Геометрия гамильтоновых систем для многообразий и потенциалов Бертрана (1102755), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Ãðàíèöà θ = θ1 (àáñîëþò) âòîðîé ïîâåðõíîñòè äîñòèãàåòñÿ çà áåñêîíå÷íîå âðåìÿ âñåìè íåîñîáûìè îðáèòàìè ñ óðîâíÿìè (E, K) èíòåãðàëîâ èç îáëàñòè{E > θA2 }∪{E = θA2 , µ2 (θ2A4 +t) > K 2 }, ïðè îñòàëüíûõ çíà÷åíèÿõ (E, K) ãðàíèöà âïîëíå111íåäîñòèæèìà.6.  ñëó÷àå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ (c, t) èç îáëàñòè Ω3 = {c2 + 4t < 0} ∪ {c > 0, t <0, c2 + 4t ≥ 0} (ñì.
ðèñ. 2.2) è ïîòåíöèàëà V2 = θA2 (A(θ4 + t) > 0) èìååì äâå ïî√âåðõíîñòè. Ãðàíèöà ïåðâîé è âòîðîé ïîâåðõíîñòåé θ = 4 −t (ãðàíè÷íûé ýêâàòîð)äîñòèãàåòñÿ çà êîíå÷íîå âðåìÿ âñåìè íåîñîáûìè îðáèòàìè ñ óðîâíÿìè (E, K) èí√òåãðàëîâ èç îáëàñòè {2(E − √A−t )−µ2 K 2 (2 −t+c) ≥ 0)}, ïðè îñòàëüíûõ çíà÷åíèÿõ(E, K) ãðàíèöà âïîëíå íåäîñòèæèìà. Ãðàíèöà θ = ∞ (ïîëþñ) ïåðâîé ïîâåðõíîñòèâïîëíå íåäîñòèæèìà. Ãðàíèöà θ = 0 (ïîëþñ) âòîðîé ïîâåðõíîñòè äîñòèãàåòñÿçà êîíå÷íîå âðåìÿ âñåìè íåîñîáûìè îðáèòàìè ñ óðîâíÿìè (E, K) èíòåãðàëîâ èçîáëàñòè {µ2 K 2 t > 2A} ∪ {µ2 K 2 t = 2A, µ2 K 2 c = 2E}, ïðè îñòàëüíûõ çíà÷åíèÿõ(E, K) ãðàíèöà âïîëíå íåäîñòèæèìà.Ïóñòü çàäàíà ïàðà Áåðòðàíà (S 0 , V ), ãäå S 0 ìàêñèìàëüíàÿ ïñåâäîðèìàíîâà ïîâåðõíîñòü Áåðòðàíà, ïàðàìåòðèçîâàííàÿ òðîéêîé (c, t, µ), ñ áåðòðàíîâñêè-Óòâåðæäåíèå 19.79ìè êîîðäèíàòàìè (θ, ϕ mod 2π) è ïñåâäîðèìàíîâîé ìåòðèêîé (2.1.8), V (θ) çàìûêàþùèé ïîòåíöèàë íà S 0 .
Òîãäà ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ïîëîæåíèÿ.1.  ñëó÷àå t = 0, c < 0 è ïîòåíöèàëà V1 (θ) = Aθ (A < 0) ãðàíèöà θ = 0 (ãðàíè÷íûéýêâàòîð) äîñòèãàåòñÿ çà êîíå÷íîå âðåìÿ âñåìè íåîñîáûìè îðáèòàìè ñ óðîâíÿìè(E, K) èíòåãðàëîâ òàêèõ, ÷òî E ≥ µ2 K 2 2c , ïðè îñòàëüíûõ çíà÷åíèÿõ (E, K) ãðà√íèöà âïîëíå íåäîñòèæèìà. Ãðàíèöà θ = −c (àáñîëþò) äîñòèãàåòñÿ çà áåñêîíå÷íîå âðåìÿ âñåìè íåîñîáûìè îðáèòàìè ñ óðîâíÿìè (E, K) èíòåãðàëîâ èç îáëàñòè√√√ }, ïðè îñòàëüíûõ çíà÷åíèÿõ (E, K) ãðàíèöà{E > A −c} ∪ {E = A −c, K 2 > µ2−A−câïîëíå íåäîñòèæèìà.2.
 ñëó÷àå t = 0, c < 0 è ïîòåíöèàëà V2 (θ) = θA2 (A > 0) (ñì. òåîðåìó 6) ãðàíèöà√θ = −c äîñòèãàåòñÿ òîëüêî çà áåñêîíå÷íîå âðåìÿ âñåìè íåîñîáûìè îðáèòàìè√2AAAñ óðîâíÿìè (E, K) èíòåãðàëîâ èç îáëàñòè {E > −c} ∪ {E = −c, K > −µc}, ïðèîñòàëüíûõ çíà÷åíèÿõ (E, K) ãðàíèöà âïîëíå íåäîñòèæèìà. Ãðàíèöà θ = 0 âïîëíåíåäîñòèæèìà.3.  ñëó÷àå t > 0 è ïîòåíöèàëà V2 (θ) = θA2 (A > 0) ãðàíèöà θ = 0 (ïîëþñ) äîñòèãàåòñÿçà êîíå÷íîå âðåìÿ âñåìè íåîñîáûìè îðáèòàìè ñ óðîâíÿìè (E, K) èíòåãðàëîâ èçAc2îáëàñòè {K 2 > µ2A= µ2A}, ïðè îñòàëüíûõ çíà÷åíèÿõ (E, K) ãðà2 t } ∪ {K2t , E >tíèöà âïîëíå íåäîñòèæèìà.
Ãðàíèöà θ = θ2 (àáñîëþò) äîñòèãàåòñÿ çà áåñêîíå÷íîå âðåìÿ âñåìè íåîñîáûìè îðáèòàìè ñ óðîâíÿìè (E, K) èíòåãðàëîâ èç îáëàñòè{E > θA2 }∪{E = θA2 , K 2 > µ2 (θ2A4 +t) }, ïðè îñòàëüíûõ çíà÷åíèÿõ (E, K) ãðàíèöà âïîëíå222íåäîñòèæèìà.4.  ñëó÷àå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ (c, t) èç îáëàñòè Ω2 := {(c, t) : t < 0, c < 0, c2 +√4t > 0} (ñì. ðèñ.
2.1) èìååì äâå ìàêñèìàëüíûå ïîâåðõíîñòè. Ãðàíèöà θ = 4 −t(ãðàíè÷íûé ýêâàòîð) ïåðâîé è âòîðîé ïîâåðõíîñòåé äîñòèæèìà çà êîíå÷íîå âðåìÿ âñåìè íåîñîáûìè îðáèòàìè ñ óðîâíÿìè (E, K) èíòåãðàëîâ èç îáëàñòè {E ≥√√A + µ2 K 2 ( −t + c )}, ïðè îñòàëüíûõ çíà÷åíèÿõ (E, K) ãðàíèöà âïîëíå íåäîñòè2−tæèìà.
Ãðàíèöà θ = θ1 (àáñîëþò) ïåðâîé ïîâåðõíîñòè äîñòèæèìà çà áåñêîíå÷íîå âðåìÿ âñåìè íåîñîáûìè îðáèòàìè ñ óðîâíÿìè (E, K) èíòåãðàëîâ èç îáëàñòè{E > θA2 }∪{E = θA2 , K 2 > µ2 (θ2A4 +t) }, ïðè îñòàëüíûõ çíà÷åíèÿõ (E, K) ãðàíèöà âïîëíå111íåäîñòèæèìà. Ãðàíèöà θ = θ2 (àáñîëþò) âòîðîé ïîâåðõíîñòè äîñòèæèìà çà áåñêîíå÷íîå âðåìÿ âñåìè íåîñîáûìè îðáèòàìè ñ óðîâíÿìè (E, K) èíòåãðàëîâ èç îáëàñòè {E > θA2 } ∪ {E = θA2 , K 2 > µ2 (θ2A4 +t) }, ïðè îñòàëüíûõ çíà÷åíèÿõ (E, K) ãðàíèöà222âïîëíå íåäîñòèæèìà.Óòâåðæäåíèÿ 18, 19 ïîçâîëÿþò âûäåëèòü òðè ñëó÷àÿ â çàâèñèìîñòèîò ïîëíîòû ïîòîêîâ è êîìïàêòíîñòè ðåãóëÿðíûõ ñëîåâ Ëèóâèëëÿ.Çàìå÷àíèå 4.1.1.1.
Ïîòîêè sgrad H ïîëíû è ðåãóëÿðíûå ñëîè êîìïàêòíû äëÿ ñëåäóþùèõ ðèìàíîâûõìàêñèìàëüíûõ ïîâåðõíîñòåé Áåðòðàíà è ïîòåíöèàëîâ: t = c = 0, V2 ; t = 0, c > 0, V2 .80Ñðåäè ïñåâäîðèìàíîâûõ ïîâåðõíîñòåé íåò óäîâëåòâîðÿþùèõ òðåáîâàíèÿì ïîëíîòûïîòîêîâ è êîìïàêòíîñòè ñëîåâ.2. Ïîòîêè sgrad H ïîëíû, íî ñðåäè ðåãóëÿðíûõ ñëîåâ åñòü íåêîìïàêòíûå äëÿ ñëåäóþùèõ ðèìàíîâûõ ìàêñèìàëüíûõ ïîâåðõíîñòåé Áåðòðàíà è ïîòåíöèàëîâ: t = c = 0, V1 ;t = 0, c < 0, V1 ; t = 0, c < 0, V2 ; t > 0, V2 ; t < 0, c < 0, c2 + 4t > 0, â = θ2 , b̂ = ∞, V2 .Ïîòîêè sgrad H ïîëíû, íî ñðåäè ðåãóëÿðíûõ ñëîåâ åñòü íåêîìïàêòíûå äëÿ ñëåäóþùèõ ïñåâäîðèìàíîâûõ ìàêñèìàëüíûõ ïîâåðõíîñòåé Áåðòðàíà è ïîòåíöèàëîâ:t = 0, c < 0, V2 .3.
Ïîòîêè sgrad H íåïîëíû âî âñåõ îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ. óòâåðæäåíèÿõ 18, 19 ðàññìàòðèâàëèñü ìàêñèìàëüíûå ïîâåðõíîñòèÁåðòðàíà, ò.å. òàêèå, êîòîðûå íå ÿâëÿþòñÿ ïîäïîâåðõíîñòüþ íèêàêîé äðóãîé ïîâåðõíîñòèÁåðòðàíà. Ïóñòü ðèìàíîâà ïîâåðíîñòü Áåðòðàíà S0 ≈ (a1 , b1 ) × S 1 íå ìàêñèìàëüíà èÿâëÿåòñÿ ïîäïîâåðõíîñòüþ ìàêñèìàëüíîé ïîâåðõíîñòè Áåðòðàíà S ≈ (a, b) × S 1 òàê, ÷òîa < a1 < b1 < b. Òîãäà îáå å¼ ãðàíèöû θ = a1 è θ = b1 äîñòèãàþòñÿ çà êîíå÷íîå âðåìÿ.
Âñàìîì äåëå ó èñõîäíîé ïîâåðõíîñòè S ñîãëàñíî ïðåäëîæåíèþ 2.5 ñóùåñòâóåò çàìêíóòàÿòðàåêòîðèÿ ñ ýíåðãèåé E , êèíåòè÷åñêèì ìîìåíòîì K , ïåðèöåíòðîì a1 è àïîöåíòðîì b1è ïåðèîäîì T . Òîãäà âðåìÿ äâèæåíèÿ îò a1 äî b1 ðàâíî t1 < T (t1 = T /2q ), ïîýòîìóåñëè ðàññìîòðåòü îðáèòó ñ ýíåðãèåé E è êèíåòè÷åñêèì ìîìåíòîì K íà ïîâåðõíîñòè S0 ,òî ïîëíîå âðåìÿ, êîòîðîå ïîòðåáóåòñÿ, ÷òîáû äîáðàòüñÿ îò îäíîé ãðàíèöû äî äðóãîéêîíå÷íî è ðàâíî t1 .Çàìå÷àíèå 4.1.2.Ïðåæäå âñåãî ñôîðìóëèðóåì ôàêò äîñòèæèìîñòè ãðàíèöû â òåðìèíàõ ôóíêöèé V (θ) è a222 (θ) è êîíñòàíò E, K .
Íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåìòîãî, ÷òî äâèæåíèå ñ ýíåðãèåé E , ìîìåíòîì K âîçìîæíî â òî÷êå (θ0 , ϕ0 ) ÿâëÿåòñÿÄîêàçàòåëüñòâî.Ṽ (θ0 ) = E − V (θ0 ) − ε̂K2≥ 0.2a222 (θ0 )a2 (θ )θ̇2(4.1.12) ñàìîì äåëå ñîãëàñíî (1.1.5) âûïîëíåíî Ṽ (θ0 ) = 11 20 0 , îòñþäà ñðàçó ñëåäóåò íåîáõîäèìîñòü, äîñòàòî÷íîñòü ñëåäóåò èç òåîðåìû ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (1.1.5) ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì θ(ϕ0 ) = θ0 .Ñîîòâåòñòâåííî, åñëè ãðàíèöà θ = a äîñòèãàåòñÿ, òî â íåêîòîðîé åå îêðåñòíîñòè âîçìîæíî äâèæåíèå ïî íåêîòîðîé íåîñîáîé îðáèòå, ò.å.
ñóùåñòâóåò îðáèòà {θ = θ(ϕ)} èäåéñòâèòåëüíîå ε > 0 òàêèå, ÷òî ∀θ0 ∈ (a, a + ε) ∃ϕ0 : θ(ϕ0 ) = θ0 . Îäíàêî ýòîãî íåäîñòàòî÷íî, ÷òîáû ãðàíèöà θ = a äîñòèãàëàñü, ò.ê. åñëè Ṽ (a) = 0 îðáèòà {θ = θ(ϕ)} ìîæåòíàìàòûâàòüñÿ íà ãðàíèöó (ñ áåñêîíå÷íûì ÷èñëîì âèòêîâ) òàê åå è íå äîñòèãíóâ. Íåîáõîäèìîå óñëîâèå äîñòèæèìîñòè ãðàíèöû θ = a, ñîâïàäàþùåå ñ äîñòàòî÷íûì óñëîâèåìäîñòèæèìîñòè èëè àñèìïòîòè÷åñêîé äîñòèæèìîñòè ãðàíèöû θ = a, ôîðìóëèðóåòñÿ òàê:Ṽ (θ) > 0 â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè ãðàíèöû θ = a âèäà (a, a + ε). Íî äëÿ ñèñòåì Áåðòðàíà àñèìïòîòè÷åñêàÿ äîñòèæèìîñòü íåâîçìîæíà â ñèëó ÿâíûõ ôîðìóë (2.2.18)(2.2.20)81äëÿ îðáèò â áåðòðàíîâñêèõ êîîðäèíàòàõ (ñì. êîíåö äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 6).
Ïîýòîìóîêîí÷àòåëüíî íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå äîñòèæèìîñòè ãðàíèöû θ = a äëÿ áåðòðàíîâñêèõ ñèñòåì ôîðìóëèðóåòñÿ òàê: Ṽ (θ) > 0 â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè ãðàíèöû θ = aâèäà (a, a+ε). Äëÿ âûïîëíåíèÿ ïîñëåäíåãî óñëîâèÿ (à çíà÷èò, è äëÿ äîñòèæèìîñòè ãðàíèöû θ = a) äîñòàòî÷íî òîãî, ÷òî ëèáî 0 < Ṽ (a) ≤ +∞, ëèáî Ṽ (a) = 0 è Ṽ 0 (a) > 0. Çäåñü ìûèñïîëüçóåì, ÷òî äëÿ áåðòðàíîâñêèõ ñèñòåì ýôôåêòèâíûé ïîòåíöèàë èìååò ïðîñòîé âèä(ñì. (2.2.21)), ïîýòîìó îí (âìåñòå ñî ñâîèìè ïðîèçâîäíûìè) åñòåñòâåííî ïðîäîëæàåòñÿ(âîçìîæíî, áåñêîíå÷íîñòüþ) ïî íåïðåðûâíîñòè â ãðàíè÷íûå òî÷êè èíòåðâàëà (a, b).Ïðîâåðêó ñ ïðîèçâîäíûìè ìîæíî îïóñòèòü, åñëè èçâåñòíî, ÷òî âðåìÿ äâèæåíèÿ äîãðàíèöû õîòÿ áû ïî îäíîé òðàåêòîðèè êîíå÷íî.Èìåÿ óñëîâèÿ, êîòîðûå ïîçâîëÿþò îïðåäåëèòü äîñòèãàåòñÿ ëè ãðàíèöà, îñòàëîñü ïðèâåñòè óñëîâèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ äîñòèãàåòñÿ ëè ãðàíèöà çà êîíå÷íîå âðåìÿ èëè çà áåñêîíå÷íîå.
Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî çàïèñàòü âðåìÿ äâèæåíèÿ ïî îðáèòå ñ ýíåðãèåé E èìîìåíòîì K îò ïàðàëëåëè θ = θ11 äî ïàðàëëåëè θ = θ22 (ñîãëàñíî (1.1.5) è (1.1.6)) èóñòðåìëÿòü îäíó èç êðàéíèõ ïàðàëëåëåé (θ11 , θ22 ) ê ãðàíèöå:Zθ22T =θ11a11 (θ)dθq.22(E − V (θ)) − ε̂ a2K(θ)(4.1.13)22Çàìåòèì, ÷òî ïîä êîðíåì ñòîèò êàê ðàç âåëè÷èíà 2Ṽ (θ), ïîýòîìó åñëè äâèæåíèå âîçìîæíî, òî ïîäêîðåííîå âûðàæåíèå â èíòåãðàëå (4.1.13) íåîòðèöàòåëüíî.Ðàññìîòðèì ðèìàíîâó (ε̂ = 1) ìàêñèìàëüíóþ áåðòðàíîâñêóþ ïîâåðõíîñòü S ≈ (0, ∞)×S 1 , ñîîòâåòñòâóþùóþ c = t = 0 è ïîòåíöèàë V1 (θ) = Aθ (A < 0). Åñëè ãðàíèöà θ =∞ äîñòèãàåòñÿ, òî òîãäà ñóùåñòâóåò îðáèòà θ(ϕ) ñ íåêîòîðûìè E, K òàêàÿ, ÷òî Ṽ (θ) â2 2îêðåñòíîñòè ∞ ïîëîæèòåëüíà. Íî ïðè θ → ∞ ôóíêöèÿ Ṽ (θ) = E−Aθ− K 2µ θ2 ñòðåìèòñÿ ê−∞ ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ E , K 6= 0 (÷òî ñîîòâåòñòâóåò íåîñîáîñòè îðáèòû), ÷òî îçíà÷àåò(ïî êðèòåðèþ (4.1.12)), ÷òî äàííàÿ ãðàíèöà íå äîñòèãàåòñÿ.Âèäíî, ÷òî ïðè θ → 0 ôóíêöèÿ Ṽ (θ) → E , à òàêæå Ṽ 0 (0) = −A > 0, ò.å.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
