Диссертация (1102364), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Îñíîâûâàÿñüíà ýòîì óòâåðæäåíèè Ëåâèí äàë áîëåå åñòåñòâåííóþ“ ôîðìóëèðîâêó òåîðåìû è óñïåøíî”ïðèìåíèë ê áðîóíîâñêîìó øóìó ïîäëîæêè [18] è òåðìîðåôðàêòèâíûì øóìàì ïîêðûòèÿ [97]è ñâåòîäåëèòåëÿ [36].Ðàññìîòðèì ëèíåéíóþ ñèñòåìó, íà êîòîðóþ âîçäåéñòâóåò ñëàáàÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ îáîáù¼ííàÿ ñèëà f = F0 cos(ωt)qf (~r), ãäå qf ôîðì-ôàêòîð ñèëû (íàáëþäàåìîé, ñì.äàëåå) íåêàÿ íîðìèðîâàííàÿ ôóíêöèÿ. Òîãäà ìû ìîæåì ðàññ÷èòàòü îòêëèê ñèñòåìû íà äàííîå âîçäåéñòâèå è ðàññåÿííóþ ýíåðãèþ Wdiss .
Ïóñòü òàê æå ñóùåñòâóåò îáîáù¼ííàÿ êîîðäèíàòà x,Rýíåðãåòè÷åñêè ñîïðÿæ¼ííàÿ ê f , ò.å. ðàáîòà ýòîé ñèëû ðàâíà Wf = f dx. Òîãäà ýòîì ôëóêRòóàöèè íàáëþäàåìîé âåëè÷èíû y = x(~r)qf (~r)d3 r îïèñûâàþòñÿ ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòüþ~ω2Wdisscoth(3.3.3)Sy (ω) = ~πF022kB T100Îñíîâíîé ñëîæíîñòüþ äàííîãî ïîäõîäà ìîæåò ñòàòü âûáîð óäîáíîé ïàðû ñîïðÿæ¼ííûõ âåëè÷èí x è f .
Î÷åâèäíî, ÷òî äàííàÿ ôîðìóëèðîâêà óäîáíà äëÿ èñïîëüçîâàíèÿ ÷èñëåííîãîìîäåëèðîâàíèÿ. Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ å¼ èñïîëüçîâàíèÿ òðåáóåòñÿ â îñíîâíîì ðåøåíèå ñòàíäàðòíûõ çàäà÷ ñ çàäàííûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè èëè âîçìóùåíèåì (ïðàâîé ÷àñòüþ). Ïîäîáíûå ñèìóëÿöèè áûëè ïðîâåäåíû äëÿ ðåçîíàòîðà Ôàáðè-Ïåðî â [98].  äàííîé ðàáîòå ìåòîäáóäåò ïðèìåí¼í äëÿ ÌÌØÃ.3.3.2.Øóìû îñöèëëÿòîðà è ìîäóëÿòîðÐàññìîòðèì ãàðìîíè÷åñêèé îñöèëëÿòîð ñ ÷àñòîòîé ω0 è çàòóõàíèåì Γ, èñïûòûâàþùèéâûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ(3.3.4)ẍ − Γẋ + ω02 x = f cos ωp tÒîãäà ïðåäñòàâèâ ðåøåíèå â âèäå x = Re Aeiωp t ïîëó÷èì õîðîøî èçâåñòíîå âûðàæåíèå ëîðåíöåâîé ðåçîíàíñíîé êðèâîé.x = Refω02 − ωp2 − iωp Γeiωp t(3.3.5) ñîîòâåòñòâèè ñ ÔÄÒ ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü øóìàSx (ω) =2kB TΓ,2meff (ω0 − ω 2 )2 + ω 2 Γ2(3.3.6)ãäå meff ýôôåêòèâíàÿ ìàññà (3.1.12).
Ñòîèò ïîä÷åðêíóòü, ÷òî øóì íå çàâèñèò íè îò ìîùíîñòè íè îò ÷àñòîòû íàêà÷êè, òàê êàê ñâÿçàíû ñ âíóòðåííèìè ïîòåðÿìè. Äàííûé ñïåêòð (3.3.6)ñëîæèòñÿ ñî ñïåêòðîì ñèãíàëà âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé (íà îñíîâå (3.3.5)). Ìîæíî ïîêàçàòü,÷òî ðåçóëüòàò áóäåò âûãëÿäåòü, êàê ôëóêòóàöèè ÷àñòîòû.Ïóñòü â ñèñòåìå ïðèñóòñòâóþò ôëóêòóàöèè ôàçû (à çíà÷èò è ÷àñòîòû). Òîãäà, ñëåäóÿ[99], ñèãíàë â ñèñòåìåx = Aeiω0 t+φ(t)(3.3.7)ãäå φ(t) ñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ. Òîãäà àâòîêîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿBx (τ ) = A2 ei2ω0 τ heiφ(t+τ ) e−iφ(τ ) it(3.3.8)Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ñðåäíåå ïî âðåìåíè ðàâíî ñðåäíåìó ïî àíñàìáëþ è îáîçíà÷àÿ Φ = φ(t +τ ) − φ(τ ), ïîëó÷èìheiφ(t+τ ) −iφ(τ )eZit =(Φ)eiΦ dΦ(3.3.9)101Òàê êàê ôëóêòóàöèè Φ ìîãóò ñîñòîÿòü èç ìíîæåñòâà íå êîððåëèðîâàíû ñîáûòèé, ìîæíî ïðèìåíèòü öåíòðàëüíóþ ïðåäåëüíóþ òåîðåìó ìîæíî ïîêàçàòü [99], ÷òî ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü ZZdf2−i(ω−ω0 )τdτ(3.3.10)Sx (ω) = Aeexp − Sφ (f )(1 − cos(f τ )2πÒîãäà äëÿ áåëîãî øóìà ÷àñòîòû ïîëó÷èì Sφ (ω) = Sδω /ω 2Sx (ω) =2A2πSδω→ 2A22i(ω − ω0 ) + πSδω(ω − ω0 )2 + π 2 Sδω(3.3.11)Òåïåðü ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî âáëèçè ðåçîíàíñà, â ñîîòâåòñòâèè ñ (3.3.6)Sx (ω) ≈kB TΓ/2,2meff ω (ω0 − ω)2 + Γ2 /4(3.3.12)ïîëó÷èì, ÷òî øóìîâîé ñèãíàë îñöèëëÿòîðà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êîëåáàíèå ñ ýíåðãèåé meff ω 2 A2 =kB T /2 (÷òî ñîãëàñóåòñÿ ñ òåîðåìîé î ðàâíîðàñïðåäåëåíèè ýíåðãèè ïî ñòåïåíÿì ñâîáîäû) èôëóêòóèðóþùåé ÷àñòîòîé ñ Sδω = Γ/(2π).
Îïÿòü â äàííîì ðàññóæäåíèè íå áûëî íè ñëîâà îíàêà÷êå, òàê êàê ðàññìàòðèâàëèñü ñîáñòâåííûå ôëóêòóàöèè.Îäíàêî, â ñëó÷àå ìîäóëÿòîðà, íàì áîëåå èíòåðåñíî êàê ôëóêòóàöèè îòïå÷àòûâàþòñÿ íàñèãíàëå íàêà÷êè, òî åñòü â ïåðåäàííîì ñèãíàëå. Ýòîò ïðîöåññ ïðîèñõîäèò àíàëîãè÷íî ìîäóëÿöèè, è ñîîòâåòñòâåííî áóäåò ïðîèñõîäèòü â ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðèåé ðàññìîòðåííîé â ïóíêòå3.2.1..  ÷àñòíîñòè, ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü îòíîñèòåëüíîãî ñäâèãà ÷àñòîòû è áóäåò ÿâëÿòüñÿ ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòüþ δω â ôîðìóëàõ (3.2.12) è (3.2.13), äîáàâëÿÿñü òàêèì îáðàçîì êøóìàì ìîäóëèðóþùåãî ñèãíàëà. Îòìåòèì, îäíàêî, ÷òî ñèãíàë íà ÷àñòîòå íåñóùåé (3.2.12) íåñîäåðæèò â ïåðâîì ïîðÿäêå ìàëîñòè èíôîðìàöèè î øóìàõ (êàê è î ìîäóëèðóþùåì ñèãíàëå).Ìîäåëèðîâàíèå áóäåò ïðîâîäèòüñÿ äëÿ òð¼õ êîíôèãóðàöèé: êâàðöåâîé ìèêðîñôåðû ñïàðàìåòðàìè [25] äëÿ ñðàâíåíèÿ ñ ýêñïåðèìåíòàëüíûìè äàííûìè, ìèêðîäèñêà èç ôëþîðèäàêàëüöèÿ [79] äëÿ ñðàâíåíèÿ ñ èìåþùèìèñÿ òàì ôîðìóëàìè è ìîäóëÿòîðà èç íèîáàòà ëèòèÿ,ðàññìîòðåííîãî â ïðåäûäóùèõ ÷àñòÿõ è ÿâëÿþùåãîñÿ òåìîé äàííîé ãëàâû.
Âñå ìàòåðèàëüíûåïàðàìåòðû è îñíîâíûå ðàçìåðû óñòðîéñòâ ñâåäåíû äëÿ óäîáñòâà â òàáëèöó 3.1.Âåëè÷èíàÍàèìåíîâàíèåÏëàâëåíûé êâàðöCaF2LiNbO3 (êîíãð.1 ,ñòåõ.2 )Ïëîòíîñòüρêã/ì32200 [25, 79]3180 [79]4600[100]Òåïëî¼ìêîñòüCpÄæ/(êã·Ê)670 [25, 79]854 [79]648[100, 101]Ïðåëîìëåíèån11.46[79]1.42 [79]{2.21, 2.21, 2.14} [33, 101]ÒåïëîïðîâîäíîñòüκÂò/(ì·Ê)1.4 [25, 79]9.71 [79]{4.2, 4.2, 4.6}1 [102, 101]Òåðìîðåôðàêöèÿβ10−6 /Ê14.5 [25], 10 [79]−12 [103](−7.5 [79]){4.3, 4.3, 37.7}1 [82], 6[100]{13.5, 13.5, 3.4}1 [81]Òåïëîâîå ðàñøèðåíèå10−6 /Êα0.55 [25, 79]18.9 [79]({14.1, 14.1, 4.1}1 [101])({14.1, 14.1, 6}2 [101])βT10−12 /Ïà27 [79]12 [79]???Êåððîâñêàÿ íåëèíåéíîñòün210−21 ì2 /Âò24[104]32 [79], 12.6[104]1000[105, 100]Ìåõàíè÷åñêèå ïîòåðèφloss17.6 × 10−12 × ω 0.77 [59]1.6 × 10−10 × ω [106]4 × 10−9 × ω [107](1.35 × 10−12 × ω [108])Âåëè÷èíàÍàèìåíîâàíèåÌèêðîñôåðà[25]Ìèêðîäèñê[79]ÌîäóëÿòîðÐàäèóñRìêì6930004500Ñôåðîèäbìêì695471162ÎñíîâàíèåRbìêì2304300Äëèíà âîëíû íàêà÷êèλìêì0.631.551.55Íîìåð ÌØÃq, l, m11, 996, 9921, 17330, 173301, 105 , 105Òàáëèöà 3.1: Ñâåðõó: ìàòåðèàëüíûå ïàðàìåòðû íåêîòîðûõ ìàòåðèàëîâ.
Îòìåòèì, ÷òî â [25] èññëåäîâàíèÿ âåäóòñÿ íà äëèíå âîëíû 0.63 ìêì, â [79] íà 1.55 ìêì,â [104] íà 1.06 ìêì, ÷òî ÷àñòè÷íî ìîæåò îáúÿñíèòü ðàçëè÷èå â çíà÷åíèÿõ óêàçàííûõ ïàðàìåòðîâ. Ñíèçó: ïàðàìåòðû ìîäåëèðîâàííûõ ÌØÃ. Äëÿ àíèçîòðîïíûõâåùåñòâ â àíàëèòè÷åñêèõ ðàñ÷¼òàõ èñïîëüçóåòñÿ x-êîìïîíåíòà.102Ñæèìàåìîñòü1033.3.3.Òåðìîðåôðàêòèâíûé øóì â ÌÌØÃÄèñïåðñèÿ ôëóêòóàöèè òåìïåðàòóðû â îáú¼ìå V , êàê èçâåñòíî [39], çàïèñûâàåòñÿ â âèäåhδT 2 i =kB T 2CρV(3.3.13)ãäå δT = T − T0 îòêëîíåíèå òåìïåðàòóðû îò ñðåäíåé, kB ïîñòîÿííàÿ Áîëüöìàíà, C óäåëüíàÿ òåïëî¼ìêîñòü, ρ ïëîòíîñòü.
Äàëåå îíà ìîæåò áûòü ïåðåñ÷èòàíà â òåðìîðåôðàêòèâíûéøóì â ñîîòâåòñòâèè ñ (3.1.2). Èñïîëüçóåì ÔÄÒ, ÷òîáû íàéòè ñïåêòðàëüíóþ ïëîòíîñòü ýòèõ[ôëóêòóàöèé.  ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé (3.2.19), çàìåíèâ δˆ = ˆrEˆ íà δˆ = 2nβ̂δT , ïîëóRF ÷èì íàáëþäàåìóþ â âèäåR√δT (~r)0 j βj |EjWGM (~r)|2 d3 rδωTR=−,ωW WGM(3.3.14)ãäå êîýôôèöèåíò òåðìîðåôðàêöèè βx = βy = 4.3 × 10−6 , βz = 37 × 10−6 [82]. Çàìåòèì òàêæå, ÷òî èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (3.2.30) ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ïåðåõîä â öèëèíäðè÷åñêóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò íå ïîâëèÿåò íà ôîðìóëó, òàê êàê èíòåãðèðîâàíèå èä¼ò ïî âñåìó àçèìóòàì.Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè ýòîì îáîáù¼ííîé êîîðäèíàòîé áóäåò ÿâëÿòüñÿ îòêëîíåíèå òåìïåðàòóðû.Òîãäà ïîòåðè â ñèñòåìå áóäóò îïðåäåëÿòüñÿ ïî ôîðìóëåZdtκ(grad δT )2 d3 r ,Wdiss =T2π(3.3.15)ãäå âðåìåííîé èíòåãðàë áåð¼òñÿ ïî ïåðèîäó âûíóæäàþùåé ñèëû, à ïðîñòðàíñòâåííûé ïîîáú¼ìó ñèñòåìû [39, 97, 36].
Ýíåðãåòè÷åñêè ñîïðÿæ¼ííàÿ òåìïåðàòóðå âåëè÷èíà ýíòðîïèÿ.Îíà è áóäåò ÿâëÿòüñÿ îáîáù¼ííîé ñèëîé.  ñîîòâåòñòâèè ñ óðàâíåíèåì òåïëîïåðåíîñà (2íà÷àëî òåðìîäèíàìèêè)δQ − div jδt = T δS,(3.3.16)ïîëàãàÿ T = T + δT , ãäå T = const è δT , à òàê æå Ṡ , ìàëû â ðàññìàòðèâàåìîì ïîðÿäêåìàëîñòè, ïîëó÷èì óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè˙ − κ∆δT = T V Ṡ,ρCv δT(3.3.17)ãäå κ êîýôôèöèåíò òåïëîïåðåäà÷è, S ïëîòíîñòü ýíòðîïèè. Äëÿ óäîáñòâà ìîäåëèðîâàíèÿïðåäñòàâèì ðåøåíèå â âèäå δT = CT (~r) cos(ωt)+ST (~r) sin(ωt). Òîãäà, ïîäñòàâèâ ôîðì-ôàêòîðíàáëþäàåìîé ïîëó÷èì ñèñòåìóρCv ωST − κ∆CT = 0,√ρCv ωCT + κ∆ST = T ωS0 0 j βj |EjWGM (~r)|2 /W WGM ,CT |∞ = ST |∞ = 0,(3.3.18)104ãäå S0 = 1 Äæ/Ê ðàçìåðíàÿ íîðìèðîâêà, ãðàíè÷íîå óñëîâèå âàæíî äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ âêîíå÷íîé îáëàñòè, ïîçâîëÿÿ âîññîçäàòü áîëåå ðåàëèñòè÷íûå ïîòîêè òåïëà.10 -1010 -11[25] (прост.)Модель (полн.)Модель (сфера)Эксперимент [25]Теория [25] (сфера)10 -111010 -13-1/2-1/210 -12S 1/2,δ f/fS 1/2,δ f/f() [79](прост.) [25]Модель (полн.)Модель (диск)-1210 -1410 -1510 -1310 010 -1610 110 210 310 410 510 610 -1710 -210 0f,10 210 410 6f,Ðèñ.
3.17: Ñëåâà: ñðàâíåíèå òåîðèè (3.1.4), ìîäåëèðîâàíèÿ (ñ îêðóæåíèåì è áåç), ýêñïåðèìåíòà [25] è ôîðìóëûèç ïðèëîæåíèÿ [25] äëÿ òåðìîðåôðàêòèâíîãî øóìà SiO2 ñôåðû. Ñïðàâà: ñðàâíåíèå òåîðèè [25](3.1.6), òåîðèè[79](3.1.4) è ìîäåëèðîâàíèÿ (ñ îêðóæåíèåì è áåç) äëÿ òåðìîðåôðàêòèâíîãî øóìà CaF2 äèñêà.Íà ðèñóíêå 3.17 ïðåäñòàâëåíî ñðàâíåíèå ðåçóëüòàòîâ ìîäåëèðîâàíèÿ ñ ýêñïåðèìåíòîì[25] è òåîðåòè÷åñêèìè âûðàæåíèÿìè (3.1.6) è (3.1.4).
Ìîäåëèðîâàíèå ïîêàçàëî, ÷òî çà ñ÷¼òñâÿçè ñ îêðóæàþùåé ñðåäîé ïîñðåäñòâîì òåïëîïåðåäà÷è ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü øóìà ñîîòâåòñòâóåò âûðàæåíèþ äëÿ áåñêîíå÷íîãî îòêðûòîãî ïðîñòðàíñòâà. Ó÷¼ò æå ãðàíèö ïðè ïîìîùè ðåøåíèÿ çàäà÷è î òåïëîèçîëèðîâàííîì ðåçîíàòîðå ïðèâîäèò ê ñóùåñòâåííîé îøèáêå.3.3.4.Áðîóíîâñêèå øóìû â ÌÌØàñëó÷àå Áðîóíîâñêîãî øóìà óäîáíî ïðèíÿòü îáîáù¼ííîé êîîðäèíàòîé ïîëå ñìåùåíèéóïðóãîãî òåëà, òîãäà îáîáù¼ííîé ñèëîé áóäåò ÿâëÿòüñÿ ïðîñòî ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà ðåçîíàòîð.Ïðè ìàëûõ äåôîðìàöèÿõ, ìîæíî ðàññìàòðèâàòü èçìåíåíèå ðàäèóñà ðåçîíàòîðà êàê ëîêàëüíîå èçìåíåíèå ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ:~(~r) → (~r − ~u(~r0 )) ≈ (~r) − (~u∇)(r)(3.3.19)Ñòîèò îòìåòèòü, ÷òî âîîáùå ãîâîðÿ, ~u â äàííîé ôîðìóëå áåð¼òñÿ íå â òî÷êå àíàëèçà ~r, à âòî÷êå, îòêóäà ïðîèçîøëî ñìåùåíèå ~r0 +~u(~r0 ) = ~r.
Îäíàêî ìàëîñòü ~u ïîçâîëÿåò çàêðûòü íà ýòîãëàçà.  ñîîòâåòñòâèè ñ (3.2.19) è ñ÷èòàÿ íåâîçìóù¼ííóþ äèýëåêòðè÷åñêóþ ïðîíèöàåìîñòü105îäíîðîäíîé ˆWGR = const ïîëó÷èì íàáëþäàåìóþ â âèäåRR~ WGM† (ˆWGR − 1)E~ WGM ]~u~nS d2 r~ WGM† (~r)[~u(~r)∇ˆ~ ]E~ WGM (~r)d3 r [E0 EδωBrS 0==,ω2W WGM2W WGM(3.3.20)ãäå S è ~nS ïîâåðõíîñòü ðåçîíàòîðà è âíåøíÿÿ íîðìàëü ê íåé, (ˆWGR − 1) ðàçíîñòü äèýëåêòðè÷åñêèõ ïðîíèöàåìîñòåé ðåçîíàòîðà è âíåøíåé ñðåäû (âîçäóõ). Ëåãêî òàê æå ó÷åñòüóïðóãîîïòè÷åñêóþ (ôîòîóïðóãóþ) ÷àñòüþ~ ijλ ελ ]ˆ,δˆ = −ˆ[pijλ ελ − (~u∇)p(3.3.21)ãäå λ øåñòèìåðíûé èíäåêñ (íîòàöèè Âîéòà), pijλ ôîòîóïðóãèé òåíçîð.
Âòîðîå ñëàãàåìîåïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âòîðîé ïîðÿäîê ìàëîñòè è èì ìîæíî ïðåíåáðå÷ü.Áóäåì èñêàòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ óïðóãîñòè (2.2.15) â âèäå ~u(t) = Re ~u(~r) cos ωt+Im ~u(~r) sin ωt.Òîãäà~ T = F~P E ,− ρω 2~u − ∇σ̂σ̂~nS |S = F~B ,(3.3.22)à äåôîðìàöèÿ, òåíçîð äåôîðìàöèè è òåíçîð ìåõ. íàïðÿæåíèé ~u, ε̂, σ̂ ñâÿçàíû ñòàíäàðòíûìèñîîòíîøåíèÿìè (1.1.3a) è (2.2.6). Ïðè ðàñ÷¼òå Áðîóíîâñêîãî øóìà F~P E = 0 è~ WGM† (ˆWGR − 1)E~ WGM ]~nS0 [EF~B = F02W WGM(3.3.23)à ïðè ðàñ÷¼òå ôîòîóïðóãîãî F~B = 0 èFlP E =F0 ∇mDiWGM∗ pijlm DjWGM,20 W WGM(3.3.24)ãäå F0 = 1 Í·ì ðàçìåðíàÿ íîðìèðîâêà. Çàìåòèì, ÷òî áëàãîäàðÿ (3.2.30), â öèëèíäðè÷åñêèõ~ WGM† (ˆWGR −1)E~ WGM ] = |E WGM |2 (ii −1) è ∇m DWGM∗ pijlm ελ DWGM =êîîðäèíàòàõ ìîæíî çàïèñàòü [Eiijpiilm ∇m |DiWGM |2 è ∇2 = 0.Ðàññåèâàåìóþ ýíåðãèþ íàéä¼ì èñïîëüçóÿ ñòàíäàðòíûé ïîäõîä óãëà ïîòåðü [18, 19, 98] è(2.2.6):Wdiss = WMech φloss (ω) = φloss (ω)Z Xεik σik d3 r,(3.3.25)i,k÷òî àíàëîãè÷íî ââåäåíèþ êîìïëåêñíîãî óïðóãîãî ìîäóëÿ (íàïðèìåð ìîäóëÿ Þíãà E = E(1+iφloss (ω))).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
