Асимптотическое исследование нелинейных нелокальных моделей типа реакция-диффузия-адвекция с пограничными и внутренними слоями (1097488), страница 4
Текст из файла (страница 4)
[25] стр.83, теорема 2.1).В качестве нулевого приближения регулярной части выбирается u0 = j ( x) .Особенностью асимптотики задачи Неймана является то, что она не содержитпограничных функций нулевого порядка, то есть P1,20 u ∫ 0.Регулярный член первого порядка находится из линейного интегральногоуравнения1u1 ( x) - Ú K ( x, s )u1 ( s )ds =0••Êˆ1= - Á Le (j ,j , x,0) - Ú Q0 gdx , - Ú Q02 gdx* ˜ Lu (j ,j , x,0) .˯00Регулярные члены разложения более высокого порядка определяются из линейных интегральных уравнений с таким же интегральным оператором, как влевой части данного уравнения, а неоднородность в правой части выражаетсячерез уже известные члены асимптотики.
В силу требования C5 и неотрицательности ядра K ( x, s ) это уравнение имеет единственное решение.Погранслойные члены первого и следующих порядков определяются из линейных дифференциальных уравнений и экспоненциально убывают приt Æ +•. Алгоритм построения формальной асимптотики может быть продолжен до произвольного порядка малости по степеням малого параметра e .Для обоснования построенного асимптотического решения применен развитый для нового класса задач асимптотический метод дифференциальных нера17венств. Приведем определение верхнего и нижнего решения для задачи (11),(12) (см. [1]).Определение 2.1. Функция b ( x, e ) ŒC 2 ((0,1)) « C 1 ([0,1]) называется верхним решением задачи (11), (12), еслиe 2 b ¢¢ £ L( b , b , x, e ), x Œ (0,1)b ¢(0, e ) £ a, b ¢(1, e ) ≥ b.Аналогично, функция a ( x, e ) называется нижним решением, если выполненынеравенства с обратным знаком.Использована теорема о дифференциальных неравенствах [1]:Теорема 2.1.
Пусть существуют функции a ( x, e ) и b ( x, e ) , являющиеся соответственно нижним и верхним решением задачи (11), (12), причемa ( x, e ) £ b ( x, e ) при x Œ[0,1] . Пусть, кроме того, функция g непрерывна вместе со своими частными производными по первому и второму аргументу иудовлетворяет условию С4 на промежутке [a , b ] . Тогда существует решениезадачи (1.1), (1.2) u ( x, e ) такое, что a ( x, e ) £ u ( x, e ) £ b ( x, e ).Применяя конструктивный метод построения нижнего и верхнего решений, доказана следующая теорема:Теорема 2.2.
Пусть выполнены условия С1, С2, С4 и С5. Тогда для достаточно малых e существует единственное решение задачи (11), (12), удовлетворяющее неравенствуmax u ( x, e ) - U n ( x, e ) £ Ce n +1 ,[0,1]где U n ( x, e ) - частичная сумма порядка n асимптотического ряда (13).Приведем вид верхнего и нижнего решения для случая n = 0a ( x, e ) = j ( x) - e ( A( x) + exp( - kx / e ) + exp( - k (1 - x) / e )),b ( x, e ) = j ( x) + e ( A( x) + exp( - kx / e ) + exp( - k (1 - x) / e )),где k – некоторая положительная постоянная, A( x) – положительное на отрезке[0, 1] решение интегрального уравнения1Lu (j ,j , x,0) y ( x) + Ú g v (j ( x),j ( s ), x, s,0) y ( s )ds = B > 0, 0 £ x £ 1 .0Здесь B – некоторая положительная постоянная.
Существование положительного решения этого уравнения гарантируется выполнением условия C5 и неотрицательностью ядра K ( x, s ) , которая есть следствие требований C2 и C4.18Далее в § 1 главы 2 рассмотрено уравнение (11) с краевыми условиями Дирихлеu (0, e ) = u 0 , u (1, e ) = u1.(14)Для построения и обоснования асимптотики требуется условие принадлежности граничных значений области влияния устойчивого корня:Условие C3.
ПустьpÚjL(u ,j , i,0)du > 0 при всех p Œ (j (i ), u i ] , i = 0, 1.(i )Теорема 2.3. Пусть выполнены условия С1 – С5. Тогда для достаточно малых ε существует решение u ( x, e ) задачи (11), (14), для которого U n ( x, e ) является равномерным на отрезке [0,1] асимптотическим приближением, причемmax u ( x, e ) - U n ( x, e ) = O(e n +1 ).[0,1]Доказательство теоремы 2 основано на теореме 2.1 о дифференциальных неравенствах. Краевые условия для верхнего и нижнего решения в случае задачиДирихле имеют следующий видa (0, e ) £ u 0 £ b (0, e ), a (1, e ) £ u1 £ b (1, e ).Верхнее и нижнее решения задачи (11), (14) представляются в видеb ( x, e ) = U n ( x, e ) + e n ( A( x) + P1nb u (t ) + P n2b u (t * )),a ( x, e ) = U n ( x, e ) + e n ( - A( x) + P1na u (t ) + P n2a u (t * )),где A( x) > 0 – определяется так же, как в предыдущем случае, а P1nb (t ) – является модифицированной пограничной функцией.В § 2 главы 2 изучаются решения с внутренним переходным слоем (контрастной структурой) [39] для задачи (11), (14).
Контрастной структурой типа ступеньки будем называть решение, удовлетворяющее следующему предельномусоотношению⎧⎪ϕ ( − ) ( x, y ), 0 ≤ x ≤ y ≤ 1,lim u ( x, ε ) = ϕ ( x, y ) = ⎨ ( + )ε →0⎪⎩ϕ ( x, y ), 0 ≤ y ≤ x ≤ 1.Асимптотическое разложение решения задачи (11), (14) ищется в следующемвиде19∞u ( x, ε ) = ∑ ε n (un ( x, y ) + Pn u (η ) + Π1nu (τ ) + Π n2u (τ ∗ )) ≡(±)(±)n =0(±)(15)(±)≡ u ( x, y, ε ) + P u (η , ε ) + Π1u (τ , ε ) + Π 2u (τ ∗ , ε ),(±)(±)где un ( x, y ) – члены регулярной части асимптотики, Pn u (η ) – члены асимптотики, описывающие внутренний переходный слой, h = ( x - y ) / e – переменная переходного слоя, y – точка перехода.
Знак " – " означает, что x < y(η < 0 ), а знак " + ", что x > y (η > 0 ). Точка перехода x = y определяется условиемu ( y, e ) = j (0) ( y ) ,(16)где j (0) ( y ) – некоторая гладкая функция, такая, чтоj ( - ) ( y, y ) < j (0) ( y ) < j ( + ) ( y, y ), y Œ[0,1] .Если решение с одним переходным слоем типа ступеньки существует, то уравнение (16) имеет единственное решение y = y∗ . Асимптотику точки переходатакже будем искать в виде ряда по степеням малого параметра ε :y* = x0 + e x1 + e 2 x2 + ...
.(17)Функции P1,2погранслойными членами асимптотики соответстn u являютсявенно на левом и правом концах отрезка [0, 1], а t = x / e , t * = (1 - x) / e – погранслойными переменными. Следуя схеме, предложенной в §1 представиминтегральный оператор I в виде, аналогичном (15)I ∫ I + PI + P1I + P 2 I .Для определения коэффициентов разложения (17) потребуем выполнения условия гладкого сопряжения членов асимптотики в точке x = y*e u ¢( y* - 0, e ) = e u ¢( y* + 0, e )(18)(множитель ε введен здесь для удобства при дальнейшем разложении производных решения в асимптотические ряды).Потребуем выполнения условия гладкости D1, аналогичного условию C1.Для члена нулевого порядка регулярной части асимптотики получим системудвух связанных нелинейных интегральных уравнений.
Следующее условие гарантирует ее разрешимость и нужные для построения и обоснования асимптотики свойства решения.Условие D2. Пусть существуют две достаточно гладких функцииj ( x, y ) и j ( + ) ( x, y ) , определенные соответственно в областях(-)W( - ) ∫ {( x, y ):0 £ x £ y £ 1} и W( + ) ∫ {( x, y ):0 £ y £ x £ 1} , которые для любого за20данного y ∈ (0, 1) удовлетворяют системе двух связанных интегральных уравненийy∫ g (ϕ(−)0( x, y ),ϕ ( s, y ), x, s,0)ds + ∫ g (ϕ ( − ) ( x, y ),ϕ ( + ) ( s, y ), x, s,0)ds = 0, 0 ≤ x ≤ y,yy∫ g (ϕ01(−)(+)1( x, y ),ϕ ( s, y ), x, s,0)ds + ∫ g (ϕ ( + ) ( x, y ),ϕ ( + ) ( s, y ), x, s,0)ds = 0, y ≤ x ≤ 1,(−)yи неравенству j ( - ) ( y, y ) < j ( + ) ( y, y ) .
Пусть также для всех x, y ∈ [0, 1] выполняются неравенства Lu (ϕ (i ) ( x, y ),ϕ ( s, y ), x,0) > 0 (i = −, + ), гдеÏÔj ( - ) ( s, y ), ( s, y ) ŒW( - ) ,j ( s, y ) = Ì ( + )(+)ÔÓj ( s, y ), ( s, y ) ŒW .В качестве разделяющей функции j (0) ( y ) удобно выбрать функцию, являющуюся решением уравнения1∫ g (ϕ(0)( y ),ϕ ( s, y ), y, s,0)ds = 0 .0В силу условия D2 функция F (u , y ) ≡ L(u ,ϕ ( s, y ), y,0) является гладкой функцией и для любого заданного y ∈ [0, 1] достигает нулевого значения хотя бы в одной точке u Œ (j ( - ) ( y, y ), j ( + ) ( y, y )) .
Поэтому существует хотя бы одна гладкаяфункция j (0) ( y ) , являющаяся решением данного уравнения.Условие D2 существенно отличает алгоритм построения асимптотики отслучая, когда решения типа ступеньки ищутся в сингулярно возмущенных задачах без интегрального члена (см., например, [35]), где его аналогом являетсяусловие наличия двух изолированных корней, и составное решение слева отточки разрыва равно одному корню, справа – другому. При этом значение решения в любой точке отрезка слева и справа от точки разрыва x = y не зависитот y . Ясно, что условие D2 является более общим и включает в себя условиесуществования составного решения для обыкновенных дифференциальныхуравнений без интегрального члена. Для построения пограничных функцийтребуется условие D3, аналогичное условию C3 § 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
