Диссертация (1102364), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

3.6. Ñïðàâà òî æå âäðóãîì ìàñøòàáå. Ïî îñè àáñöèññ îòñòðîéêà îò ðåçîíàíñíîé ÷àñòîòû íàêà÷èâàåìîé ìîäûÇà ñ÷¼ò ìîäóëÿöèè ïîëå â êàæäîé ìîäå êîëåáëåòñÿ íå òîëüêî ñ ÷àñòîòîé íàêà÷êè, íî èñ ÷àñòîòàìè, ñäâèíóòûìè âïðàâî è âëåâî íî ÷àñòîòó ìîäóëÿöèè. Èç ôîðìóëû âèäíî, ÷òî àìïëèòóäû ìîäóëÿöèè èìåþò ìàêñèìóìû êàê íà ÷àñòîòå íàêà÷èâàåìîé ìîäû, òàê è íà ÷àñòîòåñäâèíóòîé íà ÷àñòîòó ìîäóëÿöèè. Îäíàêî, ðàñ÷¼òû ïîêàçûâàþò, ÷òî âûñîòà ýòèõ ìàêñèìóìîâìîæåò ñèëüíî îòëè÷àòüñÿ.

Íà ðèñóíêå 3.8 èçîáðàæåíî a−k , ñîãëàñíî (3.2.13) ïðè äîïóùåíèè,84÷òî âñå ýëåêòðîîïòè÷åñêèå ýôôåêòèâíîñòè ðàâíû δωkj = 1. Ïîä÷åðêí¼ì åù¼ ðàç, ÷òî òàìèçîáðàæåíû àìïëèòóäû êîëåáàíèÿ ìîä íà ÷àñòîòå ω − ωRF ïðè íàêà÷êå íà ÷àñòîòå ω â ìîäóñ íîìåðîì p. Èç ðèñóíêà âèäíî, ÷òî äëÿ äîñòèæåíèÿ ìàêñèìàëüíîé àìïëèòóäû ñòîêñîâñêîé÷àñòîòû íàêà÷èâàåìîé ìîäû íàêà÷êà äîëæíà áûòü íà ÷àñòîòå ω − ωRF , à íå íà ðåçîíàíñíîé ÷àñòîòå (ðèñ.

3.8 êðàñíàÿ ëèíèÿ). Ïðè íàêà÷êå æå íà ðåçîíàíñíîé ÷àñòîòå íàêà÷èâàåìîéìîäû, íàèáîëüøàÿ ýíåðãèÿ íà ÷àñòîòå ω − ωRF íàáëþäàåòñÿ â ñëåäóþùåé (p + 1) ìîäå.−6x 104.5100m=p−2m=p−1m=pm=p+1m=p+2m=p+39080703.53602.5bkbkm=p−2m=p−1m=pm=p+1m=p+2m=p+34502401.5301200.51000−2−101ω/ωFSR234−1.5−1−0.500.5ω/ωFSR11.522.5Ðèñ. 3.8: Ðåçîíàíñíûå êðèâûå, ñîãëàñíî (3.2.13) äëÿ ïàðàìåòðîâ, èçîáðàæ¼ííûõ íà ðèñ. 3.6. Ñïðàâà òî æå âäðóãîì ìàñøòàáå. Ïî îñè àáñöèññ îòñòðîéêà îò ðåçîíàíñíîé ÷àñòîòû íàêà÷èâàåìîé ìîäûÎäíàêî, ñèãíàë äîëæåí áóäåò áûòü âûâåäåí èç ðåçîíàòîðà. Ïðè âûâîäå â âîëíîâîä ìîäû ñíîâà ïåðåìåøàþòñÿ, è â ðåçóëüòàòå ìû ïîëó÷èì êîëåáàíèå íà òð¼õ ÷àñòîòàõ â ìîäàõâîëíîâîäà. Ïåðåïèøåì åù¼ ðàç âûðàæåíèå äëÿ ïîëÿ ðåçîíàòîðà~ =EX −iωt iωRF−iωRFRe ~ej (~r) bj + a++ a−ej ej eX =Re ~ej (~r)bj eiωt +X −i(ω−ωRF )tRe ~ej (~r)a++j eX −i(ω+ωRF )tRe ~ej (~r)a−ej(3.2.16)Äîïóñòèì, âîëíîâîä îäíîìîäîâûé. Òîãäà âûõîäíîå ïîëå ïðåäñòàâèòñÿ â âèäåX Z −iωt iωRF−iωRF~ out =ERe~ej (~r) bj + a++ a−e~g dVj ej e=XRe Xjo bj eiωt +X −i(ω−ωRF )tRe Xjo a++j eX −i(ω+ωRF )tRe Xjo a−ej(3.2.17)85ãäå Xjo =R~ej (~r)~g (~r)dV êîýôôèöèåíòû ïåðåêðûòèÿ ìîä ðåçîíàòîðà ñ ìîäîé âîëíîâîäàñú¼ìà ~g (~r), àíàëîãè÷íî ìàòðèöå Xk , ââåä¼ííîé ðàíåå äëÿ ïîëÿ íàêà÷êè.

Íà ðèñóíêå 3.9 ïðèâåäåíû ÷àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè âûõîäíîãî ñèãíàëà â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî Xjo ∝ Xk−7x 101514ωω−ωRFωω−ωRF12ω+ωRFω+ωRF1010AA8654200−2−101ω/ωFSR234−1−0.500.5ω/ωFSR11.52Ðèñ. 3.9: Ðåçîíàíñíûå êðèâûå, ñîãëàñíî (3.2.17) äëÿ ïàðàìåòðîâ, èçîáðàæ¼ííûõ íà ðèñ. 3.6. Ñïðàâà òî æå âäðóãîì ìàñøòàáå. Ïî îñè àáñöèññ îòñòðîéêà îò ðåçîíàíñíîé ÷àñòîòû íàêà÷èâàåìîé ìîäûÑòîèò îòìåòèòü òàê æå, ÷òî â âûøåïðèâåä¼ííûõ ðàññóæäåíèÿõ èíäåêñû ïðåäñòàâëÿþòñîáîé íå àçèìóòàëüíûå ÷èñëà, à ïðîñòî ïîðÿäêîâûå íîìåðà ìîä.3.2.2.Ýëåêòðîîïòè÷åñêîå âçàèìîäåéñòâèåÝëåêòðîîïòè÷åñêèì ýôôåêòîì íàçûâàåòñÿ ÿâëåíèå èçìåíåíèÿ ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿñðåäû ïîä äåéñòâèåì ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ. Ýòîò ýôôåêò àíèçîòðîïåí è îáû÷íî îïèñûâàåòñÿâ òåðìèíàõ îïòè÷åñêîé èíäèêàòðèñû, êîòîðàÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ýëëèïñîèä, ïîñòðîåííûéíà îñíîâå îáðàòíîãî òåíçîðà äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè è ïîêàçûâàþùèé ïîêàçàòåëüb = 1.

Èçìåíåíèå äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèïðåëîìëåíèÿ äëÿ ïîëÿ â çàäàííîì íàïðàâëåíèè bBöàåìîñòè èìååò ñëåäóþùèé âèä∆Bij = rijk Ek ,(3.2.18)ãäå rijk ýëåêòðîîïòè÷åñêèé òåíçîð, Ek êîìïîíåíòû íèçêî÷àñòîòíîãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ. Îòìåòèì, ÷òî ýëåêòðîîïòè÷åñêèé òåíçîð, ââèäó ñèììåòðèè êðèñòàëëè÷åñêîé ðåø¼òêèðàññìàòðèâàåìîãî ìàòåðèàëà, îáû÷íî èìååò ìåíåå 27 íåçàâèñèìûõ êîýôôèöèåíòîâ è ìîæåò áûòü çàïèñàí â íîòàöèè Âîéòà. Ïåðåõîäÿ ê èçìåíåíèþ ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ ∆ij ≈−il rlmk Ek mj è èñïîëüçóÿ òåîðèþ âîçìóùåíèé, àíàëîãè÷íî [5], ïîëó÷èì îòíîñèòåëüíûé ñäâèã86÷àñòîòû ÌÌØÃδfm 1=fm2REqWGM∗ qi rijk EkRF jp EpWGM dVR WGM∗Ejjk EkWGM dV(3.2.19)ãäå δfm ñäâèã ÷àñòîòû îïòè÷åñêîé ìîäû ïîä íîìåðîì m (ñèãíàëüíîé), fm å¼ èñõîäíàÿ÷àñòîòà, EjWGM j -êîìïîíåíòà ìîäû (ðàñïðåäåëåíèÿ ïîëÿ), à ∗ êîìïëåêñíîå ñîïðÿæåíèå.Èíòåãðèðîâàíèå âåä¼òñÿ ïî îáëàñòè ñ ýëåêòðîîïòè÷åñêèì ìàòåðèàëîì (ÌÌØÃ) è ïî âñåìèíäåêñàì â ïðàâîé ÷àñòè âåä¼òñÿ ñóììèðîâàíèå.

Ñòîèò îòìåòèòü, ÷òî ôîðìóëà ñïðàâåäëèâàè â ñëó÷àå ìîäóëÿöèè â ñîñåäíþþ ìîäó“ , òî åñòü äëÿ ðàñ÷¼òà ñäâèãà ÷àñòîòû â ìîäå, îò”ëè÷íîé îò íàêà÷êè. Òîãäà EpWGM â ÷èñëèòåëå ïðèíàäëåæèò ìîäå íàêà÷êè, à âñå îñòàëüíûå ñèãíàëüíîé ìîäå. Îòìåòèì, ÷òî ýòà ôîðìóëà óæå áûëà ïîëó÷åíà ðàíåå (ñì. (3.2.4)) ïðèðàññìîòðåíèè îáùåé òåîðèè è îïðåäåëÿåò íå òîëüêî ñäâèã ÷àñòîòû, íî è àìïëèòóäó ìîäóëèðîâàííûõ êîìïîíåíò ñèãíàëà. Ýòó ôîðìóëó òàê æå ìîæíî çàïèñàòü ÷åðåç ýëåêòðè÷åñêîå~:ñìåùåíèå Dδω (1) 1=ω2RDiWGM∗ rijk EkRF DjWGM dV0 W WGM(3.2.20)ãäå DWGM∗ è W WGM êîìïëåêñíî-ñîïðÿæ¼ííîå ïîëå ýëåêòðè÷åñêîãî ñìåùåíèÿ è ïîëíàÿýíåðãèÿ (óäâîåííàÿ ýëåêòðè÷åñêàÿ) ñèãíàëüíîé ìîäû è DWGM ýëåêòðè÷åñêîå ñìåùåíèå ìîäû íàêà÷êè.

Òàêàÿ ôîðìóëèðîâêà áîëåå óäîáíà äëÿ ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ òèïà [90],òàê êàê ïîëó÷åíèå ýòîãî âåêòîðà èç ìîäåëè áîëåå ïðîñòîå. Ïðè ýòîì òàêæå èñ÷åçàåò òåíçîðäèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè, ñèëüíî óñëîæíÿþùèé àíàëèòè÷åñêèå ðàñ÷¼òû.Öèëèíäðè÷åñêàÿ ñèììåòðèÿÈíòåãðàë (3.2.19) ìîæíî óïðîñòèòü, èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà ìîä øåï÷óùåé ãàëåðåè è öèëèíäðè÷åñêîé ñèììåòðèè. À èìåííî, àçèìóòàëüíàÿ ÷àñòü ìîæåò áûòü ïðîèíòåãðèðîâàíà,òàê êàê ÌØà èìåþò èçâåñòíóþ ïðîñòóþ çàâèñèìîñòü ïî óãëó eimϕ , à âçÿâ ïîëå â âèäå~ = {Dρ , iDϕ , Dz } ìû ïîëó÷èì âñå àìïëèòóäû äåéñòâèòåëüíûìè [90].

Òàê æå íåîáõîäèìîDïîìíèòü î ïðåîáðàçîâàíèè âåêòîðíûõ êîìïîíåíò èç äåêàðòîâà (Dx , Dy , Dz ) â öèëèíäðè÷åñêèé âåêòîð (Dρ , Dϕ , Dz ). Ïîëó÷èì äëÿ ÷èñëèòåëÿ (3.2.19)ZcylWGMrlmnEnRF DlWGM∗ Dmrdrdz(3.2.21)SãäåcylrlmnZ=ΦCpl† rpqk Cqm Ckn eiM ϕ dϕ,(3.2.22)87è âñå âåêòîðà öèëèíäðè÷åñêèå. Çäåñü M = mp − ms + mRF , Ĉ ìàòðèöà ïåðåõîäà ê öèëèíäðè÷åñêèì êîîðäèíàòàì, çàâèñÿùàÿ îò àçèìóòàëüíîãî óãëà: cos ϕ − sin ϕ 0 Ĉ =  sin ϕ cos ϕ 0 001(3.2.23)Âåëè÷èíà eiM ϕ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðîèçâåäåíèå àçèìóòàëüíûõ çàâèñèìîñòåé ÌØà íàêà÷êè(àçèìóòàëüíîå ÷èñëî mp ), ñèãíàëüíîé (àçèìóòàëüíîå ÷èñëî ms ) è ðàäèî÷àñòîòíîé ìîäû. Ââèäó îáùåé öèëèíäðè÷åñêîé ñèììåòðèè çàäà÷è ëîãè÷íî ïîëîæèòü, ÷òî ðàäèî-ìîäà òàê æå èìååò àçèìóòàëüíóþ çàâèñèìîñòü â âèäå eimRF ϕ (îíè ìîãóò áûòü è ÌØà ïðè ñîîòâåòñòâóþùåìâûáîðå ðåçîíàòîðà).

Òîãäà êëàññè÷åñêèå ìîäû ðåçîíàòîðà ñ ñîñðåäîòî÷åííîé ¼ìêîñòüþ áóäóòèìåòü mRF = 0. Òàê æå òàêàÿ ôîðìà ïîçâîëèò ó÷åñòü ñëó÷àé øèðîêî èñïîëüçóåìîãî ìèêðîïîëîñêîâîãî ïîëóâîëíîâîãî ðåçîíàòîðà, àíàëîãè÷íîãî ðàçîìêíóòîé äâóïðîâîäíîé ëèíèè.Äëÿ ýòîãî ïðîñòî ïåðåîïðåäåëèì mRF →mRF,lϕãäå mRF ÷èñëî ðåçîíàíñíûõ âîëí íà äëèíåðåçîíàòîðà (ò.å. ïîëóöåëîå), lϕ óãëîâàÿ äëèíà ìèêðîïîëîñêà, ò.å. îòíîøåíèå åãî äëèíû êäëèíå îêðóæíîñòè ÌÌØÃ. Òîãäà îáëàñòü èíòåãðèðîâàíèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé Φ = [0; 2πlϕ ].Ñ÷èòàÿ ˆ äèàãîíàëüíûì (ìû âñåãäà ìîæåì ïîâåðíóòü ñèñòåìó êîîðäèíàò òàêèì îáðàçîì)ïîëó÷èìcylrlmn(M ) =3Xcylrlmnkk=−3sin(π(M + k)lϕ ) iπ(M +k)lϕe,π(M + k)(3.2.24)∗cylcylãäå rlmn−k = rlmnk ècylrlmn0000=π  r41 − r52 r42 + r5100r13 + r23 0r13 + r23 02r33 ,r42 + r510−(r41 − r52 )000(3.2.25)88cylrlmn1α1iα20α2iα104(r31 − ir32 ) i4(r31 − ir32 )0π ,=4 00i4(r−ir)5343 004(r53 − ir43 ) iα3α30(3.2.26)α1 = (3r11 − ir12 ) + 2(r62 − ir61 ) + (r21 − 3ir22 ),α2 = (r11 − 3ir12 ) − 2(r62 − ir61 ) + (3r21 − ir22 ),α3 = (r11 + ir12 ) + 2(r62 − ir61 ) − (r21 + ir22 ),cylrlmn2 0 00π =2  α4 −iα40000iα4α40(r13 − r23 − i2r63 ) −(r13 − r23 − i2r63 ) 0,00i(r13 − r23 − i2r63 )(3.2.27)(3.2.28)α4 = r41 + r52 − i(r42 − r51 ),cylrlmn3i 1 −1 −i 00π= ((r11 − ir12 ) − 2(r62 + ir61 ) − (r21 − ir22 )) 4 000 0i −1000000(3.2.29)89Îòìåòèì, òàê æå, ÷òî ðàñ÷¼ò ýíåðãèè ñ èñïîëüçîâàíèåì öèëèíäðè÷åñêèõ âåêòîðîâ òàê æå ìåíÿåòñÿ.

Çäåñü ñòîèò ïåðåéòè ê äåéñòâèòåëüíûì ïîëÿì D = {Dr cos(ωt); −Dφ sin(ωt); Dz cos(ωt)}.Äëÿ ýíåðãèè âíóòðè ïîëîñêîâîãî ðåçîíàòîðà ïîëó÷èìZ 2πlϕ ZZDj∗ −cylDj∗ Cjm −1jk Dkml Clk DkW =rdrdzdφ =rdrdz20200−cyljk−1 11πlϕ =2 +−12200−1−111 + 22000  sin πlϕ0 + 2−1233(3.2.30)−cyl2 1 (2lϕ2−m )−cyllϕ m1lϕ m−cyl1−cylm21−cyl(lϕ2 − 2m2 ) −cyllϕ m22(lϕ2−cyl2−1−1−1cos 2πa(−111 − 22 ) + sin 2πlϕ (12 + 21 )= cos πlϕlϕ2 − m2−cyl=2(3.2.32)−1−1−1cos πlϕ (−113 + 31 ) + sin πlϕ (23 + 32 )lϕ2 − 4m2(3.2.33)ãäå m àçèìóòàëüíîå ÷èñëî ðàññìàòðèâàåìîé ìîäû, −1ij ýëåìåíòû îáðàòíîé ìàòðèöû äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè (èíäèêàòðèñû).Òàêèì îáðàçîì ìû âèäèì, ÷òî â ñëó÷àå öèëèíäðè÷åñêèõ ðåçîíàòîðîâ èëè çàìêíóòîãîcylêîëüöåâîãî ìèêðîïîëîñêà rlmn(M ) 6= 0 òîëüêî â ñëó÷àå åñëè M ðàâíî 0, ±1, ±2, ±3.

 íèîáàòåëèòèÿ (LiNbO3 ), ãäå 11 = 22 èrijk0r12 r13 0 −r12 r13 00r33 =0r420r4200r1200(3.2.34)ââèäó âíóòðåííèõ ñèììåòðèé, rcyl1 è rcyl2 çàíóëÿþòñÿ, à äîïóñòèìûìè M îñòàþòñÿ òîëüêî0, ±3. ÷àñòíîñòè, â ¼ìêîñòíîé êîíôèãóðàöèè (íèçêî÷àñòîòíîå ïîëå âåðòèêàëüíî), ïðè ñîâïàäåíèè îñè ðåçîíàòîðà z ñ îñüþ êðèñòàëëà, ìîæíî ïîëó÷èòü äëÿ ìîäóëÿöèè â ïðåäåëàõïîëîñû ðåçîíàíñà ïðîñòîå âûðàæåíèåR0 3 |EzWGM |2 rdrdzδfm13 r33RF= 1 r13 E1+−1.fm21 r132W WGM− 2m ) −cyl2 lϕ m0(3.2.31)−cyl12(3.2.35)Èç ýòîé ôîðìóëû ìîæíî ñäåëàòü âûâîä îá îòíîøåíèè ýôôåêòèâíîñòè ìîäóëÿöèè äëÿ TE èÒÌ ìîä. Äåéñòâèòåëüíî, â TE ìîäàõ ïîëå â îñíîâíîì ñîñðåäîòî÷åíî â âåðòèêàëüíîé êîìïî-90íåíòå è |EzWGM |2 ≈ |E WGM |2 , â òî âðåìÿ êàê â TM ìîäå |EzWGM |2 ≈ 0, ÷òî ïîçâîëÿåò ñîêðàòèòüèíòåãðàëû â ïðàâîé ÷àñòè.

Характеристики

Список файлов диссертации