Геометрия гамильтоновых систем для многообразий и потенциалов Бертрана (1102755), страница 17
Текст из файла (страница 17)
â îêðåñòíîñòè U = T n × Dn ìîæíî ââåñòè êîîðäèíàòû s1 , ..., sn , ϕ1 , ...ϕn , íàçûâàåìûå ïåðåìåííûìè äåéñòâèå-óãîë, îáëàäàþùèå ñâîéñòâàìè:(a) s1 , ..., sn êîîðäèíàòû íà Dn , ϕ1 mod 2π, ...ϕn mod 2π óãëîâûå êîîðäèíàòûíà òîðå T n ,(b) ω = Σ dsi ∧ dϕi ,(c) ïåðåìåííûå äåéñòâèÿ si ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè îò ïåðâûõ èíòåãðàëîâ f1 , ...fn ,(d) ãàìèëüòîíîâ ïîòîê sgrad H â ïåðåìåííûõ äåéñòâèå-óãîë ñïðÿìëÿåòñÿ íà êàæäîì òîðå Ëèóâèëëÿ, ÷òî îçíà÷àåò, ÷òî óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà ïðèíèìàþòâèä ṡi = 0, ϕ̇i = qi (s1 , ..., sn ).75Âàæíî çàìåòèòü, ÷òî â ñëó÷àå íåêîìïàêòíîñòè ñëîÿ Ta1 ,...an , îí äèôôåîìîðôåí ôàêòîðïðîñòðàíñòâó ïðîñòðàíñòâà Rn ïî Zk (k < n), Ta1 ,...an ≈ (S 1 )k × Rn−k .Áåðòðàíîâñêàÿ ãàìèëüòîíîâà ñèñòåìà íà ïðîêîëîòîé åâêëèäîâîé ïëîcêîñòè R2 \{∗} ñïîëÿðíûìè êîîðäèíàòàìè (r, ϕ), ïîòåíöèàëîì Ãóêà ïðóæèííîãî âçàèìîäåéñòâèÿ V (r) =r2 , ÷åòûðåõìåðíûì ôàçîâûì ïðîñòðàíñòâîì M 4 ≈ (0, ∞) × S 1 × R2 , ãàìèëüòîíèàíîì2p2H = p2r + 2rϕ2 + r2 ÿâëÿåòñÿ âïîëíå èíòåãðèðóåìîé ïî Ëèóâèëëþ ñ êîìïàêòíûìè ñëîÿìèËèóâèëëÿ (íåñìîòðÿ íà íåêîìïàêòíîñòü M 4 ), êàæäûé ðåãóëÿðíûé ñëîé áóäåò äâóìåðíûìòîðîì.
Îäíàêî íå âñå áåðòðàíîâñêèå ñèñòåìû èíòåãðèðóåìû ïî Ëèóâèëëþ.Ðàññìîòðèì òîð Ëèóâèëëÿ T íåêîé èíòåãðèðóåìîé ñèñòåìû sgrad H . Òîãäà ïî òåîðåìåËèóâèëëÿ ïîëå sgrad H íà òîðå T ïðèíèìàåò âèä ϕ̇1 = c1 , ...ϕ̇n = cn . Òîð Ëèóâèëëÿ íàçûâàþò ðåçîíàíñíûì, åñëè ñóùåñòâóåò íåòðèâèàëüíàÿ öåëî÷èñëåííàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿâåëè÷èí c1 , ..., cn , ðàâíàÿ íóëþ. Ñîîòâåòñòâåííî ñèñòåìà íàçûâàåòñÿ ðåçîíàíñíîé, åñëè âñååå òîðû Ëèóâèëëÿ ðåçîíàíñíû.  ñëó÷àå ñèñòåìû ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû ÷èñëî ρ = cc12íàçûâàþò ÷èñëîì âðàùåíèÿ èíòåãðèðóåìîé ñèñòåìû sgrad H íà òîðå Ëèóâèëëÿ T .
Ó áåðòðàíîâñêîé ñèñòåìû âñå îãðàíè÷åííûå îðáèòû áóäóò çàìêíóòû, à, ñëåäîâàòåëüíî, è âñåòðàåêòîðèè ëåæàùèå íà òîðàõ Ëèóâèëëÿ (äëÿ èíòåãðàëîâ H è pϕ ) áóäóò çàìêíóòû, òàêèìîáðàçîì, ñèñòåìà Áåðòðàíà ÿâëÿåòñÿ ðåçîíàíñíîé. Äëÿ íåå ÷èñëî âðàùåíèÿ íà êàæäîìòîðå îäèíàêîâî è ðàâíî îäíîìó èç ñåìè ïàðàìåòðîâ, îïðåäåëÿþùèõ ïàðó Áåðòðàíà (S, V ),ðàöèîíàëüíîìó µ äëÿ àíàëîãà ïîòåíöèàëà Íüþòîíà è µ2 äëÿ àíàëîãà ïîòåíöèàëà Ãóêà.Äëÿ áîëåå îáùåé äèíàìè÷åñêîé ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû (S, V ), ãäå S ≈ (a, b) × S 1 äâóìåðíàÿ ïîâåðõíîñòü âðàùåíèÿ ñ ìåòðèêîé (1.1.1) (èëè ïñåâäîðèìàíîâîé ìåòðèêîé (1.1.2)), V öåíòðàëüíûé ãëàäêèé ïîòåíöèàë íà S , ñ ôàçîâûì ñèìïëåêòè÷åñêèìïðîñòðàíñòâîì (M 4 , ω) (ãäå ω îïðåäåëåíà ñîîòíîøåíèåì (4.1.4)), ãàìèëüòîíèàíîì H =p2ϕp2u+ε̂+ V (u) ðàññìîòðèì ïåðâûå èíòåãðàëû ýíåðãèè H è êèíåòè÷åñêîãî ìîìåí222a11 (u)2a22 (u)òà pϕ .
Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.Èíòåãðàëû ýíåðãèè (4.1.2) è êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà (4.1.3) ôóíêöèîíàëüíî íåçàâèñèìû ï.â., íàõîäÿòñÿ â èíâîëþöèè è âåêòîðíîå ïîëå sgrad pϕ ïîëíî.Óòâåðæäåíèå 16.Ïîñ÷èòàåì ãðàäèåíòû H è pϕ â êîîðäèíàòàõ (u, ϕ, pu , pϕ ): a0 (u)a0 (u) 20Hu0 = − a311 (u) p2u − ε̂ a223 (u) pϕ + V (u)011220Hϕ = 00 , grad pϕ = (4.1.10)grad H = .pu0H=02pua11 (u)1Hp0 ϕ = − a2pϕ(u)Äîêàçàòåëüñòâî.22Äàëåå ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèÿ (4.1.5) âû÷èñëèì sgrad H, sgrad pϕ : 0 Hpu0 H0 1 sgrad H = pϕ0 , sgrad pϕ = .−Hu 00076(4.1.11)Òåïåðü ëåãêî óâèäåòü, ÷òî {H, pϕ } = (sgrad H)T ωij (sgrad pϕ ) = 0.Ïîëíîòà ïîëÿ sgrad pϕ ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî åãî èíòåãðàëüíûå ëèíèè ýòî îêðóæíîñòèâèäà {∗} × S 1 × {∗} × {∗} ⊂ M 4 .Óòâåðæäåíèÿ 16 íåäîñòàòî÷íî äëÿ òîãî, ÷òîáû ãàìèëüòîíîâà ñèñòåìà (S, V ) áûëàâïîëíå èíòåãðèðóåìà ïî Ëèóâèëëþ.
Êàê ïîêàçûâàþò óòâåðæäåíèÿ 18, 19, ïîòîê sgrad Híå âñåãäà ïîëîí. Îäíàêî, íåñìîòðÿ íà ýòî, äëÿ ñâÿçíûõ êîìïàêòíûõ êîìïîíåíò ñîâìåñòíîãî ðåãóëÿðíîãî ìíîæåñòâà óðîâíÿ èíòåãðàëîâ ýíåðãèè è êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà âûïîëíÿþòñÿ óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû Ëèóâèëëÿ, ò.å. ñïðàâåäëèâî óòâåðæäåíèå 17.Ïóñòü S (S 0 ) ïîâåðõíîñòü ñ êîîðäèíàòàìè (u, ϕ) è ðèìàíîâîéìåòðèêîé (1.1.1) (ïñåâäîðèìàíîâîé ìåòðèêîé (1.1.2)). Ïóñòü íà íåé äåéñòâóåò öåíòðàëüíûé ïîòåíöèàë V (u). Òîãäà äëÿ òàêîé ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû ñâÿçíàÿ êîìïîíåíòà ñîâìåñòíîé ðåãóëÿðíîé ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ èíòåãðàëîâ ýíåðãèè è êèíåòè÷åñêîãî2p2ìîìåíòà TE,K = {(θ, ϕ, pθ , pϕ ) ∈ M 4 | 2a2pu(u) + ε̂ 2a2 ϕ(u) + V (u) = E, pϕ = K} ÿâëÿåòñÿ ëèáî1122òîðîì, ëèáî öèëèíäðîì.Óòâåðæäåíèå 17.Çàìåòèì, ÷òî ñîãëàñíî óòâåðæäåíèþ 16 âûïîëíÿþòñÿ âñå óñëîâèÿîïðåäåëåíèÿ 4.1.4, êðîìå ïîëíîòû ïîòîêà sgrad H . Ýòîãî äîñòàòî÷íî äëÿ ïðèìåíåíèÿòåîðåìû 1 ðàáîòû [30], ÿâëÿþùåéñÿ îáîáùåíèåì êëàññè÷åñêîé òåîðåìû Ëèóâèëëÿ.Äàäèì äàëåå àëüòåðíàòèâíîå äîêàçàòåëüñòâî â ñëó÷àå, êîãäà ñâÿçíàÿ êîìïîíåíòà TE,Kêîìïàêòíà.
Ðàññìîòðèì âåêòîðíîå ïîëå sgrad pϕ íà ñâÿçíîé êîìïîíåíòå TE,K . Ïîâåðõíîñòü TE,K èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî ïîëÿ sgrad pϕ , ò.ê. èç êîììóòèðîâàíèÿ H, pϕ ñëåäóåò, ÷òî H, pϕ ÿâëÿþòñÿ ïåðâûìè èíòåãðàëàìè íå òîëüêî äëÿ ïîëÿ sgrad H , íî è äëÿïîëÿ sgrad pϕ . Ó ïîëÿ sgrad pϕ íå áóäåò îñîáûõ òî÷åê, ò.ê. åãî èíòåãðàëüíûå ëèíèè ñóòüîêðóæíîñòè {∗} × S 1 × {∗} × {∗}. À çíà÷èò ýéëåðîâà õàðàêòåðèñòèêà (êàê ñóììà èíäåêñîâîñîáûõ òî÷åê âåêòîðíîãî ïîëÿ) ñîâìåñòíîé êîìïàêòíîé ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ ðàâíà 0, ò.å.ýòî òîð èëè áóòûëêà Êëåéíà. Òàê êàê ïîâåðõíîñòü TE,K ðåãóëÿðíà, òî âåêòîðû sgrad H ,sgrad pϕ îáðàçóþò áàçèñ åå êàñàòåëüíîãî ïðîñòðàíñòâà â êàæäîé åå òî÷êå.
Ïîýòîìó ýòàïîâåðõíîñòü îðèåíòèðóåìà, ò.å. íå ìîæåò ÿâëÿòüñÿ áóòûëêîé Êëåéíà.Äëÿ áåðòðàíîâñêîãî ïîòåíöèàëà ìîæíî, èñïîëüçóÿ çàìêíóòîñòü îãðàíè÷åííûõ îðáèò, ïîñòðîèòü â ÿâíîì âèäå ãîìåîìîðôèçì ìåæäó òîðîì è TE,K . Ïóñòü TE,K êîìïàêòíà è(u, ϕ, pu , pϕ ) ∈ TE,K . Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêàÿ îãðàíè÷åííàÿ, à çíà÷èò â ñèëó çàìûêàåìîñòè áåðòðàíîâñêîãî ïîòåíöèàëà, çàìêíóòàÿ òðàåêòîðèÿ γ(t). Ïðè íåêîòîðîì çíà÷åíèèâðåìåíè t = t0 òåëî ïðè äâèæåíèè ïî ýòîé òðàåêòîðèè ïðîõîäèò òî÷êó ñ êîîðäèíàòàìè(u, ϕ) è èìååò ýíåðãèþ è êèíåòè÷åñêèé ìîìåíò ðàâíûå ñîîòâåòñòâåííî E, K .
Ýòà òðàåêòîðèÿ íå ÿâëÿåòñÿ êðóãîâîé, òàê êàê íà ôàçîâîé îðáèòå, îòâå÷àþùåé êðóãîâîé îðáèòå,sgrad H ïðîïîðöèîíàëåí sgrad pϕ , ïîýòîìó ñîäåðæàùàÿ åå ïîâåðõíîñòü TE,K íå ðåãóëÿðíà.Âñå íåêðóãîâûå îãðàíè÷åííûå îðáèòû ñ òàêèìè æå çíà÷åíèÿìè H, pϕ ïîëó÷àþòñÿ èç Im γïîâîðîòîì íà íåêèé óãîë ϕ0 . Ïîýòîìó êàæäóþ òàêóþ îðáèòó (òðàåêòîðèþ) ìîæíî çàäàòüóãëîì ϕ0 . Ò.ê. òðàåêòîðèÿ çàìêíóòà, òî êàæäàÿ òî÷êà íà òðàåêòîðèè θ(ϕ) îäíîçíà÷íî çàäà¼òñÿ óãëîì ϕ (òî÷êà îäíîçíà÷íî çàäà¼òñÿ ìîìåíòîì âðåìåíè t, à ϕ(t) ìîíîòîííà).Äîêàçàòåëüñòâî.77Ïîýòîìó âñå òî÷êè íà ñîâìåñòíîé êîìïîíåíòå óðîâíÿ èíòåãðàëîâ H, pϕ ìîæíî âçàèìíîîäíîçíà÷íî çàäàòü äâóìÿ óãëîâûìè êîîðäèíàòàìè (ϕ0 , ϕ), è çíà÷èò îíà ÿâëÿåòñÿ òîðîìS 1 × S 1.Àíàëîãè÷íî ñ öèëèíäðîì, êîòîðûé ïîëó÷àåòñÿ â íåêîìïàêòíîì ñëó÷àå.Äàëåå ñðåäè âñåõ ñèñòåì (S, V ) è (S 0 , V ) äâèæåíèÿ ïî ïîâåðõíîñòè S ñ ðèìàíîâîéìåòðèêîé (1.1.1) èëè S 0 ñ ïñåâäîðèìàíîâîé ìåòðèêîé (1.1.2) ïîä äåéñòâèåì öåíòðàëüíîãîïîòåíöèàëà V áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî áåðòðàíîâñêèå.
Òàêæå äàëåå ðàññóæäåíèÿ áóäóò ïðîõîäèòü â áåðòðàíîâñêèõ êîîðäèíàòàõ (çàì. 1.1.2). Äëÿ îïðåäåëåíèÿ âñåõ ñëó÷àåâïîëíîòû ïîòîêà sgrad H çàìåòèì, ÷òî ó îãðàíè÷åííûõ îðáèò ïîòîê sgrad H âñåãäà ïîëîí. ñëó÷àå æå íåîãðàíè÷åííûõ íóæíî ïîñ÷èòàòü, âûõîäèò ëè îðáèòà íà ãðàíèöó ïîâåðõíîñòè çà êîíå÷íîå âðåìÿ èëè íåò. Åñëè âûõîäèò, çíà÷èò ïàðàìåòð íà ñîîòâåòñòâóþùåéòðàåêòîðèè íå ïðîäîëæàåòñÿ äî áåñêîíå÷íîñòè è ïîòîê íåïîëîí.Ïóñòü çàäàíà ïîâåðõíîñòü Áåðòðàíà S ≈ (a, b) × S 1 ñ çàìûêàþùèìïîòåíöèàëîì V .
Òîãäà ãðàíèöà θ = a (èëè θ = b) äîñòèãàåòñÿ, åñëè ñóùåñòâóåò íåîñîáàÿîðáèòà {θ = θ(ϕ) | ϕ1 < ϕ < ϕ2 }, ãäå −∞ ≤ ϕ1 < ϕ2 ≤ ∞, óïèðàþùàÿñÿ â ãðàíèöóθ = a, ò.å. θ(ϕ) → a ïðè ϕ → ϕ0 äëÿ íåêîòîðîãî äåéñòâèòåëüíîãî ϕ0 . Ãðàíèöà θ = a(èëè θ = b) äîñòèãàåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêè èëè ÿâëÿåòñÿ àñèìïòîòîé, åñëè ñóùåñòâóåòíåîñîáàÿ îðáèòà θ = θ(ϕ), íàìàòûâàþùàÿñÿ íà ãðàíè÷íóþ îêðóæíîñòü θ = a, ò.å. ϕi ∈{−∞, +∞} è θ(ϕ) → a ïðè ϕ → ϕi äëÿ íåêîòîðîãî i ∈ {1, 2}. Ãðàíèöà θ = a (èëè θ = b)äîñòèãàåòñÿ (èëè äîñòèãàåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêè) çà êîíå÷íîå âðåìÿ, åñëè ñóùåñòâóåòíåîñîáàÿ òðàåêòîðèÿ ~r(t) = (θ(t), ϕ(t)) è äåéñòâèòåëüíîå t0 òàêèå, ÷òî θ(t) → a ïðè t → t0 .Ãðàíèöà θ = a (èëè θ = b) âïîëíå íåäîñòèæèìà, åñëè îíà íå äîñòèãàåòñÿ è íå äîñòèãàåòñÿàñèìïòîòè÷åñêè.Îïðåäåëåíèå 4.1.5.Ïóñòü çàäàíà ïàðà Áåðòðàíà (S, V ), ãäå S ìàêñèìàëüíàÿ ðèìàíîâàïîâåðõíîñòü Áåðòðàíà, ïàðàìåòðèçîâàííàÿ òðîéêîé (c, t, µ), ñ áåðòðàíîâñêèìè êîîðäèíàòàìè (θ, ϕ mod 2π) è ìåòðèêîé (2.1.2), V (θ) çàìûêàþùèé ïîòåíöèàë íà S .
Òîãäàñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ïîëîæåíèÿ.Óòâåðæäåíèå 18.1.  ñëó÷àå t = 0, c = 0 è ïîòåíöèàëà V1 (θ) = Aθ (A < 0) ãðàíèöà θ = 0 (àáñîëþò)äîñòèãàåòñÿ çà áåñêîíå÷íîå âðåìÿ âñåìè íåîñîáûìè îðáèòàìè ñ óðîâíÿìè (E, K)èíòåãðàëîâ òàêèõ, ÷òî E ≥ 0, ïðè îñòàëüíûõ çíà÷åíèÿõ (E, K) ãðàíèöà âïîëíåíåäîñòèæèìà. Ãðàíèöà θ = ∞ (ïîëþñ) âïîëíå íåäîñòèæèìà. Åñëè ïîòåíöèàëV2 (θ) = θA2 (A > 0), òî îáå ãðàíèöû θ = 0, θ = ∞ âïîëíå íåäîñòèæèìû.2.  ñëó÷àå t = 0, c > 0 è ïîòåíöèàëà V1 (θ) ãðàíèöà θ = 0 (ãðàíè÷íûé ýêâàòîð) äîñòèãàåòñÿ çà êîíå÷íîå âðåìÿ íåîñîáûìè îðáèòàìè ñ óðîâíÿìè (E, K) èíòåãðàëîâòàêèõ, ÷òî 2E ≥ cµ2 K 2 , ïðè äðóãèõ çíà÷åíèÿõ (E, K) ãðàíèöà âïîëíå íåäîñòèæèìà.
Ãðàíèöà θ = ∞ (ïîëþñ) âïîëíå íåäîñòèæèìà. Åñëè ïîòåíöèàë V2 (θ), òî îáåãðàíèöû θ = 0, θ = ∞ âïîëíå íåäîñòèæèìû.78√3.  ñëó÷àå t = 0, c < 0 è ïîòåíöèàëà V1 (θ) ãðàíèöà θ = −c (àáñîëþò) äîñòèãàåòñÿ çà áåñêîíå÷íîå âðåìÿ âñåìè íåîñîáûìè îðáèòàìè ñ óðîâíÿìè (E, K) èíòå√√√ãðàëîâ èç îáëàñòè {E > A −c} ∪ {E = A −c, −A > µ2 K 2 −c}, ïðè îñòàëüíûõçíà÷åíèÿõ (E, K) ãðàíèöà âïîëíå íåäîñòèæèìà. Ãðàíèöà θ = ∞ (ïîëþñ) âïîëíå√íåäîñòèæèìà. Äëÿ ïîòåíöèàëà V2 (θ) ãðàíèöà θ = −c äîñòèãàåòñÿ çà áåñêîíå÷íîå âðåìÿ âñåìè íåîñîáûìè îðáèòàìè ñ óðîâíÿìè (E, K) èíòåãðàëîâ èç îáëàñòèAA{E > −c} ∪ {E = −c, 2A > µ2 K 2 c2 }, ïðè îñòàëüíûõ çíà÷åíèÿõ (E, K) ãðàíèöàâïîëíå íåäîñòèæèìà.
Ãðàíèöà θ = ∞ âïîëíå íåäîñòèæèìà.4.  ñëó÷àå t > 0 è ïîòåíöèàëà V2 ãðàíèöà θ = ∞ (ïîëþñ) âïîëíå íåäîñòèæèìà.Ãðàíèöà θ = θ2 (àáñîëþò) äîñòèãàåòñÿ çà áåñêîíå÷íîå âðåìÿ âñåìè íåîñîáûìèîðáèòàìè ñ óðîâíÿìè (E, K) èíòåãðàëîâ èç îáëàñòè {E > θA2 } ∪ {E = θA2 , µ2 (θ2A4 +t) >222K 2 }, ïðè îñòàëüíûõ çíà÷åíèÿõ (E, K) ãðàíèöà âïîëíå íåäîñòèæèìà.5.  ñëó÷àå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ (c, t) èç îáëàñòè Ω2 ∪ l3 = {t < 0, c < 0, c2 + 4t ≥ 0}(ñì. ðèñ.
2.2) è ïîòåíöèàëà V2 = θA2 (A(θ4 + t) > 0) èìååì äâå ïîâåðõíîñòè. Ãðàíèöà ïåðâîé ïîâåðõíîñòè θ = θ2 (àáñîëþò) äîñòèãàåòñÿ çà áåñêîíå÷íîå âðåìÿ âñåìèíåîñîáûìè îðáèòàìè ñ óðîâíÿìè (E, K) èíòåãðàëîâ èç îáëàñòè {E > θA2 } ∪ {E =2A, 2A> K 2 }, ïðè îñòàëüíûõ çíà÷åíèÿõ (E, K) ãðàíèöà âïîëíå íåäîñòèæèθ22 µ2 (θ24 +t)ìà. Ãðàíèöà ïåðâîé ïîâåðõíîñòè θ = ∞ (ïîëþñ) âïîëíå íåäîñòèæèìà. Ãðàíèöàθ = 0 (ïîëþñ) âòîðîé ïîâåðõíîñòè äîñòèãàåòñÿ çà êîíå÷íîå âðåìÿ âñåìè íåîñîáûìè îðáèòàìè ñ óðîâíÿìè (E, K) èíòåãðàëîâ èç îáëàñòè {2A < µ2 K 2 t} ∪ {2A =µ2 K 2 t, 2E > µ2 K 2 c}, ïðè îñòàëüíûõ çíà÷åíèÿõ (E, K) ãðàíèöà âïîëíå íåäîñòèæèìà.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
