Асимптотическое исследование нелинейных нелокальных моделей типа реакция-диффузия-адвекция с пограничными и внутренними слоями (1097488), страница 2
Текст из файла (страница 2)
В работе дляформул принята двойная нумерация: первое число – номер параграфа (пункта),второе – порядковый номер формулы в параграфе (пункте). Объем диссертациисоставляет 198 страниц, включая 8 страниц цитированной литературы.Содержание работы.Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, научная новизна полученных результатов, а также кратко изложено содержание и основные результаты работы.В первой главе изучаются задачи Коши для сингулярно возмущенного интегро-дифференциального уравнения типа Вольтерра и Фредгольма, которыеописывают нелокальные модели, например, в биологии при описании распространения инфекционных болезней [22, 23].
Рассмотрен случай, когда вырожденное уравнение имеет изолированное решение, и случай, когда решение вырожденного уравнения имеет угловую точку (т.н. случай со сменой устойчивости). Результаты, представленные в данной главе, опубликованы в работах [43,45]. При построении асимптотики решения используется метод пограничных6функций [2], в котором, в отличие от случая обыкновенных дифференциальныхуравнений, вводятся дополнительные члены в разложение нелинейности уравнения, порождаемые интегральным оператором.
Для обоснования результатаиспользуется развиваемый для нового класса задач асимптотический методдифференциальных неравенств, предложенный в свое время Н.Н. Нефедовымдля обоснования асимптотических разложений решений сингулярно возмущенных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений вчастных производных [8, 9].В первом параграфе главы 1 рассматривается начальная задача Коши длянелинейного обыкновенного сингулярно возмущенного интегродифференциального уравнения типа Вольтерраe u ¢ = L(u , u , t , e ),0 < t £ 1,(3)tгде L(u, v, t , e ) ∫ Ú g (u (t , e ), v( s, e ), t , s, e )ds + f (u , t ,e ) , ε > 0 - малый параметр,0u (0, e ) = u 0 .(4)Задача (3), (4) используется в приложениях как нелокальная модель реакциидиффузии в пространственно неоднородных средах, учитывающая эффектыобратной связи и нелокальных взаимодействий.
Изучается случай, когда вырожденное нелинейное интегральное уравнениеL(u , u , t ,0) = 0имеет изолированное гладкое решение, и случай, когда есть пересекающиесягладкие решения. В последнем случае рассматривается ситуация, когда происходит так называемая смена устойчивости, и решение вырожденного уравнения, приближающее решение исходной задачи, имеет, вообще говоря, угловуюточку при некотором значении аргумента t = t0 ∈ (0,1) . Для случая со сменойустойчивости развиваются идеи изучения таких задач в различных классахдифференциальных уравнений (см. [24] и ссылки, приведенные в этом обзоре)на новый класс интегродифференциальных задач. Отметим, что в случае смены устойчивости решение имеет «слабый» внутренний слой (скачок производной), объясняющийскачок скорости химической реакции в интегродифференциальной модели реакции-диффузии аналогично тому, как это было вдифференциальных моделях.
Первый параграф состоит из следующих разделов. В разд. 2 строится формальная асимптотика решения задачи (3), (4) в случае гладкого устойчивого решения, в разд. 3 проводится обоснование асимптотики для данного случая с помощью развиваемого для нового класса задачасимптотического метода дифференциальных неравенств [8, 9]. В разд. 4 § 1рассмотрен случай со сменой устойчивости.7Для построения асимптотики решения применяется модифицированная схема метода пограничных функций [2], предложенная впервые в [38].
Асимптотика решения задачи строится в виде формального разложения∞u (t , ε) = ∑ ε n (un (t ) + Π n u (τ )) ≡ u (t , ε) + Πu (τ , ε),(5)n=0где un (t ) члены регулярной части асимптотики, P n u (t ) – погранслойные члены асимптотики, t = t / e – погранслойная переменная. Модификация состоит вtтом, что интегральный оператор I (u , t , e ) ∫ Ú g (u (t ), u ( s ), t , s, e )ds нужно пред0ставить в виде, аналогичном (5)I ∫ I + PI .(6)Для этого подынтегральную функцию g нужно представить в виде болеесложном, чем разложение (5).
Это представление подробно описано в п. 2 § 1.Задача (3), (4) рассматривается при выполнении следующих условий:Условие A1. Функции f и g являются достаточно гладкими (При построении асимптотики с остаточным членом порядка Ο(ε n+1 ) достаточнопотребовать, чтобы они были n + 2 раза непрерывно дифференцируемы).Условие A2. Пусть вырожденное уравнениеL(u , u , t ,0) = 0(7)имеет изолированный корень u (t ) = j (t ) на отрезке [0,1], иLu (j (t ),j ( s ), t ,0) < 0 при t Œ[0,1] ,tгде Lu (ϕ (t ),ϕ ( s ), t ,0) ≡ f u (ϕ (t ), t ,0) + ∫ gu (ϕ (t ),ϕ ( s ), t , s,0)ds (условие устойчиво0сти корня вырожденного уравнения).Условие A3.
Начальное условие u 0 принадлежит области влияния устойчивого корня j (t ) , т.е. задачаdu= f (u (τ ),0,0), τ > 0,dτu (0) = u 0 ,имеет решение u = u (τ ), причем u (τ ) → ϕ (0) при τ → ∞.8Условие A4. Пусть функция g (u , v, t , s, ε ) будет монотонно неубывающейпо переменной v в некоторой области изменения этой переменной при любомфиксированном значении переменной u из той же области изменения, что идля второй переменной, при (t , s ) ∈ [0,1] × [0,1] и достаточно малых ε (так называемое условие квазимонотонности, область, о которой идет речь в данномусловии, будет уточнена в Теореме 1.2 ).Регулярный член асимптотики нулевого порядка является решением нелинейного интегрального уравненияL(u0 , u0 , t ,0) = 0 .В силу условия A2 можно выбрать в качестве его решения u0 (t ) = ϕ (t ) .
Погранслойный член нулевого порядка определяется из нелинейного дифференциального уравненияP0u ¢ = f (j (0) + P 0u (t ),0,0),t > 0,с дополнительными условиямиP0u (0) = u 0 - j (0),P0u ( +•) = 0.Условие A3 гарантирует разрешимость данной задачи Коши, а условие A2 –экспоненциальную оценку пограничной функцииP0u (t ) £ C exp( -kt ), t ≥ 0 ,(8)где C и κ - некоторые положительные постоянные.Регулярные члены первого и следующих порядков находятся из линейныхинтегральных уравненийtLu (j ,j , t ,0)ui (t ) + Ú g v¢ (j (t ),j ( s), t , s,0)ui ( s )ds = pi (t ) ,0где pi (t ) определяются через уже известные члены асимптотики ( i = 1, 2, ... ). Всилу свойств интегрального оператора Вольтерра эти уравнения однозначноразрешимы. Погранслойные члены первого и следующих порядков вблизи начальной точки t = 0 определяются из линейных дифференциальных задачPiu ¢ = fu (j (0) + P0u (t ),0,0)Piu + p i (t ), t > 0, Piu (0) = -ui (0),где функции p i (t ) выражаются через уже определенные члены асимптотики( i = 1, 2,...
). Для погранфункций Piu (t ) также справедлива экспоненциальнаяоценка, аналогичная оценке (8). Таким образом, построена формальная асим-9птотика решения задачи (3), (4) с остаточным членом порядка O(e n +1 ) , где n произвольное натуральное число.Обоснование построенного асимптотического разложения решения задачи(3), (4) проведено развиваемым в диссертации асимптотическим методом дифференциальных неравенств. Приведем классическое определение верхнего инижнего решения для задачи (3) ,(4) (см.
[1]).Определение 1.1. Функция β (t , ε ) ∈ C1 ((0,1]) ∩ C ([0,1]) называется верхнимрешением задачи (3), (4), еслиe 2 b ¢ - L( b , b , t , e ) ≥ 0, t Œ (0, 1),b (0, e ) ≥ u 0 .Аналогично, функция a (t , e ) называется нижним решением, если выполненынеравенства с обратным знаком.При обосновании асимптотики используется следующая известная теоремао дифференциальных неравенствах [1].Теорема 1.1.
Пусть существуют функции a (t , e ) и b (t , e ) , являющиеся соответственно нижним и верхним решением задачи (3), (4), причемa (t , e ) £ b (t , e ) при t ∈ [0,1] . Пусть, кроме того, функция g непрерывна вместесо своими частными производными по первому и второму аргументу и удовлетворяет условию A4 на промежутке [α , β ] .
Тогда существует единственное решение задачи (3), (4) u (t , ε ) такое, чтоα (t , ε ) ≤ u (t , ε ) ≤ β (t , ε ).На основе конструктивного метода построения нижнего и верхнего решенийдоказана следующая теорема:Теорема 1.2. Пусть выполнены условия A1 – A4. Тогда для достаточно малых e существует единственное решение задачи (3), (4), удовлетворяющеенеравенствуmax u (t , e ) - U n (t , e ) £ Ce n +1 ,[0,1]где U n (t , e ) - частичная сумма порядка n асимптотического ряда (5).Приведем вид верхнего решения для случая n = 0b (t , e ) = j (t ) + e (u1 (t ) + w(t )) + P0u (t ) + eP1b (t ) ,где w(t ) > 0 – некоторое положительное решение неравенства10tLu (ϕ ,ϕ , t ,0) w(t ) + ∫ g v (ϕ ,ϕ , t , s,0) w( s )ds < 0,0 < t ≤ 1.0Показано, что положительные решения денного неравенства существуют привыполнении условия A4. Функция P1b (t ) – модифицированная пограничнаяфункция.В случае произвольного n соответствующие нижнее и верхнее решенияαn+1 и βn+1 получаются из такой же модификации U n+1 (t , ε) – частичной суммыпорядка n + 1 асимптотического ряда (5).Далее в первом параграфе рассмотрена задача (3), (4) в случае, когда вырожденное решение имеет на отрезке [0,1] два различных корня ϕ (t ) и φ (t ) , пересекающихся в некоторой внутренней точке отрезка (т.е.
ϕ (t0 ) = φ (t0 ) , t0 ∈ (0,1) ).Условие A5. Пустьϕ (t ) > φ (t ) при 0 ≤ t < t0 , ϕ (t ) < φ (t ) при t0 < t ≤ 1 ,причем, выполнены следующие условия устойчивости корнейLu (j ,j , t ,0) + Lv (j ,j , t ,0) < 0 при 0 £ t < t0 ,Lu (j ,j , t ,0) + Lv (j ,j , t ,0) > 0 при t0 < t ≤ 1 ,Lu (φ, φ, t ,0) + Lv (φ, φ, t ,0) > 0 при 0 ≤ t < t0 ,Lu (φ, φ, t ,0) + Lv (φ, φ, t ,0) < 0 при t0 < t ≤ 1 ,tгде Lv = ∫ g v ds .0Составим следующее решение вырожденного уравнения⎧ϕ (t ), t ≤ t0 ,uˆ (t ) = ⎨⎩φ (t ), t ≥ t0 .Определение 1.2. Решение uˆ (t ) называется устойчивым составным решением.Таким образом, мы имеем вырожденное решение, имеющее, вообще говоря,угловую точку при t = t0 .
Наличие точки пересечения корней не позволяет построить асимптотику выше нулевого порядка для всех значений t ∈ [0,1] . Крометого, нам понадобятся более сильные условия на интегральный оператор L вточке t0 :Условие A6. Пусть выполнено неравенство11[ Luu (uˆ (t0 ), uˆ ( s ), t0 ,0) + 2 Luv (uˆ (t0 ), uˆ ( s ), t0 ,0) + Lvv (uˆ (t0 ), uˆ ( s ), t0 ,0)] < 0 .Условие A7. Пусть выполнено неравенство∞uˆ′(t0 ) − Lε (uˆ (t0 ), uˆ ( s ), t0 ,0) − ∫ Q0 g (t , ξ )dξ < 0 ,0где Q0 g (t , x ) = g (j (t ),j (0) + P0u (x ), t ,0,0) - g (j (t ),j (0), t ,0,0) .Последнее неравенство следует понимать в смысле предела слева и справа приt → t0 .В качестве u0 (t ) берется устойчивый вблизи начальной точки кореньϕ (t ) .Теорема 1.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
