Асимптотическое исследование нелинейных нелокальных моделей типа реакция-диффузия-адвекция с пограничными и внутренними слоями (1097488), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Пусть также для всех x ∈ Ω и лю-бой кривой C ≡ ∂Ωi выполняются неравенстваLu (ϕ (i ) ( x, C ),ϕ ( s, C ), x,0) > 0 (i = −, + ), гдеÏÔj ( - ) ( s, C ), s ŒW ( - ) ,j ( s, C ) = Ì ( + )(+)ÔÓj ( s, C ), s ŒW ,и Lu (ϕ (i ) ( x, C ),ϕ ( s, C ), x,0) ≡ ∫ gu (ϕ (i ) ( x, C ),ϕ ( s, C ), x, s,0)ds .ΩПредставляя интегральный оператор в виде, аналогичном представлению (22),L ≡ L + PL + ΠL ,и, переходя в операторе Лапласа там, где он действует на P -функции и26Π -функции, соответственно к переменным (η , l ) и (τ , m) , построим асимптотическое разложение решения в областях Ω( − ) и Ω( + ) .
Для члена нулевого порядка регулярной части асимптотики получим систему двух связанных нелинейных интегральных уравнений. В качестве ее решения выберемu 0( x, C∗ ) = ϕ ( x, C∗ ) .В качестве дополнительного условия, позволяющего определить коэффициенты ri (l ) разложения (21) для кривой C∗ , будем использовать условие непрерывности производной по r решения u на кривой C∗ .
В нулевом порядке асимптотики это условие гарантируется требованием E3. Введем в рассмотрение следующую функцию (интеграл энергии)J ( x0 ) =ϕ ( + ) ( x0 , C0 )ϕ(−)∫L(u ,ϕ ( x0 , C0 ), x0 ,0)du ,( x0 , C0 )где x0 ∈ C0 . Рассмотрим интеграл энергии для кривых C , лежащих в окрестности C0 ,ϕ ( + )( x , C )J ( x) =ϕ(−)∫L(u ,ϕ ( x, C ), x,0)du ,( x, C )где x ∈ C , и перейдем в функции J ( x) к локальным координатам (r , l ) , как этобыло описано в § 1. В этих координатах функцию J ( x) можно представить вследующем видеJ ( x) ≡ J (r (l )) ,где r = r (l ) – уравнение кривой C в локальных координатах. Приближение нулевого порядка кривой перехода C∗ определим из следующего условия.Условие E3.
Пусть на некоторой простой замкнутой кривой C0 ∈ ΩJ ( x0 ) = 0 иdJ ( r (l ) ) < 0 ,drr =0причем для всех u ∈ (ϕ ( − ) ( x0 , C0 ),ϕ ( + ) ( x0 , C0 ) ) выполняется неравенствоu∫ϕ ( − ) ( x0 , C0 )L(u ,ϕ ( s, C0 ), x0 ,0)du > 0 при u ∈ (ϕ ( − ) ( x0 , C0 ),ϕ ( + ) ( x0 , C0 ) ) .Как и в одномерном случае, для регулярного члена первого порядка u1( ± ) ( x, C )разложения (22) получим систему двух связанных линейных интегральныхуравнений, разрешимость которой обеспечивается условием квазимонотонно27сти E4, аналогичным условию C4 § 1 гл. 2, и следующим условием:Условие E5. Пусть система связанных линейных интегральных неравенствw( − ) ( x, C ) +∫K ( −− ) ( x, s, C ) w( − ) ( s, C )ds +∫K ( +− ) ( x, s, C ) w( − ) ( s, C )ds +Ω( − )w( + ) ( x , C ) +∫K ( −+ ) ( x, s, C ) w( + ) ( s, C )ds, x ∈ Ω ( − )∫K ( ++ ) ( x, s, C ) w( + ) ( s, C )ds, x ∈ Ω( + )Ω( + )Ω( − )Ω( + )g v (ϕ (i ) ( x, C ),ϕ ( j ) ( s, C ), x, s,0)где K ( x, s, y ) ≡, (i, j = −, + ) , имеет для любойLu (ϕ (i ) ( x, C ),ϕ ( s, C ), x,0)кривой C ≡ ∂Ωi положительное решение.( ij )Из условия C1 -сшивания асимптотики на кривой C∗ получается для определения r1 (l ) линейное уравнение, в котором коэффициент при неизвестном r1 (l )dJравен с точностью до положительного множителя( x0 , C0 ) .
В силу требоваdrния E3 неизвестное r1 (l ) определяется однозначно. Члены переходного слоя более высоких порядков определяются из систем обыкновенных линейных диф(±)ференциальных уравнений, аналогичных уравнению для P1 u (η , l ) , а членыразложения (21) из уравнений, аналогичных уравнению для r1 (l ) . Таким образом, асимптотика может быть построена для произвольного порядка точностипо степеням малого параметра e .Введем определение верхнего и нижнего решения для задачи (19), (20),имеющего скачок нормальной производной на некоторой замкнутой кривой.Определение 3.1.
Функции a ( x, e ) и b ( x, e ) называются нижним и верхнимрешением задачи (19), (20) соответственно, еслиα ( x, ε ) ≤ β ( x, ε ) , при x ŒW ,α ( x, ε ), β ( x, ε ) ∈ C 0 (Ω) ∩ C1 (Ω \ C ) ∩ C 2 (Ω / Ωi ) ∩ C 2 (Ωi ) ,ε 2 Δβ ≤ L( β , β , x, ε ),ε 2 Δα ≥ L(α ,α , x, ε ),∂∂αα−≥ 0,∂r + x ∈ C ∂r − x ∈ Cx∈Ω,∂∂β−β≤ 0,∂r + x ∈ C ∂r − x ∈ C∂∂β.≤0≤ α∂n x ∈ ∂Ω∂n x ∈ ∂ΩИспользуя теорему 3.1 о дифференциальных неравенствах [1], аналогичнуютеореме 2.1, на основе конструктивного метода построения нижнего и верхнегорешений доказана следующая теорема.28Теорема 3.2.
Пусть выполнены условия E1 – E5. Тогда для достаточно малых ε существует решение задачи (19), (20), удовлетворяющее неравенствуmax u ( x, ε ) − U n ( x, ε ) ≤ Cε n+1 .Ω(23)Здесь U n ( x, e ) – частичная сумма порядка n асимптотического ряда (22), в котором кривая C∗ заменена кривой, уравнение которой является уравнением (21)с правой частью, равной частичной суммеn +1∑ ε r (l ) . Вид верхнего и нижнегоi =1iiрешений аналогичен случаю одномерной ступеньки, так как переменные l и mвходят в асимптотическое разложение решения как параметры.Заметим, что теорема 3.2 и аналогичные ей теоремы их § 2 гл.
2 не обеспечивают локальной единственности решения задачи вблизи построенной асимптотики. Локальную единственность решения задачи (19), (20) можно получить,рассмотрев полученное решение как стационарное решение соответствующейинтегропараболической краевой задачи∂u= ε 2 Δu − L(u , u, x, ε ), x ∈ Ω, t > 0,∂t∂u= 0,∂n ∂Ω(24)(25)с начальными условиями, лежащими в окрестности построенного асимптотического решения.
Доказательство асимптотической устойчивости по Ляпуновупостроенного решения задачи (19), (20), лежащего в малой окрестностиU n ( x, ε ) , как стационарного решения интегропараболической задачи (24), (25)проводится также методом асимптотических дифференциальных неравенств.Для решения интегропараболической задачи (24), (25) с начальными условиями, лежащими между верхним и нижним решениями исходной задачи (19),(20), предлагаются следующие барьерные функцииβ ( x, t , ε ) = us + ( β n − us )exp(−λt ) ,α ( x, t , ε ) = us + (α n − us )exp(−λt ) ,где us - стационарное решение задачи (24), (25), существующее вследствиеТеоремы 3.2 и удовлетворяющее неравенству (23), α n и β n – соответственнонижнее и верхнее решения n -ного порядка точности задачи (19), (20), λ > 0 –достаточно малый, зависящий от ε параметр.
Непосредственной проверкой условий для барьерных функций получим следующую теорему:Теорема 3.3. При выполнении условий E1 – E5 и достаточно малых ε существует локально единственное и асимптотически устойчивое стационар-29ное решение us задачи (24), (25), удовлетворяющее неравенствуmax us − U n ( x, ε ) ≤ Cε n .ΩВ четвертой главе диссертации изучаются решения с движущимися внутренними переходными слоями (фронтами) в начально-краевой задаче для сингулярно возмущенного интегропараболического уравнения [46]. Рассматривается следующая начально-краевая задача2∂u∂u2 ∂ u=e- e A( x, e ) - L(u , u , x, e ),M [u ] ∫ e2∂t∂x∂x0 < x < 1, t > 0, (26)∂u∂u(0, t , e ) = 0,(1, t , e ) = 0, u ( x,0, e ) = u 0 ( x, e ) ,∂x∂x(27)1где L(u , v, x, ε ) ≡ ∫ g (u ( x, t ), v( s, t ), x, s, ε )ds , ε > 0 - малый параметр, u 0 ( x, e ) - не0которая начальная функция, имеющая вид контрастной структуры типа ступеньки.
В § 2 главы 2 рассматривались стационарные решения задачи (26), (27)в случае A ≡ 0 . Целью данной главы является развитие методов, предложенныхво второй главе, на новый более сложный класс задач, получение асимптотического представления для движущейся контрастной структуры типа ступеньки(фронта) и исследование вопроса существования такого решения. Результатыданной главы могут быть также рассмотрены как расширение результатов работы [26] на нелокальные краевые задачи. Некоторые относящиеся к даннойзадаче вопросы рассматривались в работе [21], где изучались решения типадвижущихся волн для нелокальной задачи с бистабильной нелинейностью илинейным интегральным членом.
Задача (26), (27) описывает многие важныепрактические приложения. В частности, является одномерным аналогом задачивида (1), (2), возникающей в теории фазовых переходов [18].Для построения и обоснования асимптотики требуется выполнение ряда условий. Так условия F1 и F2 аналогичны условиям D1 и D2. Задача состоит втом, чтобы показать, что при некоторых дополнительных предположениях, решение задачи (26), (27) имеет вид движущегося внутреннего слоя (фронта),имеющего следующий предельный вид:lim u ( x, t , ε ) = ϕ ( x, x0 (t )),ε →0x ∈ [0,1] \ {x0 (t )},где x0 (t ) – нулевое приближение точки перехода y∗ (t , ε ) , которая ищется в виде асимптотического разложенияy* (t , e ) = x0 (t ) + e x1 (t ) + e 2 x2 (t ) + ...
,30и определяется условием пересечения решения u с некоторой гладкой функцией j (0) ( x) , такой что j ( - ) ( x, x) < j (0) ( x) < j ( + ) ( x, x) :u ( y* (t , e ), t , e ) = j (0) ( y* (t , e )).(28)В качестве такой разделяющей функции удобно выбрать функцию, являющуюся решением уравнения1∫ g (ϕ(0)( y ),ϕ ( s, y ), y, s,0)ds = 0 .0В § 2 гл. 4 строится асимптотические разложение решения с внутренним переходным слоем задачи (26), (27) в предположении, что начальная функцияu 0 ( x, e ) имеет вид фронта, то есть такой, что для малых ε она близка к некоторому решению ϕ ( x, x00 ) из семейства разрывных решений вырожденной задачи для 0 ≤ x < x00 − Δ , x00 + Δ ≤ x < 1 , где x00 – некоторая точка из интервала(0,1) , в которой в начальный момент времени локализован фронт, а Δ > 0 – некоторое малое не зависящее от ε число.
Тем самым предполагается, чтоy∗ (0, ε ) = x00 .Для построения формального асимптотического разложения начальнокраевая задача (26), (27) с условием (28) представляется в виде краевой задачидля системы двух связанных интегродифференциальных уравнений2∂u∂u2 ∂ u=e- L(u , u , x, e ), 0 < x < y* (t , e ), t > 0,eeA(x,e)∂t∂x 2∂x∂u(0, t , e ) = 0, u ( y* (t , e ), t , e ) = j (0) ( y* (t , e )) ∫ 0,∂xu ( x,0, e ) = u 0 ( x, e ),0 £ x £ y* (t , e ),2∂u∂u2 ∂ ue=e- e A( x, e ) - L(u , u , x, e ), y* (t , e ) < x < 1, t > 0,2∂t∂x∂x∂u(1, t , e ) = 0,∂xu ( x,0, e ) = u 0 ( x, e ), y* (t , e ) £ x £ 1.u ( y* (t , e ), t , e ) = j (0) ( y* (t , e )) ∫ 0,(29)(30)(31)(32)Асимптотика решений левой и правой задачи строится при помощи алгоритма, являющегося модификацией алгоритма, предложенного в § 2 гл.2 диссертации.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
