Асимптотическое исследование нелинейных нелокальных моделей типа реакция-диффузия-адвекция с пограничными и внутренними слоями (1097488), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Алгоритм построения пограничных функций мало отличается от алгоритма § 1.Регулярный член асимптотики нулевого порядка выбирается в следующемвидеu0 ( x, y* ) = j ( x, y* ) .Вводя в рассмотрение следующую функцию (интеграл энергии)21j (+) ( y, y)J ( y) =ÚL(u ,j ( s, y ), y,0)du ,j (-) ( y, y)определим точку перехода в нулевом приближении из следующего условия:Условие D4. Пусть существует такая точка x0 Œ (0, 1) , чтоJ ( x0 ) = 0 и J ′( x0 ) < 0 .Условие D4 обеспечивает построение гладкой функции переходного слоя в нулевом порядке асимптотики. Для регулярного члена первого порядка u1( ± ) ( x, y )разложения (15) получим систему двух связанных линейных интегральныхуравнений, разрешимость которой обеспечивается условием квазимонотонности D5, аналогичным условию C5 § 1, и следующим условиемУсловие D6.
Пусть система связанных линейных интегральных неравенствyw ( x, y ) + ∫ K(−)0( −− )yyw ( x, y ) + ∫ K(+)01( x, s, y ) w ( s, y )ds + ∫ K ( −+ ) ( x, s, y ) w( + ) ( s, y )ds > 0, 0 ≤ x ≤ y,(−)( +− )1( x, s, y ) w ( s, y )ds + ∫ K ( ++ ) ( x, s, y ) w( + ) ( s, y )ds > 0, y ≤ x ≤ 1,(−)yg v (ϕ (i ) ( x, y ),ϕ ( j ) ( s, y ), x, s,0), (i, j = −, + ) , имеет для любогогде K ( x, s, y ) ≡Lu (ϕ (i ) ( x, y ),ϕ ( s, y ), x,0)y ∈ (0, 1) положительное решение.( ij )Коэффициент x1 разложения (17) определяется из условия (18) С1 -сшиванияасимптотики решения в точке перехода, которое в первом порядке приводит клинейному уравнению относительно x1 . Коэффициент при x1 в этом линейномуравнении с точностью до постоянного множителя равен J ′( x0 ) . Следовательно, в силу требования D4 неизвестное x1 определяется однозначно.
Следующиекоэффициенты разложения (17) определяются из линейных уравнений, аналогичных уравнению для x1 . Алгоритм построения формальной асимптотики определен для произвольного порядка малости по степеням малого параметра e .При обосновании построенного асимптотического решения ведущую рольиграет асимптотический метод дифференциальных неравенств, модифицированный для рассматриваемого во втором параграфе главы 2 нового класса задач.
Приведем известное классическое определение верхнего и нижнего решения для задачи (11), (14) (см. [1]). В отличие от случая, рассмотренного в §1главы 2, нам понадобится определение верхнего и нижнего решения, котороеможет иметь скачок первой производной в некоторой точке x̂ отрезка [0, 1].22Определение 2.2. Функции a ( x, e ) и b ( x, e ) называются соответственнонижним и верхним решением задачи (11), (14), еслиa ( x, e ), b ( x, e ) ŒC ([0,1]) « C1 ([0,1] \ xˆ ) « C 2 ((0, xˆ ]) « C 2 ([ xˆ,1)) , где xˆ Œ (0,1) ,a ( x, e ) £ b ( x, e ) , при x Œ[0,1] ,e 2 b ¢¢ £ L( b , b , x, e ), e 2a ¢¢ ≥ L(a ,a , x, e ), x Œ (0,1) ,α ′( xˆ + 0, ε ) − α ′( xˆ − 0, ε ) ≥ 0 , b ¢( xˆ + 0) - b ¢( xˆ - 0) £ 0, xˆ Œ (0,1)b (0, e ) £ u 0 £ a (0, e ), b (1, e ) ≥ u1 ≥ a (1, e ).Для определенных таким образом верхнего и нижнего решений справедливатеорема 2.4 о дифференциальных неравенствах [1], аналогичная теореме 2.1,опираясь на которую, на основе конструктивного метода построения нижнего иверхнего решения доказана следующая теорема:Теорема 2.5.
Пусть выполнены условия D1 –D6 . Тогда для достаточно малых ε существует решение задачи (11), (14), удовлетворяющее неравенствуmax u ( x, e ) - U n ( x, e ) £ Ce n .[0,1]Здесь U n ( x, yn +1 , e ) – частичная сумма n -ного порядка асимптотического представления (15)nU n ( x, yn+1 , ε ) = ∑ ε n (ui( ± ) ( x, yn+1 ) + Pi u (η ) + Π1i u (τ ) + Π i2u (τ ∗ )) ,(±)i =0n +1где y = yn +1 = Â e i xi .
Для случая n = 0 верхнее и нижнее решения b ( x, e ) иi =0a ( x, e ) определены выражениямиβ ( x, ε ) = u0( ± ) ( x, yβ ) + ε u1( ± ) ( x, yβ ) + ε A( ± ) ( x, yβ ) + P0( ± )u (η β ) ++ε P1(β± )u (η β ) + Π10u (τ ) + Π 02u (τ ∗ )+ ε (Π11β u (τ ) + Π12β u (τ ∗ )),α ( x, ε ) = u0( ± ) ( x, yα ) + ε u1( ± ) ( x, yα ) − ε A( ± ) ( x, xα ) + P0( ± )u (ηα ) ++ε P1α( ± )u (ηα ) + Π10u (τ ) + Π 02u (τ ∗ ) + ε (Π11α u (τ ) + Π12α u (τ ∗ )).где yα = y1 + εδ , yβ = y1 − εδ ( δ > 0 – некоторая положительная постоянная),h b = ( x - yb ) / e , ha = ( x - ya ) / e , A( x, y ) – некоторое положительное на множестве [0, 1] \ {x = y} решение системы связанных интегральных неравенств изтребования D6.
Функции P1(b± )u (h b ) , P1a( ± )u (ha ) – модифицированные функции1,2переходного слоя, а функции Π1,21β u , Π1α u - модифицированные пограничныефункции. В п.4 § 2 приведен конкретный пример интегродифференциальнойзадачи, для которой выполнены все условия теоремы 2.5.23Далее в § 2 рассмотрен случай сбалансированной нелинейности [42]. Основное отличие в требованиях на нелинейный интегральный оператор L(u , v, x, ε )от случая, рассмотренного в этом параграфе ранее, содержится в изменениитребования D4, которое заменяется следующим условиемУсловие D4а. Пусть для любого y Œ (0, 1) выполняется равенство J ( y ) = 0 .Нелинейность, удовлетворяющая условию D4а, называется сбалансированной нелинейностью. В этом случае в нулевом приближении можно построитьгладкую функцию переходного слоя для любой точки отрезка [0,1] .
Тем самым, коэффициент x0 разложения (17) не определяется в нулевом порядкеасимптотики. Такой случай в теории сингулярных возмущений получил название критического случая. В силу требования D4а J ¢( y ) = 0 для любогоy Œ (0, 1) , то есть коэффициент при x1 в линейном уравнении для определенияx1 будет нулевым, а x0 определяется из условия разрешимости этого уравнения.
Условие D7 требует, чтобы у нелинейного уравнения для определения x0существовало решение, принадлежащее интервалу (0,1) . Неизвестное же x1определяется в следующем порядке асимптотики из условия разрешимости линейного уравнения для определения x2 , множитель при котором такой же, какпри x1 в первом порядке асимптотики, и, следовательно, тоже равен нулю. Приэтом из условия разрешимости для определения x1 получается уже линейноеуравнение. Условие D8 требует, чтобы коэффициент при неизвестном x1 в этомуравнении был отрицательным. Продолжая этот алгоритм далее, можно построить асимптотику точки перехода любого порядка.В отличие от "грубого" случая верхнее и нижнее решения для n = 0 в случаесбалансированной нелинейности имеют следующий видβ ( x, ε ) = u0( ± ) ( x, yβ ) + ε u1( ± ) ( x, yβ ) + ε 2u2( ± ) ( x, yβ ) + ε 2 A( ± ) ( x, yβ ) ++ P0( ± )u (η β ) + ε P1( ± )u (η β ) + ε 2 P2(β± )u (η β ) + Π10u (τ ) + Π 02u (τ ∗ )++ ε (Π11β u (τ ) + Π12β u (τ ∗ )) + ε 2 (Π12 β u (τ ) + Π 22 β u (τ ∗ )),α ( x, ε ) = u0( ± ) ( x, yα ) + ε u1( ± ) ( x, yα ) + ε 2u2( ± ) ( x, yα ) − ε 2 A( ± ) ( x, xα ) ++ P0( ± )u (ηα ) + ε P1( ± )u (ηα ) + ε 2 P2(α± )u (ηα ) + Π10u (τ ) + Π 02u (τ ∗ )+ ε (Π11α u (τ ) + Π12α u (τ ∗ )) + ε 2 (Π12α u (τ ) + Π 22α u (τ ∗ )).Проверив выполнение условий теоремы о дифференциальных неравенствах,получим для случая сбалансированной нелинейности теорему:Теорема 2.6.
Пусть выполнены условия D1 –D3,D4a, D5–D8. Тогда для достаточно малых ε существует решение задачи (11), (12), удовлетворяющеенеравенству24max u ( x, e ) - U n ( x, e ) £ Ce n .[0,1]В третьей главе рассмотрены решения с внутренними переходными слоямидля сингулярно возмущённых эллиптических интегродифференциальных уравнений [40, 41, 44]. А именно, изучается следующая интегродифференциальнаязадачаε 2 Δu = L(u, u , x, ε ), x = ( x1 , x2 ) ∈ Ω,∂u= 0,∂n ∂Ω(19)(20)где L(u , v, x, ε ) ≡ ∫∫ g (u ( x), v( s ), x, s )ds , Ω – замкнутая односвязная область сΩгладкой границей ∂Ω , n – внутренняя нормаль к границе ∂Ω . Под решениемтипа ступеньки мы будем понимать решение, имеющее следующий предельный вид(−)⎪⎧ϕ ( x), x ∈ Ω \ Ωi ,lim u ( x,ε ) = ⎨ ( + )ε →0⎪⎩ϕ ( x), x ∈ Ωi ,где Ωi ⊂ Ω , граница области Ωi – простая гладкая замкнутая кривая С , целиком лежащая внутри области Ω .
Введем в окрестности кривой локальную систему координат (r , l ) , где r – расстояние от точки M ( x) до кривой C по тойнормали к кривой, которая проходит через точку M , а l – координата той точки на C , из которой эта нормаль выходит. При этом будем выбирать знак rположительным, если точка M находится в области Ωi , ограниченной кривойC , и отрицательным, если в области Ω \ Ωi .
Если кривая C достаточно гладкая,а окрестность кривой достаточно мала, то нормали, выпущенные из различныхточек кривой, не пересекаются в этой окрестности. Следовательно, существуетвзаимно однозначное соответствие между координатами ( x1 , x2 ) и (r , l ) точкиM . Кривая C в локальной системе координат задается уравнением r = 0 , ауравнение неизвестной пока кривой перехода C∗ в этой системе координат будем искать в видеr = f (l , ε ) = ε r1 (l ) + ε 2 r2 (l ) + ... ,(21)где ri (l ) – достаточно гладкие периодические функции.
Переменная переходного слоя η представляет собой растянутое с коэффициентом ε расстояние откривой C∗ : η = (r − f (l , ε )) / ε . Аналогичным образом в окрестности границы∂Ω вводится локальная система координат ( ρ , m) , где ρ - расстояние от точкиM ∈ Ω до границы ∂Ω вдоль той внутренней нормали к границе, которая про25ходит через точку M , а m – координата точки границы, из которой выпущенанормаль. Погранслойная переменная τ = ρ / ε является растянутым с коэффициентом 1/ ε расстоянием от границы области ∂Ω .Асимптотическое разложение решения задачи (19), (20) будем искать с помощью модификации алгоритма метода пограничных функций, использованной в § 2, в следующем видеu ( x, ε ) = Σ ε n (un ( x, C ) + Pnu (η , l ) + Π nu (τ , m)) ≡n =0≡ u ( x, C , ε ) + Pu (η , l , ε ) + Π u (τ , m, ε ),(22)где ui ( x) – регулярные члены асимптотики, Pui (η , l ) – функции внутреннегопереходного слоя, Π iu (τ , m) – функции пограничного слоя.
Потребуем выполнение следующих условий:Условие E1. Функция g является достаточно гладкой.Условие E2. Пусть существуют две достаточно гладких функцииj ( x, C ) и j ( + ) ( x, C ) , определенные соответственно в областях(-)x ŒW( - ) ∫ W \ Wi и x ŒW( + ) ∫ Wi , которые для любой простой замкнутой кривойC ≡ ∂Ωi удовлетворяют системе двух связанных интегральных уравнений∫g (ϕ ( − ) ( x, C ),ϕ ( − ) ( s, C ), x, s,0)ds +Ω( − )∫g (ϕ ( − ) ( x, C ),ϕ ( + ) ( s, C ), x, s,0)ds = 0,Ω( + }x ∈ Ω( − ) ,∫g (ϕ ( + ) ( x, C ),ϕ ( − ) ( s, C ), x, s,0)ds +Ω( − )∫g (ϕ ( + ) ( x, C ),ϕ ( + ) ( s, C ), x, s,0)ds = 0,Ω( + }x ∈ Ω( + ) ,и неравенству j ( - ) ( x, C ) xŒC < j ( + ) ( x, C ) xŒC .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
