Асимптотическое исследование нелинейных нелокальных моделей типа реакция-диффузия-адвекция с пограничными и внутренними слоями (1097488)
Текст из файла
На правах рукописиНИКИТИН АНДРЕЙ ГЕННАДЬЕВИЧАСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХНЕЛОКАЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ ТИПА РЕАКЦИЯ-ДИФФУЗИЯАДВЕКЦИЯ С ПОГРАНИЧНЫМИ И ВНУТРЕННИМИ СЛОЯМИ01.01.03 – математическая физикаАвторефератдиссертации на соискание ученой степенидоктора физико-математических наукМосква 2008Работа выполнена на кафедре математики физического факультета Московского государственного университета имени М.В.ЛомоносоваНаучный консультантдоктор физико-математических наук профессорНефёдов Николай НиколаевичОфициальные оппоненты:доктор физико-математических наук профессорГалкин Валерий Алексеевичдоктор физико-математических наук профессорДмитриев Михаил Геннадьевичдоктор физико-математических наук профессорКурина Галина АлексеевнаВедущая организация: Ярославский государственный университет имениП.Г.ДемидоваЗащита состоится «»2009г.
в «» часовна заседании диссертационного совета Д 501.002.10 при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу:119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ имени М.В.Ломоносова,дом 1, строение 2, физический факультет, аудитория _______.С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультетаМГУ.Автореферат разослан «»2009г.Ученый секретарь диссертационного совета,доктор физико-математических наук профессор Грац Ю.В.2ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫАктуальность темы.Математические задачи для уравнения реакция-диффузия-адвекция имеютмного важных практических приложений в химической кинетике, синергетике,астрофизике [33, 34], биологии, теории фазовых переходов и многих другихобластях естествознания.
Во многих важных случаях решения этих задач имеют внутренние и пограничные слои (см. [1] и приведенные в ней ссылки). Сточки зрения приложений наибольший интерес представляют решения с внутренними слоями, которые принято называть контрастными структурами. Контрастная структура типа ступеньки характеризуется наличием внутренних переходных слоев, локализованных в окрестности некоторых точек (в двумерномслучае – в малых окрестностях некоторых замкнутых кривых), в которых происходят резкие переходы решения из окрестности одной части семейства решений вырожденного уравнения (то есть уравнения, которое получается из исходного при обращении малого параметра в нуль) в окрестность другой частиэтого семейства.В теории сингулярных возмущений контрастные структуры ранее исследовались в нелинейных эллиптических краевых задачах с малыми параметрамипри старших производных, рассматриваемых в ограниченных областях.
Впервые существование контрастных структур в сингулярно возмущенных задачахдля обыкновенных дифференциальных уравнений было доказано в работахА.Б. Васильевой и В.Ф. Бутузова [2–5]. Результат по существованию двумерных контрастных структур типа ступеньки принадлежит П. Файфу (P. Fife) и У.Гринли (W. Greenlee) [6]. Асимптотические разложения решений типа контрастной структуры по малому параметру можно построить на основе метода пограничных функций [2, 32–35].
Для одномерных задач это сделано в [2–5,7, 32–34] и ряде других работ, для некоторых двумерных задач – в [8,9, 35]. Обширная библиография по этой проблематике содержится в [7].Важным вопросом, как с теоретической, так и с прикладной точки зрения,является вопрос об устойчивости контрастных структур как стационарных решений соответствующих параболических задач (в смысле Ляпунова). Для одномерных задач этот вопрос был решен в работе А.Б. Васильевой [10], В.Ф.
Бутузова [10], работах [32–34, 36, 37], S. Angenent., J. Mallet-Paret и L. Peletier[12], J. Hale и K. Sakamoto [13] и др. Устойчивость периодической контрастнойструктуры типа ступеньки в пространственно двумерном случае была впервыеполучена в работе [35] путем исследования спектра сингулярно возмущеннойдвумерной задачи на собственные значения. Вопросы устойчивости и локальной единственности решений сингулярно возмущенных нелинейных эллиптических задач, а так же важная проблема формирования контрастных структур всингулярно возмущенных параболических задачах, были решены В.Ф. Бутузо3вым и И.В.
Неделько с помощью предложенного ими метода параметрическихбарьеров [14, 15].Наиболее эффективным методом доказательства существования контрастных структур и оценки остаточных членов асимптотических разложений является асимптотический метод дифференциальных неравенств Н.Н. Нефедова [7,8]. Суть его состоит в том, что верхнее и нижнее решения конструируются путем модификации формальной асимптотики. Рассматривая эллиптическую задачу как стационарную задачу для соответствующего параболического уравнения, этим методом можно также доказать устойчивость по Ляпунову и локальную единственность решения исходной задачи.В настоящее время большой интерес вызывают более сложные модели, которые включают эффекты обратной связи или нелокального взаимодействия.Различные направления теории нелокальных нелинейных моделей интенсивноразрабатываются как у нас в стране, так и за рубежом. Как правило, эти моделипредставлены сингулярно возмущенными интегродифференциальными уравнениями, описывающими важные для приложений процессы, в которых необходимо принять во внимание последствия или задержку, во многих областяхестествознания, в частности, в задачах динамики реакторов, моделях генетикипопуляций, химической кинетике [16], теории фазовых переходов [17–19], социологии [31] и других областях [1, 20, 21].
Так модели, обладающие наследственными свойствами, описываются практически только интегродифференциальными уравнениями [22, 23]. В частности, например, в теории фазовых переходов при рассмотрении теоретической модели процесса разделения фаз вдвойной полимерной смеси возникает следующая задача для уравнения КанаХилиарда (Cahn-Hilliard) [17-19]ut = Δ ⎡⎣ f (u ) − ε 2 Δu ⎤⎦ ,( x, y ) ∈ Ω, t > 0,(1)∂u∂⎡ f (u ) − ε 2 Δu ⎦⎤ = 0, ( x, y ) ∈ ∂Ω, u ( x, y,0) = g ( x, y ),= 0,⎣∂n∂nгде u ( x, y, t ) – концентрация одной из компонент смеси, Ω – ограниченная область с гладкой границей, n – единичный вектор внешней нормали к границеобласти ∂Ω , f (u ) = W ′(u ) , где W (u ) – двойная потенциальная яма, ε – диапазон межмолекулярных сил.
Простыми вычислениями [18] задача (1) сводится кзадаче для нелокального уравнения реакция-диффузияut = ε 2 Δu − f (u ) + ∫ f (u )d Ω,( x, y ) ∈ Ω, t > 0,Ω∂u= 0,∂n(2)( x, y ) ∈ ∂Ω, u ( x, y,0) = g ( x, y ).4Изучение новых моделей, описываемых нелинейными нелокальными задачами, подобными задаче (2), требует развития соответствующих методов математической физики, адекватных сложности таких задач.Целью настоящей работы является развитие асимптотических методов исследования нелокальных уравнений типа реакция-диффузия-адвекция, широкоиспользуемых в математической физике, позволяющих эффективно исследовать широкий круг нелинейных нелокальных моделей, а именно:– разработка методов построения асимптотических приближений решений спограничными и внутренними слоями (контрастными структурами) для широкого класса нелинейных сингулярно возмущенных интегродифференциальныхзадач.– развитие асимптотического метода дифференциальных неравенств для указанного класса задач как эффективного средства доказательства теорем существования, оценки остаточных членов асимптотик, исследования устойчивостирешений и определения локальной области влияния устойчивых решений,имеющих пограничные и внутренние слои.Научная новизна.
Все основные результаты работы являются новыми.Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретическийхарактер. Методы, разработанные в диссертации, могут быть использованы дляисследований проблем асимптотической устойчивости и локальной единственности решений новых классов нелинейных интегродифференциальных сингулярно возмущенных задач, а также для исследования прикладных нелинейныхнелокальных задач, в частности, в таком важном с точки зрения практики вопросе как нахождение области локализации внутреннего переходного слоя(фронта) и определение скорости его движения (либо установление его устойчивости).Апробация работы.Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинареМГУ по малому параметру (руководители: профессора А.Б.
Васильева, В.Ф.Бутузов, Н.Н. Нефедов), на научных семинарах факультета ВМ и К (руководитель: профессор И.А. Шишмарев), кафедры математики физического факультета МГУ, НИВЦ МГУ (руководители: профессора А.Г. Ягола, А.Б. Бакушинскийи А.В. Тихонравов), на международной конференции "Теория и приложенияметодов малого параметра", посвященной 90-летию со дня рождения академикаА.Н. Тихонова (Обнинск, 1996), на международной конференции, посвященной70-летию академика А.М.
Ильина (Уфа, 2002), на международных конференциях "Nonlinear partial differential equations" (Алушта, 2003, 2005), на международной конференции, посвященной 100-летию А.А. Андронова (Нижний Новгород, 2001), на международных конференциях "Математические идеи П.Л.5Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания" (Обнинск, 2002, 2004, 2008), на седьмой Крымской международной математической школе "Метод функций Ляпунова и его приложения" (Алушта 2004), наVI международном конгрессе по математическому моделированию (НижнийНовгород, 2004), на международной конференции "Tikhonov and contemporarymathematics" (Москва, 2006), на международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной памяти И.Г. Петровского(Москва, 2007), на Тихоновских чтениях (Москва, 2002, 2006, 2008), на Ломоносовских чтениях (Москва, 2006, 2008), на вторых – шестых (1994-1998),восьмых (2000), десятых (2002), одиннадцатых (2003), пятнадцатых – семнадцатых (2006-2008) математических чтениях РГСУ (МГСУ), на международнойконференции Science Links Moscow-Berlin-Paris Workshop 2008, посвященной50-тию сотрудничества МГУ им.
М.В. Ломоносова с Гумбольдтским университетом (Берлин, Германия).Публикации Основные результаты, полученные автором и изложенные вдиссертации, опубликованы в работах [32–46] (список литературы приведен вконце автореферата). По материалам диссертации опубликованы 15 научныхработ и сделано 29 докладов на научных конференциях. Результаты, содержащиеся в работах, выполненных в соавторстве, и включенные в диссертацию,получены автором лично и включены в диссертацию с согласия и одобрениясоавторов этих работ.Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на параграфы (некоторые параграфы, в свою очередь, разбиты на пункты), заключения и списка литературы, содержащего 70 наименований. Нумерация формул своя в каждом параграфе (пункте).
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
