Диссертация (1102364), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Ýòî óêàçûâàåò íàòî, ÷òî ìû ïðîèçâåëè îöåíêó, ïî êðàéíåé ìåðå, âåðõíåãî ïðåäåëà øóìà. Òàê êàê ýòà îöåíêà58AdvLIGOм= 125.0 тРастяжениеГцШумы подвесовБроуновский шум покрытияБроуновский шум подложкиПолный шумПолзучесть горизонт.)Ползучесть (верт.)РасстеклованиеЧастота ГцÐèñ. 2.8: Øóìû ïîëçó÷åñòè ïîäâåñà èç [35] ïðè èñïîëüçîâàíèè ïëîòíîñòè ÷àñòîòû ðàññòåêëîâàíèÿ (2.1.23) èøóì ðàññòåêëîâàíèÿ (2.1.24) â çåðêàëàõ âìåñòå ñ îñòàëüíûìè øóìàìè Advanced LIGO.ëåæèò íà óðîâíå â 2 × 105 ðàç ìåíüøåì, ÷åì óæå ó÷ò¼ííûå øóìû ïîäâåñîâ è Áðîóíîâñêèåøóìû, ýòîãî âïîëíå äîñòàòî÷íî äëÿ çàêëþ÷åíèÿ, ÷òî äàííûå øóìû íèêàê íå ïîâëèÿþò íà÷óâñòâèòåëüíîñòü LIGO.2.2.Øóìû âÿçêîñòèÂñïîìíèì ìåòîä ðàñ÷¼òà òåïëîâûõ øóìîâ, èñïîëüçîâàííûé íàìè äëÿ ïîëó÷åíèÿ ñïåê-òðàëüíûõ ïëîòíîñòåé øóìîâ (1.2.48) çåðêàëà.
ÔÄÒ óòâåðæäàåò, ÷òî èñòî÷íèê äèññèïàöèèâ ñèñòåìå ÿâëÿåòñÿ òàê æå èñòî÷íèêîì ôëóêòóàöèé. Ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü øóìà áûëàïðåäñòàâëåíà â âèäåS(ω) =4kB TIm[α̃s (ω) + α̃jc (ω) + α̃js (ω)],ω(2.2.1)ãäå ω ÷àñòîòà, kB ïîñòîÿííàÿ Áîëüöìàíà, T òåìïåðàòóðà, α̃s äèíàìè÷åñêàÿ âîñïðèèì÷èâîñòü ïîäëîæêè, α̃jc (ω) and α̃js (ω) âîñïðèèì÷èâîñòè ïîêðûòèÿ è íàâåä¼ííàÿ ïîêðûòèåìäîáàâêà ê âîñïðèèì÷èâîñòè ïîäëîæêè. Âûïèøåì åù¼ ðàç ýòè òðè ôîðìóëû1 1 − νs2α̃s (ω) = √,πw YsX βj0 dj (1 + νj )(1 − 2νj )α̃jc (ω) =,2πwY(1−ν)jjjα̃js (ω) =Xj−djYj (1 + νs )2 (1 − 2νs )2,πw2 1 − νj2Ys2(2.2.2)(2.2.3)(2.2.4)ãäå w øèðèíà ãàóññîâîãî ïó÷êà íà ïîâåðõíîñòè çåðêàëà, Ys è νs ìîäóëü þíãà è êîýôôèöèåíòÏóàññîíà ïîäëîæêè, Yj è νj ïàðàìåòðû j -ãî ñëîÿ ïîêðûòèÿ, dj è βj òîëùèíà è èíòåðôåðî-59ìåòðè÷åñêèé êîýôôèöèåíò j -ãî ñëîÿ ïîêðûòèÿ (1.2.34).
Äàëåå ïîòåðè ââîäÿòñÿ â ôîðìóëûïóò¼ì ââåäåíèÿ óãëà ïîòåðü Y → Y (1 − iφ(ω)).Ñóùåñòâóåò íåñêîëüêî ìîäåëåé, ïîçâîëÿþùèõ îïèñàòü óãîë ïîòåðü òåîðåòè÷åñêè[57, 58]è ôåíîìåíîëîãè÷åñêè [59]. Âÿçêîñòü, î÷åâèäíî, îòíîñèòñÿ ê äèññèïàöèè.  ïîñëåäóþùèõðàçäåëàõ áóäåò ïîêàçàíî, ÷òî âÿçêîñòü ìîæåò áûòü ââåäåíà ÷åðåç ÷àñòîòíî-çàâèñèìûé óãîëïîòåðü, ïîðîæäàÿ ñîîòâåòñòâóþùèé øóì ïî ôëóêòóàöèîííî-äèññèïàöèîííîé òåîðåìå.2.2.1.ÂÿçêîñòüÇåðêàëî ñîñòîèò èç ïëàâëåíîãî êâàðöà âåùåñòâà â ñîñòîÿíèè ñòåêëà. Êàê ãîâîðèëîñüðàíåå, ñòåêëî òâ¼ðäîå âåùåñòâî, íå ñóìåâøåå êðèñòàëëèçîâàòüñÿ âñëåäñòâèå áîëüøîé âÿçêîñòè.
 ãèäðîäèíàìèêå âÿçêîñòü ââîäèòñÿ äîáàâëåíèåì â óðàâíåíèå Íàâüå-Ñòîêñà òåíçîðàâÿçêîñòèvσik∂vi∂vk 2 ∂vl∂vl=η+− δik+ ζδik,∂xk ∂xi 3 ∂xl∂xl(2.2.5)ãäå η äèíàìè÷åñêàÿ âÿçêîñòü è ζ îáú¼ìíàÿ âÿçêîñòü, ~v ñêîðîñòü ÷àñòèö, êîòîðàÿ ïîñóòè ÿâëÿåòñÿ ñêîðîñòüþ ñìåùåíèÿ. Ýòî âûðàæåíèå âûãëÿäèò êàê çàêîí Ãóêà â òåðìèíàõñäâèãîâîãî (G =Y)2(1+ν)è îáú¼ìíîãî (K =Y)3(1−2ν)ìîäóëÿσik = 2Gik + (K − 2G/3)δik ll(2.2.6)ñ òî÷íîñòüþ äî çàìåíû èõ íà ñîîòâåòñòâóþùèå âÿçêîñòè è òåíçîðà äåôîðìàöèè ˆ íà åãîïðîèçâîäíóþ ïî âðåìåíè.
Òàêèì îáðàçîì, ïðè ïåðåõîäå ê ÷àñòîòíîìó ïðåäñòàâëåíèþ ââîäâÿçêîñòè ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí êîìïëåêñíûì ÷àñòîòíî-çàâèñèìûì äîáàâêîì ê ìàòåðèàëüíûì ïàðàìåòðàì∂= K + iωζ∂t∂G → G + η = G + iωη∂tK →K +ζ(2.2.7)(2.2.8)Îäíàêî ïîäîáíàÿ òåîðèÿ ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî ïðè âûñîêîé âÿçêîñòè (â ëèòåðàòóðå âñòðå÷àåòñÿ îò 1017 äî 1035 [60, 61, 62, 63]) äàæå íà íèçêèõ ÷àñòîòàõ (≈ G/η ∝ 10−7 Ãö) äâèæåíèåáóäåò îïðåäåëÿòüñÿ âÿçêîñòüþ, à íå óïðóãîñòüþ. Òî åñòü ñêîðîñòü ïðîäîëüíûõ âîëí çâóêà q4ωρvl2 = 3K+4G+iωζ+ηèìååòáîëüøóþìíèìóþ÷àñòü,àçàêîíäèñïåðñèèk=(1−i),332η÷òî íå ñîîòâåòñòâóåò äåéñòâèòåëüíîñòè. Ýòî çíà÷èò, ÷òî íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü äðóãóþìîäåëü óïðóãîñòè.60Ñòàíäàðòíàÿ ëèíåéíàÿ óïðóãîñòüÁîëåå ïîëíàÿ îáùåïðèíÿòàÿ ìîäåëü óïðóãîñòè íàçûâàåòñÿ Ñòàíäàðòíàÿ ëèíåéíàÿ óïðóãîñòü (Standard linear solid).
ż ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ýëåìåíòàðíîé êëåòêè“ , ñîñòîÿùåé”èç ïðóæèíû äàëüíåãî ïîðÿäêà“ è ïðóæèíû áëèæíåãî ïîðÿäêà“ ñ âÿçêèì òðåíèåì (ðèñ. 2.9).””YY'ηÐèñ. 2.9: Ýëåìåíòàðíàÿ êëåòêà“ ñòàíäàðòíîé ëèíåéíîé óïðóãîñòè.”Ïðóæèíà äàëüíåãî ïîðÿäêà èìååò ìåäëåííûé (ñòàòè÷åñêèé) ìîäóëü Þíãà Y è îïðåäåëÿåò ðåàêöèþ íà ñòàòè÷åñêóþ íàãðóçêó, à ïðóæèíà áëèçêîãî ïîðÿäêà áûñòðûé (äèíàìè÷åñêèé) ìîäóëü Þíãà Y 0 è âÿçêîñòü η .
Ïðè ýòîì îòêëèê íà ïåðåìåííóþ íàãðóçêó îïðåäåëÿåòñÿîáîèìè ìîäóëÿìè. Ýòî ïðèâîäèò ê ñëåäóþùåìó èçìåíåíèþ çàêîíà Ãóêàσ+Y +Y0ησ̇=Yε+ηε̇Y0Y0èëè â òåíçîðíîé ôîðìå (âûðàæåíèÿ (2.2.6))GG1 K G1 KG1 + 0 ε̇ +−−trε̇ + ε +trε =G3 K 0 G0η3 ζησ̇111σ1 11+−trσ̇ ++−trσ2G0 3 3K 0 2G02η 3 3ζ 2ηãäå èíäåêñûij(2.2.9)(2.2.10)ó òåíçîðà íàïðÿæåíèÿ σ è äåôîðìàöèè ε, íàðÿäó ñ äåëüòà-ôóíêöèåé δij ïåðåäñëåäîì tr îïóùåíû äëÿ óïðîùåíèÿ âîñïðèÿòèÿ.
Äëÿ òâ¼ðäûõ òåë ÷àñòî ïðèìåíÿþò ìîäåëüÊåëüâèíà-Âîéòà, â êîòîðîé âòîðàÿ ïðóæèíà çàìåíÿåòñÿ íà æ¼ñòêîå êðåïëåíèå G0 , K 0 → ∞.Ïåðâàÿ ïðóæèíà ïðè ýòîì ãàðàíòèðóåò öåëîñòíîñòü òâ¼ðäîãî òåëà îãðàíè÷åííîñòü äåôîðìàöèé. Îäíàêî, ïðè áîëüøîé âÿçêîñòè ñâîéñòâà ñèñòåìû ïðè êðàòêîâðåìåííûõ âîçäåéñòâèÿõîïðåäåëÿþòñÿ ñêîðåå âÿçêîñòüþ.Äðóãèì âàæíûì ÷àñòíûì ñëó÷àåì ÿâëÿåòñÿ ïðåäåë G, K → 0 (íàçûâàåìûé ìîäåëüþÌàêñâåëëà), êîãäà îòñóòñòâóåò ïåðâàÿ ïðóæèíà. Ïðè ýòîì òåëî ìîæåò áåñêîíå÷íî ðàñòÿãèâàòüñÿ, ÷òî õàðàêòåðíî äëÿ æèäêîñòåé. Ñòîèò çàìåòèòü, îäíàêî, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ïðè áîëüøîé âÿçêîñòè ñâîéñòâà ñèñòåìû ïðè êðàòêîâðåìåííûõ âîçäåéñòâèÿõ îïðåäåëÿþòñÿ âòîðîé61ïðóæèíîé è ñëàáî îòëè÷èìû îò ñëó÷àÿ îòñóòñòâèÿ“ âÿçêîñòè.
Òàêîå ïîâåäåíèå õàðàêòåðíî”äëÿ òâ¼ðäûõ òåë.Ðàçäåëÿÿ óðàâíåíèÿ (2.2.10) íà óðàâíåíèå äëÿ ñëåäîâ è íåäèàãîíàëüíûå è ïåðåõîäÿ ê÷àñòîòíîìó ïðåäñòàâëåíèþ ïîëó÷èìiωζK 0K 0 + iωζiωηG0G→G+ 0G + iωηK→K+(2.2.11)(2.2.12)Òàêèì îáðàçîì, íåîáõîäèìî îöåíèòü ïàðàìåòðû ìîäåëè G0 , K 0 , G, K2.2.2.Ïðîòåêàíèå ïëàñòèíÍå ñóùåñòâóåò èçìåðåíèé âÿçêîñòè ñòåêîë ïðè êîìíàòíîé òåìïåðàòóðå. Âñå èçìåðåíèÿïðîâîäÿòñÿ ïðè òåìïåðàòóðå ñòåêëîâàíèÿ (áîëåå Tg = 1446 K äëÿ êâàðöà), êîãäà ýòî çíà÷åíèåäîñòàòî÷íî íåâåëèêî (ïîðÿäêà 1012 Ïà·ñ [64]). Ïðè ïîâûøåíèè òåìïåðàòóðû ëîãàðèôì âÿçêîñòè ïðàêòè÷åñêè ëèíååí îòíîñèòåëüíî îáðàòíîé òåìïåðàòóðû.
Ëèíåéíîé èíòåðïîëÿöèåéíà êîìíàòíóþ òåìïåðàòóðó ìîæíî ïîëó÷èòü çíà÷åíèå âÿçêîñòè ïîðÿäêà 1038 Ïà·ñ. Îäíàêî âíåäàâíèõ ðàáîòàõ î ïðîòåêàíèè ïëàñòèí èç ïëàâëåíîãî [65, 60, 66], â êîòîðûõ â òå÷åíèå ïÿòèëåò íàáëþäàëàñü äåôîðìàöèÿ ïîä äåéñòâèåì ñîáñòâåííîãî âåñà ïðè êîìíàòíîé òåìïåðàòóðå, áûëî ïîëó÷åíî ãîðàçäî ìåíüøåå çíà÷åíèå η = 2 × 1017 Ïà·ñ. Ïëàñòèíû áûëè äèàìåòðîì11.4 ñì è òîëùèíîé 1.9 ñì [65], äèàìåòðîì 16.5 ñì è òîëùèíîé 2.7 ñì [60]. Íå ñóùåñòâóåòèçìåðåíèé âÿçêîñòè ñòåêîë ïðè êîìíàòíîé òåìïåðàòóðå. Âñå èçìåðåíèÿ ïðîâîäÿòñÿ ïðè òåìïåðàòóðå ñòåêëîâàíèÿ (áîëåå Tg = 1446 K äëÿ êâàðöà), êîãäà ýòî çíà÷åíèå äîñòàòî÷íî íåâåëèêî (ïîðÿäêà 1012 Ïà·ñ [64]).
Ïðè ïîâûøåíèè òåìïåðàòóðû ëîãàðèôì âÿçêîñòè ïðàêòè÷åñêèëèíååí îòíîñèòåëüíî îáðàòíîé òåìïåðàòóðû. Ëèíåéíîé èíòåðïîëÿöèåé íà êîìíàòíóþ òåìïåðàòóðó ìîæíî ïîëó÷èòü çíà÷åíèå âÿçêîñòè ïîðÿäêà 1038 Ïà·ñ. Îäíàêî â íåäàâíèõ ðàáîòàõ îïðîòåêàíèè ïëàñòèí èç ïëàâëåíîãî [65, 60, 66], â êîòîðûõ â òå÷åíèå ïÿòè ëåò íàáëþäàëàñüäåôîðìàöèÿ ïîä äåéñòâèåì ñîáñòâåííîãî âåñà ïðè êîìíàòíîé òåìïåðàòóðå, áûëî ïîëó÷åíîãîðàçäî ìåíüøåå çíà÷åíèå η = 2 × 1017 Ïà·ñ.
Ïëàñòèíû áûëè äèàìåòðîì 11.4 ñì è òîëùèíîé1.9 ñì [65], äèàìåòðîì 16.5 ñì è òîëùèíîé 2.7 ñì [60].Ðàññìîòðèì ýòîò ýêñïåðèìåíò ñ òî÷êè çðåíèÿ ñòàíäàðòíîé ëèíåéíîé ìîäåëè óïðóãîñòè.Çàäà÷à öèëèíäðè÷åñêè ñèììåòðè÷íà, ïîýòîìó àçèìóòàëüíûå êîìïîíåíòû âåêòîðà ñìåùåíèÿ,êàê è âñå ïðîèçâîäíûå ñ ó÷àñòèåì àçèìóòàëüíîãî óãëà áóäóò ðàâíû íîëþ. Ìû ïîëàãàåì, ÷òîâðåìåííàÿ è ïðîñòðàíñòâåííàÿ ÷àñòè ïîëåé ìîãóò áûòü ðàçäåëåíû è ðåøåíèå ïðåäñòàâèìî â62âèäå ε̂(~r, t) = ε̂(~r)T (t) è σ̂(~r, t) = σ̂(~r)Ts (t).
Òîãäà, èñïîëüçóÿ (2.2.10) ïîëó÷èì(1 + G/G0 )Ṫ + GT /ησµ>3== CG ,εµ>3Ṫs /(2G0 ) + Ts /(2η)(1 + K/K 0 )Ṫ + KT /ζtr(σ)== CK ,tr(ε)Ṫs /(3K 0 ) + Ts /(3ζ)(2.2.13)(2.2.14)ãäå µ > 3 îçíà÷àåò íåäèàãîíàëüíûå êîìïîíåíòû òåíçîðà. Çäåñü è äàëåå èñïîëüçîâàíà íîòàöèÿÂîéòà äëÿ çàïèñè 3-õ ìåðíûõ òåíçîðîâ (iji=j → i, iji6=j → 9 − i − j ). Óðàâíåíèÿ äëÿ äèàãîíàëüíûõ ÷ëåíîâ ïî-îòäåëüíîñòè, â êîòîðîì çàâèñÿùèå îò âðåìåíè ÷àñòè ìîãóò áûòü ñîáðàíûâ ïîñòîÿííûå, òàê æå ìîæåò áûòü ïîëó÷åíû. Ôîðìà ñîîòíîøåíèé (2.2.13)-(2.2.14) ïîçâîëÿåòïðåäïîëîæèòü, ÷òî êîíå÷íîå ðåøåíèå áóäåò èìåòü äâà íå ñâÿçàííûõ êîëåáàòåëüíûõ ïðîöåññà(ò.å. äâå ðàçëè÷íûõ âðåìåííûõ çàâèñèìîñòè) äëÿ äèàãîíàëüíûõ (îòíîñÿùèõñÿ ê îáú¼ìíûì)è íåäèàãîíàëüíûõ (îòíîñÿùèõñÿ ê ñäâèãîâûì) ÷àñòåé òåíçîðîâ äåôîðìàöèè.
Òàêèì îáðàçîì,~ . Îäíàêî, ïîäîáíîå~ Añìåùåíèÿ äîëæíû ñîñòîÿòü èç äâóõ ÷àñòåé, íàïîäîáèå ~u = grad ψ + rotðàññìîòðåíèå îêàçûâàåòñÿ íåíóæíûì äëÿ íàøèõ öåëåé.Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå äâèæåíèÿ óïðóãèõ äåôîðìàöèéρüj = ∇k σkj + Fj .(2.2.15)Çàäà÷à öèëèíäðè÷åñêè ñèììåòðè÷íà, ïîýòîìó àçèìóòàëüíûå êîìïîíåíòû âåêòîðà ñìåùåíèÿ,êàê è âñå ïðîèçâîäíûå ñ ó÷àñòèåì àçèìóòàëüíîãî óãëà áóäóò ðàâíû íîëþ. Ïðåäñòàâèì âåêòîðñìåùåíèÿ è òåíçîð íàïðÿæåíèé â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ ôóíêöèè âðåìåíè è ôóíêöèè êîîðäèíàò~u = ui (ρ, z)T (t), σ̂ = σij (ρ, z)Ts (t). Òîãäà óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ è ìîäåëè ïðèìóò âèä1 ∂∂(ρσρ ) + σ5 )ρ ∂ρ∂z1 ∂∂ρc T̈ uz = f + Ts ((ρσ5 ) + σz )ρ ∂ρ∂zρc T̈ uρ = Ts ((2.2.16)(2.2.17)Ïîäñòàâëÿÿ ðàâåíñòâî (2.2.13) â (2.2.16) ïîëó÷èì óïðîù¼ííûå óðàâíåíèÿ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
