Диссертация (1102364), страница 12
Текст из файла (страница 12)
×àñòíîå ðåøåíèåìîæíî çàïèñàòü â ôîðìåuρ = u? , uz =β 2ff(ρ − R2 ), Ts = −, T =−22C0 β4Gβ(2.2.18)ãäå R ðàäèóñ ïëàñòèíû. Îáùåå ðåøåíèå ïîëó÷àåòñÿ èç ñèñòåìûT̈Dz (Dz uρ + Dρ uz )= C0= C1Tsρc uρ(2.2.19)T̈Dρ (Dz uρ + Dρ uz ) + (Dz uρ + Dρ uz )/ρ= C0= C1Tsρc uz(2.2.20)0 = (C − 1)((C + 1)Dρ uρ + uρ /ρ)(2.2.21)63Èñïîëüçóÿ âòîðîå ðàâåíñòâî (2.2.13) ïîëó÷èì óðàâíåíèå äëÿ âðåìåííîé ÷àñòè ðåøåíèÿ.G1 ... 102−k (1 + G/G )Ṫ + T =(2.2.22)T + T̈ ,η2G02ηãäå k 2 ïàðàìåòð ðàçäåëåíèÿ.
Òî÷íîå çíà÷åíèå ýòîé êîíñòàíòû çàâèñèò îò ðåøåíèÿ êîîðäèíàòíîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ.  îáùåì ñëó÷àå ýòî âîëíîâîå ÷èñëî è ïî íåìó áóäåò ïðîèçâîäèòüñÿðàçëîæåíèå íà ìîäû. Îäíàêî, êàê ïîêàçàíî äàëåå, ýòî íå íóæíî äëÿ íàõîæäåíèÿ íåîáõîäèìûõ íàì îáùèõ ïîñòîÿííûõ âðåìåíè. Ñîîòâåòñòâóþùåå õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå èðåøåíèå äëÿ îáú¼ìíîé ÷àñòè ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî ôîðìàëüíîé çàìåíîé G → K è η → ζ .Òàêèì îáðàçîì, âðåìåííàÿ ÷àñòü ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ýêñïîíåíòû è ïîëíîå ðåøåíèå ôîðìèðóåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîìZuz =Uj (k)uz (k, ~r)e−iγj (k)t −fρ2 − R 28G(2.2.23)ãäå êîýôôèöèåíòû Uj (k) îïðåäåëÿþòñÿ èç ãðàíè÷íûõ óñëîâèé, γj íóëè ñîîòâåòñòâóþùåãî2.2.22 êóáè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ. Èñïîëüçóÿ ïðèáëèæåíèå áîëüøîé âÿçêîñòè ìîæíî íàéòèGG0η(G + G0 )√G02± ik G + G0γ± = −02η(G + G )(2.2.24)γ0 = −(2.2.25)à òàê æå êîýôôèöèåíòû ïðîïîðöèîíàëüíîñòè äëÿ Ui (k).
Òàêîå äâèæåíèå áóäåò ïðåäñòàâëÿòü√G02èç ñåáÿ ñóììó ýêñïîíåíöèàëüíî çàòóõàþùèõ (− 2η(G+GG + G0 ,0 ) ) êîëåáàíèé ñ ÷àñòîòàìè k0GGîêîëî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, äâèãàþùåãîñÿ ïî ýêñïîíåíòå − η(G+G0 ) ê ïîëîæåíèþ ðàâíîâåñèÿ∝ρgR24G(ñì. ðèñ.2.10).1.41.2u/umax10.80.6u1−exp0.4γ−100.2Re[γ±]−10Im[γ±]−100.511.5γ0t, π22.53Ðèñ. 2.10: Îáùèé âèä âðåìåííîãî ðåøåíèÿ ïðè Re γ± = 0.2γ0 , Im γ± = 8γ0 ñëó÷àå ìîäåëè Ìàêñâåëëà îäíî èç ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ñòàíåò ðàâíûì íîëþ, è(2.2.13) íå ïîçâîëèò âçÿòü ÷àñòíîå ðåøåíèå â âèäå (2.2.18). Ïîýòîìó íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü64A, íìγ −1 , ãîät0 , ãîäÎøèáêà, %12.4 ± 4.97.1 ± 8.81992.6 ± 3.22.413.19.1 ± 0.91992.3 ± 0.82.31614.3 ± 1.71991 ± 1.22.92021.4 ± 31990 ± 1.53.4Òàáëèöà 2.3: Ðåçóëüòàòû àïïðîêñèìàöèé äàííûõ [60, 65]. Îòñóòñòâèå ïîãðåøíîñòè îçíà÷àåò, ÷òî âåëè÷èíàôèêñèðîâàëàñü ïðè ðàñ÷¼òå.ft.
Òîãäà ïîëó÷èì âìåñòî ýêñïîíåíöèàëüíîãî ñòðåìëåíèÿ ê ðàâíîâåñèþ, ëèíåéíûéT = − 4ηβóõîä íà áåñêîíå÷íîñòü ñî ñêîðîñòüþ ∝ρgR2.4ηÊàê ïîêàçàíî â [65, 66] ïðîãèá êâàðöåâîé ïëàñòèíû àïïðîêñèìèðóåòñÿ ýêñïîíåíöèàëüíîé ôóíêöèåé A(1 − exp(γ(t − t0 )) ñ îòíîñèòåëüíîé îøèáêîé 2.4%. Ìû äåëàåì íåî÷åâèäíîåïðåäïîëîæåíèå, ÷òî èçìåðåííûé ïðîãèá, à çíà÷èò è åãî ïîñòîÿííàÿ âðåìåíè, îïðåäåëÿåòñÿ ñäâèãîâîé ÷àñòüþ ïðîöåññà. ×èñëåííî ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî îáú¼ìíàÿ ÷àñòü íàêàïëèâàåòáîëüøå ýíåðãèè ïðè äåôîðìàöèè. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, îöåíèâàåìîé íàáëþäàåìîé ÿâëÿëîñüRRâåðòèêàëüíîå ñìåùåíèå öåíòðà ïëàñòèíû, ïðåäñòàâèìîå â âèäå thickness εzz dz + radius ερz dρ.Èç ýòîãî ñëåäóåò, ÷òî âêëàä ñäâèãîâîé ÷àñòè ðàñò¼ò ñ óâåëè÷åíèåì ðàäèóñà äèñêà, ÷òî âíàøåì ñëó÷àå äîëæíî ïðèâåñòè ê å¼ äîìèíèðîâàíèþ.Ïàðàìåòðû A è γ −1 ýêñïîíåíöèàëüíîé àïïðîêñèìàöèè îïðåäåëåíû íå òî÷íî (40% è 111%îòíîñèòåëüíîé îøèáêè ïðè 95% óâåðåííîñòè).
Ðåçóëüòàòû àïïðîêñèìàöèé ïðåäñòàâëåíû âòàáëèöå 2.3.Îäíàêî, â ñòàòüå [66] èññëåäîâàëèñü åù¼ äâå ïëàñòèíû, äâèæåíèå êîòîðûõ óæå ïðàêòè÷åñêè çàêîí÷èëîñü (ñäâèã çà äâà ãîäà ñîñòàâèë ìåíüøå ïðåäåëà òî÷íîñòè 0.5 íì). Ïðåäïîëîæèâ, ÷òî íàáëþäàâøèéñÿ äëÿ ýòîé ïëàñòèíû ïðîãèá ≈ 35 íì ÿâëÿåòñÿ îêîí÷àòåëüíûìðàâíîâåñèåì, ïîëó÷èì îöåíêó äëÿ ìîäóëÿ ñäâèãà G = 2.97 ÃÏà. Òîãäà èìåÿ ñêîðîñòü çâóêàêàê ôóíêöèþ G è G0 , ìîæíî îïðåäåëèòü G0 è η .652.2.3.Çàòóõàíèå çâóêàÂûðàæåíèÿ (2.2.11)-(2.2.12) ïîçâîëÿþò ïåðåïèñàòü ñêîðîñòè çâóêîâûõ âîëí ñ ó÷¼òîìâÿçêîñòè.vl23K + 4Gωζ + iK 0ωη + iG000=+ω K ζ+ 4G η3ρρ(K 02 + ω 2 ζ 2 )3ρ(G02 + ω 2 η 2 )Gωη + iG0vt2 = + ωηG0.ρρ(G02 + ω 2 η 2 )(2.2.26)(2.2.27)Îáîçíà÷èì v 2 äåéñòâèòåëüíóþ è µω ìíèìóþ ÷àñòè ñêîðîñòåé.  çàâèñèìîñòè îò ñîîòíîøåíèÿäåéñòâèòåëüíîé è ìíèìîé ÷àñòåé âîçìîæíî äâà âàðèàíòà äèñïåðñèîííîãî óðàâíåíèÿωω ωµ−ivv 2vr2rωω−ik=2µ2µk=ωµ v 2(2.2.28)ωµ v 2(2.2.29)Êâàäðàò ñêîðîñòè ïîïåðå÷íîé âîëíû èìååò îäèí ìèíèìóì äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòè â íóëå, âûñîòîéG,ρà ó ìíèìîé ÷àñòè îäèí ìàêñèìóì (àíòèñèììåòðè÷íûé) âG0,ηâûñîòîéG0.2ρÊâàäðàòñêîðîñòè ïðîäîëüíîé âîëíû òàê æå èìååò îäèí ìèíèìóì äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòè â íóëå, îäíàêî ìíèìàÿ ÷àñòü â îáùåì ñëó÷àå èìååò äâà ìàêñèìóìà (â ðàéîíåäèñïåðñèé ïðèâåäåíû íà ðèñ.2.11.
(2.2.28)) íàõîäèòñÿ â ðàéîíå78K0ζG0ηèK0).ζÒèïè÷íûå ôîðìû.8x 102x 1071.56124c , (m/s)30.52c2, (m/s)252010real L wavereal T waveimag L waveimag T wave−1−2−1.5−1−0.50f,Hz0.51real L wavereal T waveimag L waveimag T wave−0.5−1−1.51.5−7x 10−1−0.50f,Hz0.511.5−7x 10Ðèñ. 2.11: Äèñïåðñèÿ äåéñòâèòåëüíîé è ìíèìîé ÷àñòåé êâàäðàòà ñêîðîñòè çâóêà äëÿ ïàðàìåòðîâ ïëàâëåíîãîêâàðöà (ñëåâà) è àáñòðàêòíîãî âåùåñòâà ñ óâåëè÷åííîé â 11 ðàç îáú¼ìíîé âÿçêîñòüþ è â ïÿòü ðàç G0 , K 0(ñïðàâà). Ñêîðîñòü ïðîäîëüíûõ êîëåáàíèé ïîêàçàíà êðàñíûì, ïîïåðå÷íûõ ñèíèì.Äëÿ ïîïåðå÷íîé âîëíû ìîæíî ñòðîãî ïîêàçàòü, ÷òî ïåðâûé âàðèàíò (2.2.28) ðåàëèçóåòñÿ√âñåãäà ïðè G0 < 2(1+ 2)G, è îáëàñòü ñóùåñòâîâàíèÿ ñëó÷àÿ (2.2.29) íàõîäèòñÿ ìåæäó âáëèçèíîëÿ äî çíà÷åíèé ÷àñòîòû ïîðÿäêàG0.ηÄëÿ ïðîäîëüíîé âîëíû òî÷íûå çíà÷åíèÿ ïîëó÷èòüçàòðóäíèòåëüíî, îäíàêî ñèòóàöèÿ ñõîäíàÿ è òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ (ïîñëå êîòîðîé ðåàëèçóåòñÿîáû÷íàÿ äèñïåðñèÿ) ëåæèò âáëèçè ìàêñèìóìàK0.ζ66Òàêèì îáðàçîì íà âûñîêèõ ÷àñòîòàõ ñêîðîñòè çâóêà vl2 =3(K+K 0 )+4(G+G0 )3ρè vt2 =G+G0,ρà âÿçêîå çàòóõàíèå îòñóòñòâóåò.
Èìåÿ ñêîðîñòü ïîïåðå÷íîãî óëüòðàçâóêà ïðè íîðìàëüíûõóñëîâèÿõ (T = 297 Ê) vt = 3760 ì/ñ è èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàòû ïðåäûäóùåãî ïóíêòà, ïîëó÷èììîäóëü ñäâèãà G0 = 28.1 ÃÏà è âÿçêîñòü η = 12 × 1017 Ïà·ñ. Îáú¼ìíûå ïàðàìåòðû ïîëó÷èòüèñõîäÿ èç èìåþùèõñÿ äàííûõ íå óäàåòñÿ. Òàê æå ñòîèò îòìåòèòü, ÷òî âòîðîé ìîäóëü ñäâèãàíà ïîðÿäîê áîëüøå ïåðâîãî. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ïëàâëåíûé êâàðö íà âðåìåíàõ ìåíåå 15 ëåòïîä÷èíÿåòñÿ ìîäåëè Ìàêñâåëëà.2.2.4.Ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü øóìàÏîäñòàâëÿÿ ôîðìóëû (2.2.11)-(2.2.12) â (2.2.2)-(2.2.4) è (2.2.1) ïîëó÷èì ñïåêòðàëüíûåïëîòíîñòè øóìîâ02024kB T14K42 24 G√Ss =,vt+ (3vl − 6vl vt + 4vt )ω 2 4 πw(vl2 − vt2 )2 vt4 ρ2ζ3η 02Kj4G024kB T X |βj |2 dj 1jcSj =+,2 v 4 ρ2ω2πwζ3ηjjjljj"X djρ (v 2 − vt2j ) K 02 G0214kTB2 2 j ljs−2vlj vtj 3 2+Sj =ω2πw2 vl4j (vl2 − vt2 )2ρ (vl − vt2 )ζ3ηjG02Kj021j42 244+ (3vlj − 6vtj vlj + 4vtj )+ 2 vtj.ρζj3ηj(2.2.30)(2.2.31)(2.2.32)Çäåñü vl vt ñêîðîñòè ïðîäîëüíîé è ïîïåðå÷íîé âîëí äëÿ ïîäëîæêè è j -ãî ñëîÿ, G0 K 0 ìîäóëè ñäâèãà è îáú¼ìà äëÿ ïîäëîæêè è j -ãî ñëîÿ, η ζ ñäâèãîâàÿ è îáú¼ìíàÿ âÿçêîñòèïîäëîæêè è j -ãî ñëîÿ, ρ ïëîòíîñòè ñëî¼â.Äàííûå îá îáú¼ìíîé âÿçêîñòè, êàê âïðî÷åì è îá îòíîøåíèè îáú¼ìíûõ ìîäóëåé ñæàòèÿ, îòñóòñòâóþò.
 ðàáîòå [67] äà¼òñÿ ñîîòíîøåíèå îáú¼ìíîé è ñäâèãîâîé âÿçêîñòè, íî îíîïîëó÷åíî èñõîäÿ èç ìîäåëè Êåëüâèíà-Âîéòà è ïðåäïîëîæåíèÿ, ÷òî çàòóõàíèå óëüòðàçâóêàâûçâàíî âÿçêîñòüþ. Âûøå áûëî ïîêàçàíî, ÷òî îáà ïðåäïîëîæåíèÿ íå âåðíû. Ïîýòîìó ÷èñëåííûå îöåíêè ìîæíî äàòü òîëüêî äëÿ ñäâèãîâîé ÷àñòè øóìà.Ãðàôèêè ñïåêòðàëüíûõ ïëîñêîñòåé äëÿ øóìà ïîäëîæêè è ïîêðûòèÿ (ñ ïàðàìåòðàìè(1.2)) ïîñòðîåíû íà ðèñóíêå 2.12(ñëåâà) âìåñòå ñî ñòàíäàðòíûìè áðîóíîâñêèìè øóìàìè LIGOèç GWINC. ×àñòü øóìà, îáóñëîâëåííîãî ïîêðûòèåì, íà íåñêîëüêî ïîðÿäêîâ íèæå áðîóíîâñêèõ øóìîâ âñëåäñòâèå ìàëîé òîëùèíû. Ýòîé ÷àñòüþ ìîæíî ïðåíåáðå÷ü, åñëè âÿçêîñòü òàíòàëà ìåíüøå âÿçêîñòè ïëàâëåíîãî êâàðöà íå áîëåå ÷åì íà ïÿòü ïîðÿäêîâ (ñì.
2.12 ñïðàâà).Âÿçêèé øóì ïîäëîæêè ïðåîáëàäàåò íàä áðîóíîâñêèìè øóìàìè ïîäëîæêè íà ÷àñòîòàõ ìåíåå7 Ãö. Ñòîèò îòìåòèòü, ÷òî ïðè èñïîëüçîâàíèè çíà÷åíèÿ âÿçêîñòè èç [66] òî÷êà èõ ïåðåñå-671010 -16ПодложкаПокрытиеБ-подложкаБ-покрытие-20η)SПокрытие ηS)Подложка ηl )10 -18Покрытие ηl )Подложка ηh)1/21/2Покрытие η )hБ-подложкаБ-покрытие10 -20S1/2 , /S1/2 , /10-2210 -2210 -2410 -2410 -2610 010 110 210 310 -10f,Ðèñ. 2.12:Ñëåâà:10 0η, η010 10сÑïåêòðàëüíûå ïëîòíîñòè áðîóíîâñêèõ è âÿçêèõ øóìîâ äëÿ ïàðàìåòðîâ LIGO. Ïðè îöåíêåâÿçêîãî øóìà â ïîêðûòèè øóì îêñèäà òàíòàëëà íå ó÷èòûâàëñÿ.Ñïðàâà:Ñïåêòðàëüíûå ïëîòíîñòè áðîóíîâ-ñêèõ è âÿçêèõ øóìîâ íà 100 ÃÖ â çàâèñèìîñòè îò âÿçêîñòåé ïîäëîæêè ηS , êâàðöà ηl è îêñèäà òàíòàëà ηh âåäèíèöàõ η0 = 12 × 1017 Ïà·ñ. Äëÿ êàæäîé êðèâîé âñå ïðî÷èå âÿçêîñòè ñ÷èòàëèñü ðàâíûìè η0 .
Êðèâûå äëÿøóìà ïîäëîæêè íå çàâèñÿò îò âÿçêîñòåé ñëî¼â è ñîâïàäàþò. Äëÿ ñðàâíåíèÿ ïóíêòèðîì ïîêàçàíû áðîóíîâñêèåøóìû ïîäëîæêè è ïîêðûòèÿ.÷åíèÿ ñìåñòèëàñü áû íà ñòî ãåðö öåíòðàëüíóþ ÷àñòîòó êðèâîé ÷óâñòâèòåëüíîñòè LIGO.Ïîýòîìó ïîëó÷åíèå áîëåå òî÷íûõ îöåíîê âÿçêîñòè íåîáõîäèìî.  òî æå âðåìÿ âÿçêèé øóìíå ïðåäñòàâëÿåò óãðîçû äëÿ ïðîåêòà ïîêà íå áóäåò ñóùåñòâåííî ñíèæåí áðîóíîâñêèé øóìïîêðûòèÿ, ÿâëÿþùèéñÿ ïîêà íàèáîëüøèì.Ñòîèò òàêæå îòìåòèòü, ÷òî íà äàííûé ìîìåíò íåò äàííûõ î âÿçêîñòè â òîíêèõ ïë¼íêàõ îêñèäà êðåìíèÿ è îêñèäà òàíòàëëà (íàïðèìåð ïîòåðè â ïëàâëåíîì êâàðöå è åãî òîíêèõïë¼íêàõ ðàçëè÷àþòñÿ íà òðè ïîðÿäêà, ÷òî ïðèâîäèò ê ïðåâîñõîäñòâó Áðîóíîâñêîãî øóìà ïîêðûòèÿ íàä âñåìè îñòàëüíûìè è äåëàåò åãî ãëàâíûì îãðàíè÷åíèåì ÷óâñòâèòåëüíîñòè LIGO).Õîòÿ äàæå åñëè âÿçêèå ïîòåðè âîçðàñòóò íà òðè ïîðÿäêà, êàê ýòî áûëî ñ áðîóíîâñêèì øóìîì, âÿçêèé øóì ïîêðûòèÿ íå äîãîíèò âÿçêèé øóì ïîäëîæêè.
Òàê æå çàìåòèì, ÷òî âÿçêîñòüñòîèò â çíàìåíàòåëå, ÷òî ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî å¼ óâåëè÷åíèå ïðèâåä¼ò ê ñíèæåíèþ øóìà.Ýòî ïîçâîëÿåò óòâåðæäàòü, ÷òî ñíèæåíèå òåìïåðàòóðû äîëæíî áûòü ýôôåêòèâíûì ñïîñîáîìñíèæåíèÿ äàííîãî òèïà øóìîâ(âÿçêîñòü îáû÷íî ðàñò¼ò ïðè ñíèæåíèè òåìïåðàòóðû).2.3.Èòîãè ãëàâû 2 ãëàâå áûëè ïðîàíàëèçèðîâàíû øóìû ñâÿçàííûå ñ àìîðôíîé ïðèðîäîé ïîäëîæêè.Ñòåêëîîáðàçíîå ñîñòîÿíèå âåùåñòâà íåäîñòàòî÷íî èññëåäîâàíî è ìíîãèå âàæíûå ïàðàìåòðûíå îïðåäåëåíû èëè îáëàäàþò ñèëüíîé çàâèñèìîñòüþ îò ñîñòàâà è ïðåäûñòîðèè îáðàçîâàíèÿ68îáðàçöà. Òàê îïðåäåë¼ííûå ðàçíûìè ýêñïåðèìåíòàòîðàìè ðàçíîñòè âíóòðåííèõ ýíåðãèé ñòåêëîîáðàçíîãî è êðèñòàëëè÷åñêîãî ñîñòîÿíèÿ ðàçëè÷àþòñÿ â äâà-òðè ðàçà, óãîë ìåõàíè÷åñêèõïîòåðü â çàâèñèìîñòè îò ïðîèçâîäèòåëÿ íà ïîðÿäêè, à èçìåðåííàÿ â îïèñàííûõ ýêñïåðèìåíòàõ âÿçêîñòü ìåíüøå ïðåäñêàçûâàåìûõ òåîðèåé íà 15 ïîðÿäêîâ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
