1 , −t) èëè ( 4 −t, θ2 )∅Ïîòåíöèàë V = A|θ| + B ÿâëÿåòñÿ àíàëîãîì ïîòåíöèàëà ãðàâèòàöèîííîãî âçàèìîäåéñòâèÿ Íüþòîíà, à V = θA2 + B àíàëîãîì ïðóæèííîãî âçàèìîäåéñòâèÿÃóêà.Çàìå÷àíèå 2.1.5.Êàê â ðèìàíîâîì òàê è â ïñåâäîðèìàíîâîì ñëó÷àÿõ ïîâåðõíîñòüÁåðòðàíà çàäàåòñÿ ïÿòåðêîé ïàðàìåòðîâ (c, t, µ, â, b̂) ∈ R2 × Q>0 × R2 ñ íåêîòîðûìè îãðàíè÷åíèÿìè, óêàçàííûìè â çàìå÷àíèÿõ 2.1.3, 2.1.4.
Ïàðàìåòðû c, t ñèëüíåé âñåãî âëèÿþòÊîììåíòàðèé 2.2.34íà ôîðìó ïîâåðõíîñòè, ïàðàìåòð µ, êàê ìîæíî âèäåòü èç çàìå÷àíèÿ 2.1.3, óæå ñëàáåå (îòîì êàê µ âëèÿåò íà ôîðìó ïîâåðõíîñòè ñì. ïîäðîáíåå êîììåíòàðèé 1.2), à ïàðàìåòðû â, b̂ïîêàçûâàþò ëèøü êàêîé êóñîê ïîâåðõíîñòè ìû áåðåì. Äàëåå çà èñêëþ÷åíèåì ñïåöèàëüíîîãîâîðåííûõ ñëó÷àåâ ðå÷ü èäåò î ìàêñèìàëüíûõ ïîâåðõíîñòÿõ Áåðòðàíà.Íàïðèìåð, â ðèìàíîâîì ñëó÷àå ïðè µ = 1, t = 0, c = 1 èìååì ïðîêîëîòóþ ïîëóñôåðó,ïðè µ = 1, t = 0, c = 0 èìååì ïðîêîëîòóþ ïëîñêîñòü, ïðè µ = 1, t = 0, c < 0 èìååìïðîêîëîòóþ ïëîñêîñòü Ëîáà÷åâñêîãî [56].Äëÿ ñåìåéñòâà ïîâåðõíîñòåé Áåðòðàíà S 0 ñ ïñåâäîðèìàíîâîé ìåòðèêîé íàðèñóåì ïëîñêîñòü èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðîâ c, t è îïèøåì ìàêñèìàëüíûå ïîâåðõíîñòè, ñîîòâåòñòâóþùèå ðàçëè÷íûì çíà÷åíèÿì ýòèõ ïàðàìåòðîâ (ïàðàìåòðû æå µ, â, b̂ ìåíåå ñóùåñòâåííîâëèÿþò íà ôîðìó ïîâåðõíîñòè).
Äëÿ óäîáñòâà íà ïëîñêîñòè R2 ñ êîîðäèíàòàìè (c, t)âûäåëèì íåñêîëüêî ìíîæåñòâ: l1 := {(c, t) : t = 0, c < 0}, Ω1 := {(c, t) : t > 0},Ω2 := {(c, t) : c < 0, t < 0, c2 + 4t > 0} (ñì. ðèñ. 2.1).Ïðè çíà÷åíèè ïàðàìåòðîâ (c, t) èç îáëàñòè l1 íà ñîîòâåòñòâóþùåé ìàêñèìàëüíîé ïîâåðõíîñòè S 0 ñóùåñòâóåò ñîãëàñíî òåîðåìå 6 äâà çàìûêàþùèõ ïîòåíöèàëà V1 = Aθ + B ,ãäå A îòðèöàòåëüíàÿ, B ïðîèçâîëüíàÿ; V2 = Aθ−2 + B , ãäå A ïîëîæèòåëüíàÿ, B ïðîèçâîëüíàÿ êîíñòàíòû.
Ãðàíè÷íàÿ ïàðàëëåëü θ = 0 ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ 1.1.2 ÿâëÿåòñÿ√ýêâàòîðîì, ïàðàëëåëü θ = −c àáñîëþòîì.Ïðè çíà÷åíèè ïàðàìåòðîâ (c, t) èç îáëàñòè Ω1 íà ñîîòâåòñòâóþùåé ìàêñèìàëüíîé ïîâåðõíîñòè ñóùåñòâóåò òîëüêî îäèí òèï çàìûêàþùåãî ïîòåíöèàëà V = Aθ−2 +B , ãäå A > 0.Ãðàíè÷íàÿ ïàðàëëåëü θ = 0 ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ 1.1.2 ÿâëÿåòñÿ ïîëþñîì, à ïàðàëëåëüθ = θ2 àáñîëþòîì.√4 ñëó÷àå (c, t) ∈qΩ2 èìååì äâå îáëàñòè,âêîòîðûõìîæåòâàðüèðîâàòüñÿθ:(θ,−t) è1q√√√22( 4 −t, θ2 ), ãäå θ1 = −c− 2c +4t , θ2 = −c+ 2c +4t , ÷òî ñîîòâåòñòâóåò äâóì ìàêñèìàëüíûìïîâåðõíîñòÿì. Çäåñü ñóùåñòâóåò òîëüêî îäèí çàìûêàþùèé ïîòåíöèàë θA2 + B , ãäå A(θ4 +√t) > 0.
Ãðàíè÷íûå ïàðàëëåëü θ = 4 −t ÿâëÿåòñÿ ýêâàòîðîì, ïàðàëëåëè θ = θ1 è θ = θ2ÿâëÿþòñÿ àáñîëþòàìè.√√Äâå ìàêñèìàëüíûå ïîâåðõíîñòè S1 ≈ (θ1 , 4 −t) × S 1 è S2 ≈ ( 4 −t, θ2 ) × S 1 ìîæíî√ãëàäêî ñêëåèòü ïî ýêâàòîðó, ò.å. äîáàâèòü îäíó ïàðàëëåëü θ = 4 −t è ïîëó÷èòü îáúåäè√íåíèå S12 ≈ S1 ∪ ({ 4 −t} × S 1 ) ∪ S2 ≈ (θ1 , θ2 ) × S 1 , êîòîðîå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàêãëàäêîå ìíîãîîáðàçèå âðàùåíèÿ. Ïîâåðõíîñòü S12 ÿâëÿåòñÿ ïîâåðõíîñòüþ ñ îäíèì ýêâàòîðîì, à ïîòîìó íå ÿâëÿåòñÿ ïîâåðõíîñòüþ Áåðòðàíà (ñì. îïðåäåëåíèå 2.1.2), õîòÿ ëþáàÿåå ñâÿçíàÿ S 1 -ïîäïîâåðõíîñòü (ò.å. ÿâëÿþùàÿñÿ îáúåäèíåíèåì ïàðàëëåëåé èñõîäíîé), íåñîäåðæàùàÿ ýêâàòîð, óæå ÿâëÿåòñÿ ïîâåðõíîñòüþ Áåðòðàíà.Ïðè äðóãèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ (c, t) ïîâåðõíîñòè Áåðòðàíà ñ ìåòðèêîé (2.1.8) íåñóùåñòâóåò, ÷òî ñóùåñòâåííî îòëè÷àåò ðèìàíîâ è ïñåâäîðèìàíîâ ñëó÷àè.
 ðèìàíîâîìñëó÷àå ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ (c, t) ñóùåñòâîâàëè ñîîòâåòñòâóþùèå ïîâåðõíîñòè Áåðòðàíà (ñì. ðèñóíîê 2.2).35tW1W1l1CW2Ðèñ. 2.1: Ïëîñêîñòü ïàðàìåòðîâ c, t è å¼ ðàçáèåíèå íà çîíû l1 , Ω1 , Ω2 , îòâå÷àþùèå ðàçëè÷íûì òèïàì ïîâåðõíîñòåé Áåðòðàíà ñ ïñåâäîðèìàíîâîé ìåòðèêîé.Íà ðèñóíêå 2.2 âûäåëåíû ñëåäóþùèå çîíû: òî÷êà (0, 0), ëó÷ l1 = {(c, t) : c > 0, t = 0},ëó÷ l2 = {(c, t) : c < 0, t = 0}, êðèâàÿ l3 = {(c, t) : c < 0, c2 + 4t = 0}, îáëàñòüΩ1 = {(c, t) : t > 0}, îáëàñòü Ω2 = {(c, t) : c2 + 4t > 0, c < 0, t < 0}, îáëàñòü Ω3 ={(c, t) : c2 + 4t < 0} ∪ {(c, t) : c2 + 4t ≥ 0, t < 0, c > 0}. ðèìàíîâîì ñëó÷àå åñòü íóëåâîé ïðèìåð ýòî ïëîñêîñòü , êîòîðàÿ îïðåäåëÿåòñÿ çíà÷åíèÿìè ïàðàìåòðîâ c = t = 0, µ = 1, â = 0, b̂ = ∞, íà íåé ñóùåñòâóåò ïîòåíöèàë Íüþòîíàè ïîòåíöèàë Ãóêà, ïðèâîäÿùèå ê çàìêíóòûì òðàåêòîðèÿì, äâèæåíèå ïîä äåéñòâèåì êîòîðûõ èçó÷åíî ëó÷øå âñåãî (ñì.
ïîäðîáíåå ïîñëå îïðåäåëåíèÿ 1.1.11).tW1l2l1W2cW3l3Ðèñ. 2.2: Ïëîñêîñòü ïàðàìåòðîâ c, t è å¼ ðàçáèåíèå íà çîíû l1 , l2 , l3 , Ω1 , Ω2 , Ω3 , îòâå÷àþùèåðàçëè÷íûì òèïàì ïîâåðõíîñòåé Áåðòðàíà ñ ðèìàíîâîé ìåòðèêîé.Êàê óæå îòìå÷àëîñü â íà÷àëå ðàçäåëà òåîðåìó 6 ìîæíî âûâåñòè èçòåîðåìû 3.  ñàìîì äåëå íóæíî âåðíóòüñÿ ê óðàâíåíèÿì îðáèò (1.1.9) â áåðòðàíîâñêèõ êîÇàìå÷àíèå 2.1.6.36K22a222 (θ)0îðäèíàòàõ (îíè ïàðàìåòðèçîâàíû êèíåòè÷åñêèì ìîìåíòîì K ):=V (θ) −.θÝòè óðàâíåíèÿ ÿâëÿþòñÿ îáîáùåííûìñåìåéñòâîì óðàâíåíèé Áåðòðàíà (1.2.1), ãäå çà z(ϕ)00θϕϕáåðåòñÿ θ(ϕ), çà ρ(z) áåðåòñÿ −12a222 (θ)0=θa022 (θ),a322 (θ)− K12ñîîòâåòñòâåííî çà R(z) =1,a222 (θ)çà Ψ(z)00+ ρ(z) =áåðåòñÿ −V 0 (θ), ñîîòâåòñòâåííî çà W (z) áåðåòñÿ −V (θ): zϕϕÇàìåòèì0a022òàêæå, ÷òî â âèäó òîãî, ÷òî a22 (θ) 6= 0 è ρ = a3 , ïîëó÷àåì, ÷òî ρ(z) íå èìååò íóëåé.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
