Асимптотическое исследование нелинейных нелокальных моделей типа реакция-диффузия-адвекция с пограничными и внутренними слоями (1097488), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Будем использовать сведущее асимптотическое представление решения для задачи (29) – (32):31u ( x, t , ε ) =∞= ∑ ε n (un ( x, y∗ (t , ε ), t ) + Pn u (η , t ) + Π1nu (τ , t ) + Π n2u (τ ∗ , t )) ≡(±)(±)(33)n =0(±)(±)≡ u ( x, y∗ (t , ε ), t , ε ) + P u (η , t , ε ) + Π1u (τ , t , ε ) + Π 2u (τ ∗ , t , ε ),(±)(±)где un ( x, y∗ (t , ε ), t ) – члены регулярной части асимптотики, Pn u (η , t ) – членыасимптотики, описывающие внутренний переходный слой и существенные вмалой окрестности точки перехода, h = ( x - y* (t , e )) / e – переменная переходного слоя.
Знак " – " означает, что x < y∗ (t , ε ) (η < 0 ), а знак " + ", чтоx > y∗ (t , ε ) (η > 0 ). Функции P1,2n u являются погранслойными членами асимптотики, существенными соответственно на левом и правом концах отрезка[0, 1], а t = x / e , t * = (1 - x) / e – погранслойными переменными.Члены регулярной части асимптотики определяются способом, аналогичнымиспользованному в § 2 гл.2. Для построения членов первого и следующих порядков регулярной части асимптотики предполагается выполнение условий F4и F5, аналогичных условиям D5 и D6 соответственно.Так как мы не рассматриваем процесс выхода фронта на границу отрезка[0,1] , то пограничные функции не будут оказывать никакого влияния на функции переходного слоя.
Поэтому их построение ничем не будет отличаться отстационарного случая, рассмотренного в §§ 1, 2 второй главы. А аргумент tбудет входить в них только через коэффициенты разложения y* (t , e ) . Краевыеусловия Неймана приведут к тому, что в нулевом приближении пограничныйслой будет отсутствовать.Переходя в дифференциальном операторе2∂u∂2 ∂D = −εεA(x,ε)+ε−∂t∂x 2∂xк переменным (η , t ) , получимD = −ε∂u ∂ 2 ⎛ ∂y∗⎞ ∂(t , ε ) − A( x, ε ) ⎟+ 2 +⎜.η∂t ∂η ⎝ ∂t∂⎠Используя данный оператор, и, вводя в рассмотрение следующую непрерывную функцию, описывающую переходный слой в нулевом приближении,Ïj ( - ) ( y, y ) + P0u (h , y ), h < 0,Ôu (h , y ) = Ìj (0) ( y ), h = 0,Ôj ( + ) ( y, y ) + P u (h , y ), h > 0.0Óполучим для u задачу321∂ 2u∂u+ v0= g (u (η , y ),ϕ ( s, y ), y, s,0)ds, η ∈ (−∞, +∞),∂η 2∂η ∫0(34)u (0, y ) = ϕ (0) ( y ), u (−∞, y ) = ϕ ( − ) ( y, y ), u (+∞, y ) = ϕ ( + ) ( y, y ),⎛ dx⎞где v0 ≡ ⎜ 0 (t ) − A( y,0) ⎟ .
Уравнение в задаче (34) является обыкновенным⎝ dt⎠дифференциальным уравнением второго порядка. Из условия F2 следует, чтоϕ ( ± ) ( y, y ) – седловые точки. Такая задача хорошо изучена (см., например, [26,27]). Основные результаты исследования задачи (34) можно сформулировать ввиде следующей леммы:Лемма 4.1. Для любого y ∈ (0,1) существует единственное значение v0 такое, что задача (34) имеет единственное гладкое монотонное решение u ,удовлетворяющее оценкеu (η , y )− ϕ ( ± ) ( y, y ) ≤ C exp(−κ η ) ,где C и κ – некоторые положительные постоянные.
А функция v0 ( y ) удовлетворяет равенствуj (+) ( y, y)v0 ( y ) = jÚ(-)L(u ,j ( s, y ), y,0)du( y, y)+•∂ 2uÚ-• ∂h 2 (h , y)dh.Из леммы 4.1 следуют экспоненциальная оценка для P0u (η , y ) :P0u (η , y ) ≤ C exp(−κ η ) ,и то, что нулевое приближение x0 (t ) точки перехода y = y∗ (t , ε ) может бытьопределено как решение начальной задачиdx0= v0 ( x0 ) + A( x0 ,0),dtx0 (0) = x00 ,где x00 определяет начальное положение точки перехода. Как показано в § 2 гл.2, корни функции ( v0 ( x0 ) + A( x0 ,0) ) определяют положение стационарных точек перехода внутреннего слоя.
В данной главе изучается только движениефронта, поэтому предполагается выполнение следующего требования:Условие F3. Пусть ( v0 ( x0 ) + A( x0 ,0) ) > 0 для любого y ∈ [0,1] .33Для определения x1 (t ) используем первый порядок условия C1 -сшиванияасимптотики:∂P1( - )u∂j ( - )∂P1( + )u∂j ( + )(0, t ) +( x0 (t ), x0 (t )) =(0, t ) +( x0 (t ), x0 (t )).∂h∂x∂h∂x(35)∂P1( ± )u(0, t ) и условия (35) полуИз явного интегрального представления для∂hчим для определения x1 (t ) линейное обыкновенное дифференциальное уравнениеdx1− B ( x0 (t ) ) x1 = F1 ( x0 (t ) ) ,dtгде функции B( x0 ) и F1 ( x0 ) выражаются через уже построенные члены асимптотики.
Если входные данные задачи достаточно гладкие, то асимптотика решения может быть построена до любого порядка n , и формальная асимптотикаn +1удовлетворяет задаче с невязкой порядка ε .Так же, как в предыдущих главах, для обоснования полученного выше формального асимптотического разложения применим модификацию метода асимптотических дифференциальных неравенств [8, 9] на новый класс задач – интегропараболические уравнения с движущимся фронтом.Определение 4.1. Функция β ( x, t , ε ) называется верхним решением задачи(26), (27), еслиβ ( x, ε ) ∈ C ([0,1] × [0, T ]) ∩ C 2,1 ((0, xˆ (t )] × [0, T ]) ∩ C 2,1 ([ xˆ (t ),1) × [0, T ]) ,где xˆ (t ) Œ (0,1) при t ∈ [0, T ] и является гладкой функцией,M [ b ] £ 0 для всех ( x, t ) ∈{(0, xˆ (t )] × [0, T ]} ∩ {[ xˆ (t ),0) × [0, T ]} ,(36)∂β∂β( xˆ + 0, t , ε ) −( xˆ − 0, t , ε ) ≤ 0,∂x∂x(37)∂β∂β(0, t , ε ) ≤ 0 и(1, t , ε ) ≥ 0 ,∂x∂x(38)β ( x,0, ε ) ≥ u 0 ( x, ε ) ,(39)где M – интегродифференциальный оператор уравнения (26).
Аналогично,нижним решением называется функция α ( x, t , ε ) , принадлежащая тому жеклассу гладкости и удовлетворяющая всем неравенствам с противоположнымзнаком.Доказательство существования и единственности решения задачи (26), (27)основывается на следующей теореме о дифференциальных неравенствах (см.[1], гл.
2. разд. 2.7, см. также [28-30]).34Теорема 4.1. Если существуют функции β ( x, t , ε ) и α ( x, t , ε ) , такие, что:(a) β ( x, t , ε ) и α ( x, t , ε ) есть верхнее и нижнее решение задачи (26), (27) соответственно;(b) β ( x, t , ε ) ≥ α ( x, t , ε ) для любых ( x, t ) ∈{[0,1] × [0, T ]} ;(с) A( x, ⋅) ∈ C1[0,1] , g (u , v, x, s ) , gu (u , v, x, s ) и g v (u, v, x, s ) ∈ C ([α ( x, t , ⋅) , β ( x, t , ⋅)]× [α ( s, t , ⋅), β ( s, t , ⋅)] × [0,1]2 );(d) g v (...) ≤ 0 для всех g (u , v, x, s ) ∈ [α ( x, t , ⋅) , β ( x, t , ⋅)] × [α ( s, t , ⋅) , β ( s, t , ⋅)] × [0,1]2 ;то задача (26), (27) имеет единственное классическое решение u ( x, t , ε ) такое,что β ( x, t , ε ) ≥ u ( x, t , ε ) ≥ α ( x, t , ε ) для ( x, t ) ∈{[0,1] × [0, T ]} .Верхнее решение задачи (26), (27) строится в следующем видеβ 0 ( x, t , ε ) = U 0 ( x, yβ (t , ε ), ε ) + ε u1( ± ) ( x, yβ (t , ε )) ++ε A( ± ) ( x, yβ (t , ε )) + ε P1(β± )u (η β , x0 (t ), x1β (t )) + ε (e−κτ + e −κτ ∗ ).Здесь U 0 ( x, y, ε ) – частичная сумма нулевого порядка разложения (33) сyβ (t , ε ) = x0 (t ) + ε x1β (t ) .Растянутая переменная переходного слоя η β в верхнем решении определяетсякак h b = ( x - yb (t , e )) / e .
Коэффициент x1β (t ) будет определен ниже. ФункцииA( ± ) ( x, y ) являются некоторым положительным решением системы связанныхинтегральных уравнений, существующим в силу условия F5. Функции P1(β± )u –модифицированные функции переходного слоя. Вместо условия C1 -сшиванияасимптотики в точке h b = 0 для верхнего решения требуется выполнение условия скачка производной (37) из определения 4.1∂P1(b+ )u∂h b(0, x0 , x1b ) +∂j ( + )( x0 , x0 ) ∂xÊ ∂P1(b- )uˆ∂j ( - )(0, x0 , x1b ) +( x0 , x0 )˜ £ -s ,-Á∂xË ∂h b¯где σ – некоторая положительная постоянная. Из последнего условия получимуравнение для определения x1β (t )dx1βdt− B ( x0 (t ) ) x1β = F1β ( x0 (t ) ) −σ∂u(0, x0 ) ,ω 2 ( x0 ) ∂ηгде функция F1β ( x0 (t ) ) получается некоторым преобразованием из функции35F1 ( x0 (t ) ) .
Выбирая начальное условие для x1β (t ) в видеx1β (0) = −δ ,где δ – некоторая положительная постоянная, получим, что при достаточнобольших значениях δx1β (t ) < 0 для всех t ∈ [0, T ] .Итак, верхнее решение β 0 ( x, t , ε ) определено. Условия (36), (38) определения 4.1 проверяются аналогично тому, как это было сделано в п. 3 § 2 гл. 2.
Условию (39) всегда можно удовлетворить с помощью выбора подходящей начальной функции u 0 ( x, ε ) .Нижнее решение α 0 ( x, t , ε ) определяется аналогично. Условие скачка производной для α 0 ( x, t , ε ) будет следующим∂P1a( + )u∂j ( + )(0, x0 , x1b ) +( x0 , x0 ) ∂ha∂xÊ ∂P1a( - )uˆ∂j ( - )(0, x0 , x1b ) +( x0 , x0 )˜ ≥ s ,-Á∂xË ∂h¯aа x1α (t ) определяется из задачиσ ∂udx1α− B ( x0 (t ) ) x1α = F1α ( x0 (t ) ) − 2(0, x0 ) .ω ( x0 ) ∂ηdtВыбирая начальное условие для x1α (t ) в видеx1α (0) = δ ,получим, что при достаточно больших значениях δx1α (t ) > 0 для всех t ∈ [0, T ] .Выполнение условий теоремы 4.1 для β 0 ( x, t , ε ) и α 0 ( x, t , ε ) доказывает, чтозадача (26), (27) имеет единственное классическое решение, имеющее предельный видlim u ( x, t , ε ) = ϕ ( x, x0 (t )), x ∈ [0,1] \ {x0 (t )} ,ε →0для любой начальной функции такой, чтоα 0 ( x , t , ε ) ≤ u 0 ( x , ε )≤ β 0 ( x , t , ε ) .Проверка случая n > 0 для β n ( x, t , ε ) и α n ( x, t , ε ) , гдеβ n ( x, t , ε ) = U n ( x, yβ (t , ε ), ε ) + ε n+1un+1 ( x, yβ (t , ε )) + ε n+1 A( ± ) ( x, yβ (t , ε )) ++ ε n+1P((n±+)1) β u (η β , x0 (t ),..., xn (t ), x( n+1) β (t )) + ε n+1 (e−κτ + e −κτ ∗ ),36α n ( x, t , ε ) = U n ( x, yα (t , ε ), ε ) + ε n+1un+1 ( x, yα (t , ε )) − ε n+1 A( ± ) ( x, yα (t , ε )) ++ ε n+1P((n±+)1)α u (ηα , x0 (t ),..., xn (t ), x( n+1)α (t )) − ε n+1 (e−κτ + e−κτ ∗ ),проводится аналогично.Теорема 4.2.
Пусть выполнены условия F1 – F5. Тогда для достаточно малых ε задача (26), (27) с начальной функцией u 0 ( x, ε ) , удовлетворяющей неравенствуα 0 ( x,0, ε ) ≤ u 0 ( x, ε )≤ β 0 ( x,0, ε ) ,имеет при t ∈ [0, T ] единственное классическое решение u ( x, t , ε ) такое, чтоlim u ( x, t , ε ) = ϕ ( x, x0 (t )), x ∈ [0,1] \ {x0 (t )} .ε →0Если же начальная функция u 0 ( x, ε ) удовлетворяет неравенствуα n ( x,0, ε ) ≤ u 0 ( x, ε )≤ β n ( x,0, ε ) ,то задача (26), (27) имеет при t ∈ [0, T ] единственное классическое решениеu ( x, t , ε ) такое, что справедлива оценкаmax u ( x, t , ε ) −U n ( x, yn+1 (t , ε ), ε ) ≤ Cε n ,[0,1]n +1где yn+1 (t , ε ) = ∑ ε i xi (t ) .i =0ЗаключениеОсновные результаты работы, полученные лично автором:1.
Построены асимптотические приближения решений для следующих новыхклассов нелинейных сингулярно возмущенных задач:– Начальные задачи с нелинейными интегральными операторами типа Вольтерра и Фредгольма, в том числе в случае смены устойчивости корня вырожденного уравнения.– Краевые задачи для обыкновенных интегродифференциальных уравнений спограничными и внутренними слоями (контрастными структурами типа ступеньки).– Краевые задачи для эллиптических интегродифференциальных уравнений спограничными и внутренними слоями (двумерными контрастными структурами типа ступеньки).– Начально-краевые задачи для параболических интегродифференциальныхуравнений с пограничными и движущимися внутренними слоями (фронтами).372.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
