Геометрия гамильтоновых систем для многообразий и потенциалов Бертрана (1102755), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Åñëè äàëåå âåçäå âìåñòî E ïðåäñòàâèòüE − B , òî ïîëó÷àòñÿ ôîðìóëû è äèàãðàììû ñ ó÷åòîì B .Çàìå÷àíèå 4.2.1.Ðàññìîòðèì ìàêñèìàëüíóþ ïîâåðõíîñòü Áåðòðàíà S 0 , ñîîòâåòñòâóþùóþ çíà÷åíèÿì ïàðàìåòðîâ (c, t, µ) èç îáëàñòè l1 (ðèñ. 2.1), è ïîòåíöèàë V = Aθ(A < 0). Äëÿ òàêîé ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà è ïîëíûé îáðàçîòîáðàæåíèÿ qìîìåíòà (íà ïëîñêîñòè (K, E)) èìåþò âèä (ðèñ. 4.1). Òî÷êà A1 èìååò√√ , A −c) è íå ïðèíàäëåæèò Σ, ìíîæåñòâî Σ1 ïðåäñòàâëÿåò èçêîîðäèíàòû ( µ2−A−cqcµ2 K 2A2√< K < ∞}.ñåáÿ êðèâóþ E1 (K) = {(K, E) : E = 2 − 2µ2 K 2 , µ2−A−cÎáëàñòü Σ2 äåëèòñÿ êðèâûìè E2 (K), E3 (K) íà ÷åòûðå çîíû (ðèñ. 4.2) IB ,qI1 , I2 , I3 ,√cµ2 K 2√ãäå E2 (K) = {(K, E) : E = 2 , 0 < K < ∞}, E3 (K) = {(K, E) : E = A −c, µ2−A<−cK < ∞}. Ïðîîáðàç ëþáîé òî÷êè èç Σ1 îêðóæíîñòü, ïðîîáðàç ëþáîé òî÷êè èç IB òîð(ðèñ. 4.2).
Ïðîîáðàç êàæäîé òî÷êè èç I1 öèëèíäð, ñîîòâåòñòâóþùèå ôàçîâûå ïîòîêèïîëíû. Ïðîîáðàç êàæäîé òî÷êè èç I2 öèëèíäð ñ íåïîëíûìè ôàçîâûìè ïîòîêàìè, âðåìÿíà ñîîòâåòñòâóþùèõ òðàåêòîðèÿõ íå ïðîäîëæàåòñÿ íè äî +∞, íè äî −∞. Ïðîîáðàçëþáîé òî÷êè èç I3 ïàðà öèëèíäðîâ ñ íåïîëíûìè ïîòîêàìè; âðåìÿ íà òðàåêòîðèÿõöèëèíäðà, ëåæàùåãî â {pθ < 0}, íå ïðîäîëæàåòñÿ äî +∞, íî ïðîäîëæàåòñÿ äî −∞,äëÿ öèëèíäðà {pθ > 0} íàîáîðîò. Ãðàíèöà çîí I1 è IB ñîäåðæèòñÿ â I1 , ãðàíèöà çîí I2 èIB ñîäåðæèòñÿ â I2 , ãðàíèöà çîí I1 è I3 ñîäåðæèòñÿ â I3 , ãðàíèöà çîí I2 è I3 ñîäåðæèòñÿâ I3 , îáùàÿ ãðàíè÷íàÿ òî÷êà ÷åòûðåõ çîí ïðèíàäëåæèò I3 .Ïðåäëîæåíèå 4.1.EES2I1A1I3A1IBS1I2KKÐèñ. 4.1: Áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà è Σ â Ðèñ.
4.2: Ðàñøèðåííàÿ áèôóðêàöèîííàÿñëó÷àå l1 , V1 .äèàãðàììà â ñëó÷àå l1 , V1 .Äîêàçàòåëüñòâî.Ïîêàæåì, ÷òî Σ èìååò âèä êàê íà ðèñ. 4.1. Òî÷êà (K, E) ∈ Σ,86íàçîâåì òàêèå çíà÷åíèÿ ïåðâûõ èíòåãðàëîâ äîïóñòèìûìè, åñëè ñóùåñòâóåò îðáèòà ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè çíà÷åíèÿìè èíòåãðàëîâ ýíåðãèè E è ìîìåíòà K . Ñîãëàñíî (4.1.12) íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì òîãî, ÷òîáû áûëî âîçìîæíî äâèæåíèå ïî S 0 ïîä äåé√ñòâèåì V ñ ýíåðãèåé E è ìîìåíòîì K ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâîâàíèå θ0 èç èíòåðâàëà(0, −c)òàêîãî, ÷òîK2≥ 0.(4.2.2)Ṽ (θ0 ) = E − V (θ0 ) + 22a22 (θ0 )Ïîäñòàâèì â óñëîâèå (4.2.2) íàøó ïñåâäîðèìàíîâó ìåòðèêó a222 = − µ2 (θ12 +c) è çàìû2 2K 2 µ2 θ 20êàþùèé ïîòåíöèàë V (θ) = Aθ (A < 0): Ṽ (θ0 ) := E − Aθ0 − K 2µ c −.
Òàêèì2îáðàçîì çàäà÷à ñâåëàñü ê íàõîæäåíèþ âñåõ ïàð (K > 0, E), äëÿ êîòîðûõ ñóùåñòâóåò√θ0 ∈ (0, −c) : Ṽ (θ0 ) ≥ 0.Ïðîèçâîäíàÿ Ṽ 0 (θ) = −A − K 2 µ2 θ îáðàùàåòñÿ â íîëü â òî÷êå θmax = − KA2 µ2 . Åñëè√0ìàêñèìóì ôóíêöèè Ṽ (íîëü Ṽ ) ïðèíàäëåæèò (0, −c), òî âîïðîñ ñóùåñòâîâàíèÿ θ0 , óäîâëåòâîðÿþùåé Ṽ (θ0 ) ≥ 0, ýêâèâàëåíòåí óñëîâèþ Ṽ (θmax ) ≥ 0. Ïóñòü σ1 ìíîæåñòâî òî÷åê√(K, E) ∈ Σ, äëÿ êîòîðûõ ìàêñèìóì ôóíêöèè Ṽ (θ) ïðèíàäëåæèò èíòåðâàëó (0, −c), àσ2 := Σ\σ1 ìíîæåñòâî òî÷åê (K, E) ∈ Σ, äëÿ êîòîðûõ ôóíêöèÿ Ṽ (θ) íå äîñòèãàåò ìàêñèq√√−A√.ìóìà íà èíòåðâàëå (0, −c). Óñëîâèå θmax = − KA∈(0,−c)ýêâèâàëåíòíîK>2 µ2−cÒàêèì îáðàçîì, ÷òîáû íàéòè σ1 äîñòàòî÷íî íàéòè âñå ïàðû (K, E), äëÿ êîòîðûõ Ṽ − µ2AK 22 2c22A≥ 0. Èìååì Ṽ − µ2 K 2 = E + µ2AK 2 − µ K− 2µA2 K 2 ≥ 0, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò òîìó, ÷òî ïðè2qòî÷êè (E, K) ðàñïîëîæåíû íà êðèâîé E1 (K) è âûøå íå¼.K > √−A−c√×òîáû íàéòè σ2 íóæíî çàìåòèòü, ÷òî åñëè ôóíêöèÿ Ṽ (θ) íå èìååò ìàêñèìóìà íà (0, −c),√òîãäà îíà âîçðàñòàåò è ñóùåñòâîâàíèå θ0 ∈ (0, −c) : Ṽ (θ0 ) ≥q0 ýêâèâàëåíòíî óñëîâèþ√√Ṽ ( −c) > 0.
×òî äà¼ò â èòîãå E > A −c äëÿ òî÷åê ïðè K ≤ √−A(íà ðèñ. 4.1 óðîâåíü−c√E = A −c îáîçíà÷åí ïóíêòèðîì).Îáúåäèíÿÿ òåïåðü íàéäåííûå σ1 è σ2 ïîëó÷àåì Σ.Ïîêàæåì, ÷òî Σ1 çàäà¼òñÿ êðèâîé E1 (K). Ïåðâûé ñïîñîá ñîñòîèò â òîì, ÷òî êàæäàÿêðóãîâàÿ îðèáòà θ = θ0 èìååò ñâîþ óíèêàëüíóþ K , ïîýòîìó ìîæíî èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿñèñòåìû (4.2.1) âûðàçèòü θ ÷åðåç K è ïîäñòàâèâ â (4.1.2) ïîëó÷èòü êàê ñâÿçàíû E è K äëÿêðóãîâîé îðáèòû. Ñîãëàñíî (4.2.1) äëÿ a222 (θ) = − µ2 (θ12 +c) è V = Aθ èìååì µ2 θK 2 + A = 0,ò.å.
θ = µ−A2 K 2 . Äàëåå ïîëó÷åííóþ θ âìåñòå ñ óñëîâèåì pθ = 0 ïîäñòàâèì â (4.1.2) è ïîëó÷èìE1 (K):K 2 µ2 cA2E=− 2 2.22µ Kq√√ , ∞).Ò.ê. θ ∈ (0, −c) (çàìå÷àíèå 2.1.4), òî K ∈ ( µ2−A−cÂòîðîé ñïîñîá ñîñòîèò â òîì, ÷òî óñëîâèÿ (4.2.1) îïðåäåëÿþò êðóãîâóþ îðáèòó. Îáðàòèìñÿ ê óðàâíåíèþ îðáèòû (2.2.18) îíî ïîêàçûâàåò, ÷òî â ñëó÷àåçàìêíóòîé îðáèòû,qïðîèñõîäèò ôëóêòóàöèÿ âîêðóã ïîëîæåíèÿ − µ2AK 2 ñ àìïëèòóäîé871+2Eµ2 K 2A244− c µAK2 , äëÿêðóãîâîé îðáèòû àìïëèòóäà ïðèðàâíèâàåòñÿ ê íóëþ, ÷òî äà¼ò òó æå çàâèñèìîñòü E1 (K)ìåæäó E è K .Ìíîæåñòâî IB ïðåäñòàâëÿåò èç ñåáÿ òî÷êè (K, E), ñîîòâåòñòâóþùèå îãðàíè÷åííûì îðáèòàì. Äëÿ óñòàíîâëåíèÿ òàêèõ (K, E) âîñïîëüçóåìñÿ ÿâíûì âèäîì îðáèòû θ(ϕ) è óñòà√íîâèì, ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ íà (K, E) îíà íå âûõîäèò íà ãðàíèöû {0} × S 1 , { −c} × S 1íè ïðè êàêîì ϕ:!rA2Eµ2 K 2µ4 K 40<− 2 2 1− 1+,(4.2.3)−c 2µKA2A!r√A2Eµ2 K 2µ4 K 4− 2 2 1+ 1+< −c.(4.2.4)−c 22µKAA×òî ñî âñåìè óñëîâèÿìè íà êîíñòàíòû (A < 0, c < 0, K >E<cK 2,2E<√−cA,E≥q−A√)−cäàåò:A2K 2 µ2 c− 2 2.22µ K(4.2.5)Ïðîîáðàçîì êàæäîé òî÷êè (K, E) ∈ IB áóäåò êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî è ñîãëàñíî óòâåðæäåíèþ 17 îíî ÿâëÿåòñÿ òîðîì Ëèóâèëëÿ T 2 ≈ F −1 [(K, E)] â ñëó÷àå (K, E) ∈ IB \Σ1 èîêðóæíîñòüþ â ñëó÷àå (K, E) ∈ Σ1 .Äëÿ I2 âåðíî, ÷òî êàæäîìó çíà÷åíèþ (K, E) ñîîòâåòñòâóþò îðáèòû, îãðàíè÷åííûå√òîëüêî ñ îäíîé ñòîðîíû (ñî ñòîðîíû ïàðàëëåëè { −c} × S 1 ), ò.ê.
íàðóøàåòñÿ óñëîâèå(4.2.3) è âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå (4.2.4). Ïî ïðåæíåìó êàæäàÿ òàêàÿ îðáèòà ïîëó÷àåòñÿ èçäðóãîé ïîâîðîòîì âîêðóã îñè âðàùåíèÿ ïîâåðõíîñòè, ò.å. îðáèòà θ = θ1 (ϕ) ïîëó÷àåòñÿèç îðáèòû θ = θ2 (ϕ) ïîäñòàíîâêîé θ1 (ϕ) = θ2 (ϕ + ϕ0 ) äëÿ íåêîòîðîãî ϕ0 . Ïîýòîìó (ñì.óòâåðæäåíèå 17) ïðîîáðàç ëþáîé òî÷êè èç I2 áóäåò öèëèíäðîì. Ñîãëàñíî óòâåðæäåíèþ19 òðàåêòîðèÿ âûõîäèò çà êîíå÷íîå âðåìÿ íà ãðàíèöó θ = 0 ïîâåðõíîñòè S 0 , çíà÷èò èôàçîâàÿ òðàåêòîðèÿ âûõîäèò íà ãðàíèöó öèëèíäðà çà êîíå÷íîå âðåìÿ, ò.å.
ïîòîê íà öèëèíäðå íåïîëîí.Àíàëîãè÷íî îðáèòû, ñîîòâåòñòâóþùèå çîíå I1 , îãðàíè÷åíû ñî ñòîðîíû ïàðàëëåëè {0}×S 1è íå îãðàíè÷åíû ñ ïðîòèâîïîëîæíîé. Ïðîîáðàçîì êàæäîé òî÷êè èç I1 òîæå áóäåò öèëèíäðòîëüêî óæå ñ ïîëíûì ïîòîêîì.Äëÿ çîíû I3 âåðíî, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùèå îðáèòû áóäóò íå îãðàíè÷åíû ñ äâóõ ñòîðîí. Òåïåðü îðáèòû äåëÿòñÿ íà äâå ãðóïïû ñ ïîëîæèòåëüíûì çíà÷åíèåì pθ (÷àñòèöà äâèæåòñÿ√√îò θ = 0 äî θ = −c) è îòðèöàòåëüíûì pθ (÷àñòèöà äâèæåòñÿ îò θ = −c äî θ = 0),÷òî îçíà÷àåò, ÷òî ïðîîáðàçàìè â çîíå I3 áóäóò ïàðû öèëèíäðîâ, ñèììåòðè÷íûå â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå M 4 îòíîñèòåëüíî ãèïåðïëîñêîñòè pθ = 0 (ïîñëåäíåå ìîæíî ïîíèìàòüòàê: òî÷êà (θ, ϕ, pθ , pϕ ) ïðèíàäëåæèò ïåðâîìó öèëèíäðó òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà òî÷êà (θ, ϕ, −pθ , pϕ ) ïðèíàäëåæèò âòîðîìó öèëèíäðó; à ìîæíî è ïî-äðóãîìó: ïîâåðõíîñòü S 088ìîæíî ðåàëèçîâàòü îïðåäåëåííûì îáðàçîì â R32 , çíà÷èò, äîáàâèâ äâå ðàçìåðíîñòè, ìîæíîðåàëèçîâàòü ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî M 4 â R52 ).
Çàìåòèì, ÷òî ïðîîáðàç ëþáîé òî÷êè (K, E) ∈ Σ áóäåò ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî ãèïåðïëîñêîñòè pθ = 0, ò.å. óêàçàííûé ïðîîáðàç ïåðåõîäèò ñåáÿ ïðè îòîáðàæåíèè (θ, ϕ, pθ , pϕ )→ (θ, ϕ, −pθ , pϕ ).Ðàññìîòðèì ìàêñèìàëüíóþ ïîâåðõíîñòü Áåðòðàíà S 0 , ñîîòâåòñòâóþùóþ çíà÷åíèÿì ïàðàìåòðîâ (c, t, µ) èç îáëàñòè l1 (ðèñ. 2.1), è çàìûêàþùèé ïîòåíöèàë V = Aθ−2 (A > 0). Äëÿ òàêîé ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà è ïîëíûé îáðàç ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà(íà ïëîñêîñòè (K, E)) èìåþò âèä (ðèñ.√2A A4.3).
Òî÷êà A1 èìååò êîîðäèíàòû ( −µc , −c ) è íå ïðèíàäëåæèò Σ, ìíîæåñòâî Σ1 ïðåä√√2 22A< K < ∞}.ñòàâëÿåò èç ñåáÿ êðèâóþ E1 (K) = {(K, E) : E = cµ 2K + 2AµK, −µcÎáëàñòüΣ2 äåëèòñÿ êðèâîé E2 (K) íà äâå çîíû (ðèñ. 4.4) IB , I1 , ãäå E2 (K) = {(K, E) :√A2AE = −c , −µc < K < ∞}. Ïðîîáðàç ëþáîé òî÷êè èç Σ1 îêðóæíîñòü, ïðîîáðàç ëþáîéòî÷êè èç IB òîð (ðèñ. 4.4). Ïðîîáðàç êàæäîé òî÷êè èç I1 öèëèíäð ñ ïîëíûìè ôàçîâûìèïîòîêàìè. Ãðàíèöà çîí I1 è IB ñîäåðæèòñÿ â I1 .Ïðåäëîæåíèå 4.2.EES2I1A1A1S1S1IBKKÐèñ. 4.3: Áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà è Σ â Ðèñ.
4.4: Ðàñøèðåííàÿ áèôóðêàöèîííàÿñëó÷àå l1 , V2 .äèàãðàììà â ñëó÷àå l1 , V2 .Äîêàçàòåëüñòâî ïðåäëîæåíèÿ 4.1 ïî÷òè äîñëîâíî ïîâòîðÿåò äîêàçàòåëüñòâî ïðåäëîæåíèÿ 4.1 ñ òîé ëèøü ðàçíèöåé, ÷òî âìåñòî ïîòåíöèàëà V1 (θ) áåð¼òñÿ ïîòåíöèàë V2 (θ) èôàêòîì, ÷òî ãðàíèöà {0} × S 1 íå äîñòèæèìà (èç-çà ÷åãî Σ2 äåëèòñÿ íà 2 çîíû, à íå íà 4êàê íà ðèñ. 4.2).Ðàññìîòðèì ìàêñèìàëüíóþ ïîâåðõíîñòü Áåðòðàíà S 0 , ñîîòâåòñòâóþùóþ çíà÷åíèÿì ïàðàìåòðîâ (c, t, µ) èç îáëàñòè Ω1 (ðèñ. 2.1), è ïîòåíöèàë V =Aθ−2 (A > 0).
Äëÿ òàêîé ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà è ïîëíûéîáðàç îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà (íà ïëîñêîñòè (K, E)) èìåþò âèä (ðèñ. 4.5). Òî÷êè A1 , A2Ïðåäëîæåíèå 4.3.89√√2A Ac, A2 ), ( µ√, t ) ñîîòâåòñòâåííî è íå ïðèíàäëåæàò Σ. Ìíîèìåþò êîîðäèíàòû ( √2Atµ θ24 +t θ2q2 2æåñòâî Σ1 ïðåäñòàâëÿåò èç ñåáÿ êðèâóþ E1 (K) = {(K, E) : E = cµ 2K +µ2 K 2 µ22A− t,K2q−A√< K < ∞}.µ2 −cÎáëàñòü Σ2 äåëèòñÿ êðèâûìè√E2 (K), E3 (K) íà ÷åòûðå çîíû (ðèñ. 4.6) IB , √I1 , I2 , I3 ,2A Acãäå E2 (K) = {(K, E) : E = θA2 , √2A< K < ∞}, E3 (K) = {(K, E) : K = µ√, t <4t2µθ2 +tE < ∞}. Ïðîîáðàç ëþáîé òî÷êè èç Σ1 îêðóæíîñòü, ïðîîáðàç ëþáîé òî÷êè èç IB òîð(ðèñ. 4.6). Ïðîîáðàç êàæäîé òî÷êè èç I1 öèëèíäð, ñîîòâåòñòâóþùèå ôàçîâûå ïîòîêèïîëíû, ïðîîáðàç êàæäîé òî÷êè èç I2 öèëèíäð ñ íåïîëíûìè ôàçîâûìè ïîòîêàìè, âðåìÿíà ñîîòâåòñòâóþùèõ ôàçîâûõ òðàåêòîðèÿõ íå ïðîäîëæàåòñÿ íè äî +∞, íè äî −∞.Ïðîîáðàç ëþáîé òî÷êè èç I3 ïàðà öèëèíäðîâ ñ íåïîëíûìè ïîòîêàìè; âðåìÿ íà òðàåêòîðèÿõ öèëèíäðà, ëåæàùåãî â {pθ < 0}, íå ïðîäîëæàåòñÿ äî +∞, íî ïðîäîëæàåòñÿäî −∞, äëÿ öèëèíäðà {pθ > 0} íàîáîðîò.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
