Диссертация (1102446), страница 23
Текст из файла (страница 23)
рис. 2.1 и 4.1а):− 102 −∂C0∂Cqcos θ 0 + 0 sin θ 0 = − C1 exp[i (η x x + η z z )],∂z∂x2∂C1 q= C 0 exp[−i (η x x + η z z )].∂z 2(4.3)Значение угла падения света θ0 здесь определяется из соотношения (4.1). Систему уравнений(4.3) следует решать в пространственной области, ограниченной по двум координатам. Удобнопредставить такую область в виде параллелограмма, две стороны которого соответствуютбоковым границам ультразвукового столба, а другие две − параллельны направлению падениясвета, как показано на рис.
4.1а. Такой выбор формы области взаимодействия позволяет учестьконечную длину ультразвукового столба, но пренебречь при этом физически несущественнымикраевыми эффектами, которые значительно усложнили бы вычисления. Граничные условия(1.32) к уравнению связанных мод (4.3) в области выбранной формы принимают вид:C0 (0, z ) = a ( z ),(4.4)C1 ( x, − ∞) = 0,где функция a (z) задает форму сечения падающего светового пучка и удовлетворяет условиюнормировки∫∞−∞2a( z ) cos θ 0 dz = 1 .
При этом эффективность дифракции, определяемая в общемслучае выражением (1.35), равна:lI = ∫ C1 ( x, z ) z > z2max + xtgθ 0dx.(4.5)0Для решения задачи (4.3)-(4.4) могут быть использованы любые методы решениядвумерного уравнения связанных мод, описанные в главе 2. При этом следует особоподчеркнуть, что непосредственная подстановка значения θ1 = 90о в готовые решения (2.9) и(2.13) недопустима, потому что они получены для области другой геометрической формы, аименно ультразвукового столба бесконечной длины.
Тем не менее, общая методика решенияуравнений (4.3) полностью аналогична описанной в главе 2, и поэтому ее подробноерассмотрение здесь не проводится.Решение задачи (4.3)-(4.4) в области взаимодействия имеет вид:q ∞xxgС0 ( x, z ) = f ( z − x tgθ 0 ) −exp(iη z g )J 1 (q) a ( z − ζ ) dζ ,∫2 x tgθ 0g cos θ 0cos θ 0∞(4.6)qxgС1 ( x, z) = exp[−i(η x x + η z z )] ∫ exp(iη z g ) J 0 ( q) a ( z − ζ ) dζ ,2cos θ 0x tgθ 0где g = ζ − x tgθ 0 . В случае произвольного вида функции a (z), а также при наличии сильнойакустооптической связи выражения (4.6) могут быть проинтегрированы только численно.− 103 −Аналитическое выражение для интегралов (4.6) может быть получено для случаясинхронного взаимодействия прямоугольного светового пучка шириной b с ультразвуковымстолбом ограниченной длины (см.
рис. 4.1а). Несмотря на простоту подобной модели, онапозволяет проследить некоторые важные закономерности, характерные для полуколлинеарнойдифракции и отличающие ее как от поперечного, так и от коллинеарного взаимодействия.Подставляя в выражение (4.6) функцию a (z) вида (2.4) и полагая обе компоненты вектораrрасстройки η равными нулю, получаемС0 ( x, z ) = 0,при z − x tgθ 0 < −С1 ( x, z ) = 0 q x( z cos θ 0 − x sin θ 0 + b / 2) ,С0 ( x, z) = J 0 cosθ0С1 ( x, z) =при −b,2 cos θ 0bb< z − x tgθ 0 <,2 cos θ 02 cos θ 0z cos θ 0 − x sin θ 0 + b / 2 q x( z cos θ 0 − x sin θ 0 + b / 2) J1xcos θ 0(4.7) q x( z cos θ 0 − x sin θ 0 + b / 2) − J 0 q x( z cos θ 0 − x sin θ 0 − b / 2) ,С0 ( x, z ) = J 0 cos θ 0cos θ 0z cos θ 0 − x sin θ 0 + b / 2 q x( z cos θ 0 − x sin θ 0 + b / 2) С1 ( x, z) =J1−xθcos0z cos θ 0 − x sin θ 0 − b / 2 q x( z cos θ 0 − x sin θ 0 − b / 2) b−J1при z − x tgθ 0 >.xcosθ2cosθ00Для нахождения эффективности дифракции в данном случае необходимо воспользоватьсявыражением (4.5).Рассмотрим важный частный случай решения двумерных уравнений связанных мод (4.3),соответствующий слабой акустооптической связи, или приближению малой эффективностидифракции.
Как отмечалось в п. 2.3, для перехода к этому приближению необходимоприравнять нулю правую часть первого из уравнений связанных мод (4.3), что соответствуетпренебрежению обратным переходом энергии из +1-го в 0-й порядок дифракции:∂C0∂Ccos θ 0 + 0 sin θ 0 = 0,∂x∂z∂C1 q= C0 exp[−i (η x x + η z z )].∂z 2(4.8)Решение системы уравнений (4.8) с граничными условиями (4.4) численно равно выражениям(4.6), в которых сохраняются лишь члены, пропорциональные первой степени коэффициентасвязи q:− 104 −С0 ( x, z ) = a( z − x tgθ 0 ),∞qС1 ( x, z ) = exp[−i (η x x + η z z )] ∫ exp(iη z g ) a( z − ζ )dζ .2x tgθ 0(4.9)В случае дифракции светового пучка прямоугольного сечения шириной b (см.
рис. 4.1а),что соответствует функции a (z) вида (2.4), интеграл, входящий в выражение (4.9), может бытьвычислен аналитически, и выражение для амплитуды волны +1-го порядка дифракциипринимает вид:C1 ( x, z) z > x tg θ0+b2 cos θ 0 η zb sin 2 cos θ 0 q bix=exp −(η x cos θ 0 + η z sin θ 0 ) .2 cos θ 0 η z b cos θ 0θ2cos0 (4.10)Интеграл (4.5) в данном случае также допускает аналитическое решение, и эффективностьдифракции оказывается равнойA′ 2 l sin 2 ( R′ / 2) ,I=4 b ( R′ / 2) 2 (4.11)где введены безразмерные обозначения для коэффициента связи A′ = qb / cos θ 0 и расстройкиR ′ = η z b / cos θ 0 . При выполнении условия синхронизма ( R′ = 0) эффективность дифракцииравнаI=q2 l b,4 cos 2 θ 0(4.12)то есть пропорциональна произведению апертуры светового пучка на ширину ультразвуковогостолба.
Влияние двух размеров области взаимодействия на величину эффективности дифракцииуказывает на то, что задача полуколлинеарной дифракции света на ультразвуке являетсяпринципиально двумерной. В связи с этим, полуколлинеарный режим дифракции не можетбыть описан при помощи известного одномерного уравнения связанных мод, позволяющегоучесть лишь один характерный размер области взаимодействия [40-42, 95, 97].Выражение (4.11) позволяет также найти ширину частотной полосы акустооптическоговзаимодействия δf = 2∆f1/2, определяемую по уменьшению эффективности дифракции в 2 раза.При помощи векторной диаграммы (см.
рис. 4.1б) можно убедиться, что η z = (2π∆f / V ) ⋅ cosψ .Также следует учесть соотношение (4.1). В результате получается:δf = 0,89V⋅ 2 sinψ .b(4.13)Как видно, в полуколлинеарном режиме взаимодействия ширина частотной полосыопределяется апертурой света b, а не поперечным размером ультразвукового столба l, как− 105 −обычно бывает в акустооптике. Этот факт обусловлен тем, что в полуколлинеарном режимедифракции именно размер светового пучка является основным фактором, влияющим напространственное ограничение области взаимодействия (см.
п. 2.6) [95, 97].Как было отмечено в главе 1, приближение геометрической оптики, использованное привыводе двумерного уравнения связанных мод, приводит к частичной потере информации о фазевзаимодействующих световых волн. Данное обстоятельство приводит к невозможностиописывать такие эффекты, как сканирование отклоненного пучка света при перестройкечастоты ультразвуковой волны. Для того чтобы найти величину угла сканирования, необходимоrзнать направление вектора расстройки η . В главе 2 было показано, что решение двумерногоуравнения связанных мод позволяет найти амплитуду взаимодействующих световых волн припроизвольных углах падения и дифракции даже в том случае, когда направление векторарасстройки не определено.
Тем не менее, оказывается, что в частном случае полуколлинеарнойдифракции (наряду с поперечным и коллинеарным режимами взаимодействия) решениедвумерного уравнения связанных мод позволяет найти определенное направление векторарасстройки.Направление вектора расстройки определяется из условия неизменности фазы световогопучка +1-го порядка дифракции в каждом его сечении, то есть величина arg C1 ( x, z ) не должназависеть от координаты x при фиксированном значении z. Как видно из уравнения (4.10), этоусловие выполняется, если множитель при x, равный η x cosθ 0 + η z sin θ 0 , обращается в нуль.Таким образом, вектор расстройки в полуколлинеарном режиме дифракции должен бытьнаправлен перпендикулярно к лучевому вектору падающего пучка света.
Для сравненияследует отметить, что вектор расстройки в поперечном режиме дифракции направляетсяперпендикулярно к границе ультразвукового столба [30, 34]. Подобное различие объясняетсятем, что в поперечном режиме дифракции энергия светового пучка 1-го порядка покидаетобласть взаимодействия через границу ультразвукового столба, а в полуколлинеарномрежиме − через границу падающего пучка света.
Таким образом, в каждом из указанныхрежимов дифракции существует лишь один фактор, влияющий на пространственноеограничение области взаимодействия, и именно поэтому в обоих этих режимах может бытьнайденоопределенноенаправлениевекторарасстройки.Вовсехдругихрежимахвзаимодействия, находящихся между поперечным и полуколлинеарным, пространственноеограничениеобластивзаимодействияобусловленодвумяфакторами−ширинойультразвукового столба и апертурой светового пучка (подробнее см. п.
2.6). При этом векторрасстройки занимает некоторое промежуточное положение между перпендикулярами ксветовому пучку 0-го порядка дифракции и к ультразвуковому столбу, но уравнения связанныхмод не позволяют определить точное его направление.− 106 −Задавшись направлением вектора расстройки, из векторной диаграммы на рис. 4.1бможно определить угол сканирования света ∆θ при отстройке от синхронизма на частоту ∆f:∆θλ=.∆f2nV sinψ(4.14)Как было отмечено в п.2.1, даже при несинхронном взаимодействии значения углов θ0,1,входящие в двумерное уравнение связанных мод, должны соответствовать синхронизму.Следует особо подчеркнуть, что эти углы не обладает зависимостью ни от величины, ни отнаправления вектора расстройки.Задача полуколлинеарной дифракции может быть аналитически решена в приближениималой эффективности дифракции не только для прямоугольного, но и для гауссова сеченияпадающего пучка света.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
