Асимптотическое исследование нелинейных нелокальных моделей типа реакция-диффузия-адвекция с пограничными и внутренними слоями (1097488), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Пусть выполнены условия A1 – A7. Тогда для достаточно малых e существует единственное решение задачи (3), (4), удовлетворяющеенеравенствуmax u (t , e ) - U 0 (t , e ) £ C e ,[0,1]где U 0 (t , e ) = uˆ (t ) + P0u (t ) .Приведем вид верхнего и нижнего решения для данного случая. Верхнее решение b (t , e ) имеет следующий видb (t , e ) = uˆ (t ) + P0u (t ) + eg + e P 1 (t ) ,2bгде g > 0 – некоторая постоянная, а P 1 (t ) – модифицированная пограничная2bфункция. Нижнее решение a (t , e ) строится в виде, отличном от верхнего решенияa (t , e ) = uˆ (t ) + P0u (t ) - eg + eP1a (t ) ,где P1a (t ) – модифицированная пограничная функция.В §2 главы 1 рассмотрена задача Коши для сингулярно возмущенного обыкновенного нелинейного интегродифференциального уравнения Фредгольмаe u ¢ = L(u, v, t , e ), 0 < t £ 1,u (0, e ) = u 0 ,1где L(u , v, t , e ) ∫ Ú g (u (t , e ), v( s, e ), t , s, e )ds .012(9)(10)Асимптотика решения задачи строится методом, аналогичным примененному в§1 данной главы, в виде разложения (5).
Будем считать, что выполнены условияB1 – B4, аналогичные условиям A1 – A4 §1. Кроме того, в случае интегрального оператора Фредгольмовского типа потребуется следующее дополнительноеусловие:Условие B5. Пусть следующее неравенство имеет положительное решениеy (t ) :1100y (t ) Ú gu (j (t ),j ( s ), t , s,0)ds + Ú g v (j (t ),j ( s ), t , s,0) y ( s )ds < 0, 0 £ t £ 1.Замечание. Достаточным условием для выполнения условия B5 является,например, требование1Úg01y(j (t ),j ( s ), t , s,0)ds + Ú g v (j (t ),j ( s ), t , s,0)ds < 0,0в этом случае требуемым решением будет положительная постоянная, илитребование на собственные значения следующего интегрального уравненияФредгольма с неотрицательным (в силу условий B2 и B4) ядром K (t , s )1Ly (t ) = Ú K (t , s ) y ( s )ds ,0гдеK (t , s ) = − 1g v (ϕ (t ),ϕ ( s ), t , s,0),∫ g (ϕ (t ),ϕ (s), t , s,0)dsu0а именно, требуется, чтобы главное позитивное собственное значение Λ 0 быломеньше единицы (см.
[25], стр.83, теорема 2.1).Заметим также, что в §1 условие B5 для интегрального оператора Вольтеррабыло следствием условий A1 – A4.В п. 2 §2 строится формальная асимптотика решения задачи (9), (10). Дляпостроения асимптотики решения применяется модификация метода пограничных функций, аналогичная предложенной в п. 2 § 1 данной главы.
В п. 3проводится обоснование асимптотики с помощью развиваемого для данногонового класса задач асимптотического метода дифференциальных неравенств[8, 9]. В п. 4 рассматривается случай, когда вырожденное уравнение (7) имеетнепрерывное негладкое (имеющее скачок производной в некоторой точкеt0 ∈ (0,1) ) решение. В отличие от случая оператора Вольтерра, вводятся дополнительные ограничения на нелинейность, и дается другое определение негладкого решения вырожденной задачи.13Как и в § 1, для обоснования построенного асимптотического решения ведущую роль играет развиваемый для нового класса задач асимптотический метод дифференциальных неравенств. Определение верхнего и нижнего решениядля задачи (9), (10) аналогично определению 1 § 1. Также в рассматриваемомслучае справедлива теорема о дифференциальных неравенствах, аналогичнаятеореме 1.1 § 1.
На основе конструктивного метода построения нижнего иверхнего решений доказана следующая теорема:Теорема 1.5. Пусть выполнены условия B1 – B5. Тогда для достаточно малых e существует единственное решение задачи (9), (10), удовлетворяющеенеравенствуmax u (t , e ) - U n (t , e ) £ Ce n +1 ,[0,1]где U n (t , e ) – частичная сумма порядка n асимптотического ряда (5).Приведем вид верхнего решения для случая n = 0b (t , e ) = j (t ) + e (u1 (t ) + y (t )) + P0u (t ) + eP1b (t ) ,где y (t ) > 0 – некоторое положительное решение неравенства1100y (t ) ∫ gu (ϕ (t ),ϕ ( s ), t , s,0)ds + ∫ g v (ϕ (t ),ϕ ( s ), t , s,0) y ( s )ds < 0, 0 < t ≤ 1,которое существует с силу требования B5.В п.
4. § 2 рассмотрена задача (9), (10) в случае, когда вырожденное уравнение имеет на отрезке [0,1] два различных корня ϕ (t ) и φ (t ) , пересекающихся внекоторой внутренней точке отрезка (т.е. ϕ (t0 ) = φ (t0 ) , t0 ∈ (0,1) ).Условие B2а . Пусть вырожденное уравнение1Ú g (u (t ), u (s), t , s, 0)ds = 0000имеет составное решение следующего вида⎧ϕ (t ), 0≤t ≤ t0 ,uˆ (t ) = ⎨⎩φ (t ), t0 < t ≤ 1,1удовлетворяющее условию Ú gu (uˆ (t ), uˆ ( s ), t , s,0)ds < 0 при 0 £ t < t0 , t0 £ t < 1 (та0кое решение мы будем называть устойчивым составным решением).Заметим, что составить решение uˆ (t ) из ϕ (t ) и φ (t ) возможно не для всякоговырожденного уравнения.
В § 2 приведен пример уравнения, для которого это14возможно сделать. Таким образом, мы имеем вырожденное решение, имеющее,вообще говоря, угловую точку при t = t0 . Наличие точки пересечения корней недает возможности построить асимптотику выше нулевого порядка для всехзначений t ∈ [0,1] , так мы не можем построить регулярные члены асимптотикивыше нулевого порядка из-за неразрешимости интегрального уравнения длярегулярных членов выше нулевого порядка при t ≥ t0 . Заменим требование B5на следующее:Условие B5а. Пусть при 0≤ t < t0 и t0 < t ≤ 1 выполнено следующее неравенство11Ú g (uˆ (t ), uˆ (s), t , s,0)ds + Ú g (uˆ (t ), uˆ (s), t , s,0)ds < 0.uv00Кроме того, нам понадобятся более сильные условия на нелинейный интегральный оператор в точке t0 :Условие B6.
Пусть выполнено неравенство11[ Ú guu (uˆ (t0 ), uˆ ( s ), t0 , s,0)ds + 2Ú guv (uˆ (t0 ), uˆ ( s ), t0 , s,0)ds +001+ Ú g vv (uˆ (t0 ), uˆ ( s ), t0 , s,0)ds ] < 0.0Условие B7. Пусть выполнено неравенство1∞00uˆ′(t0 ) − ∫ gε (uˆ (t0 ), uˆ ( s ), t0 , s,0)ds − ∫ Q0 g (t0 , ξ )dξ < 0 .Последнее неравенство следует понимать в смысле предела слева и справа приt → t0 .Теорема 1.6. Пусть выполнены условия B1, B2a, B3, B4, B5а, B6 и B7.
Тогдадля достаточно малых e существует единственное решение задачи (9), (10),удовлетворяющее неравенствуmax u (t , e ) - U 0 (t , e ) £ C e ,[0,1]где U 0 (t , e ) = uˆ (t ) + P0u (t ) .Верхнее решение и нижнее решение имеют вид, аналогичный случаю со сменой устойчивости в § 1.Во второй главе диссертации изучаются краевые задачи для сингулярновозмущенных интегродифференциальных уравнений. В § 1 рассмотрены задачи Дирихле и Неймана для обыкновенного интегродифференциального урав15нения с пограничными слоями [38]. Сначала рассмотрена вторая краевая задачадля нелинейного обыкновенного сингулярно возмущенного интегродифференциального уравнения:e 2u ¢¢ = L(u, u, x, e ),0 < x < 1,u ¢(0, e ) = a, u ¢(1, e ) = b.(11)(12)Асимптотика задачи строится с помощью модификации метода пограничныхфункций [2], предложенной в § 1 гл. 1 и обусловленной наличием интегрального члена в уравнении (11) в виде разложенияu ( x, ε ) = Σ ε n ( un ( x ) + Π1nu (τ ) + Π n2u (τ ∗ ) ) ≡n=0≡ u ( x, ε ) + Π u (τ , ε ) + Π u (τ ∗ , ε ),12(13)где un ( x) – члены регулярной части асимптотики, P1,2n u – погранслойные членыасимптотики соответственно на левом и правом концах отрезка [0,1] , гдеt = x / e ,t * = (1 - x) / e – погранслойные переменные.
Сформулируем требованияна нелинейности, входящие в интегродифференциальный оператор, которыепонадобятся для построения асимптотического разложения решения и егообоснования.Условие C1. Функция g является достаточно гладкой (При построенииасимптотики с остаточным членом порядка O(e n +1 ) достаточно потребовать, чтобы она была n + 2 раза непрерывно дифференцируема).Условие C2.
Пусть вырожденное уравнениеL(u , u , x,0) = 0, 0 < x < 1,имеет изолированный корень u = j ( x) на отрезке [0,1] , причемLu (j ,j , x,0) > 0 при x Œ[0,1] ,(условие разрешимости и устойчивости).Условие C3 будет сформулировано ниже, так как оно не требуется для построения и обоснования асимптотики задачи Неймана.Условие C4. Пусть функция g (u , v, x, s, ε ) будет монотонно невозрастающей по переменной v в некоторой области изменения этой переменнойпри любом фиксированном значении переменной u из той же области изменения, что и для второй переменной, при ( x, s ) ∈ [0,1] × [0,1] и достаточно малыхε (область, о которой идет речь в данном условии, будет уточнена в п. 3данного параграфа при обосновании асимптотики).Условие C5.
Пусть следующее интегральное неравенство имеет положительное решение y ( x) :161y ( x) - Ú K ( x, s ) y ( s )ds > 0, 0 £ x £ 1 ,0где K ( x, s ) = - g v (j ( x),j ( s ), x, s,0) / Lu (j ,j , x,0) .Заметим, что ядро данного интегрального неравенства неотрицательно в силуусловий C2 и C4. Достаточным условием для выполнения условия C5 является,например, требование выполнения неравенстваmin[ Lu (j ,j , x,0) + Lv (j ,j , x,0)] > 0,[0,1]в этом случае требуемым решением будет положительная постоянная, или требование на собственные значения следующего интегрального уравнения Фредгольма с неотрицательным ядром K (t , s )1Ly (t ) = Ú K (t , s ) y ( s )ds ,0а именно, требуется, чтобы главное позитивное собственное значение Λ 0 быломеньше единицы (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
