Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов (2002) (1095939), страница 24
Текст из файла (страница 24)
(3.3) » ! О 121 Рис. 3.4. Дискретизированиый сигнал в виде лоследовательности дельта-Функций ! ЗАМЕЧАНИЕ Термин вднскрстнзнрованныйь в данном контексте подчеркивает, что последовательность отсчетов получена именно в результате дискретизации аналогового сигнала. Так как функция Ь(г — ЙТ) равна нулю всюду, кроме момента г - лТ, можно заме- нить в выражении (З.З) константы з(лТ) на исходный непрерывный сигнал з(г): з„(г) = з(г) ~Ь(г-еТ). (3.4) Далее заметим, что сумма, входящая в выражение (ЗА), является периодическим сигналом, а потому может быть представлена в виде ряда Фурье.
Коэффициенты этого ряда, согласно (1.9), равны С„= — ~Ь(г)е «'"'Й = —. Т гд Т В формуле (3.5) было учтено, что в интервал интегрирования ( — Т/2, Т/2) попадает только одна дельта-функция, соответствующая я - О. Таким образом, периодическая последовательность дельта-функций может быть представлена в виде комплексного ряда Фурье (1.8): ХЬ(т — йт)= 1 Х «'"г, (3.6) з- Т„.
где го„- 2кн/Т. Подставив (3.6) в (3.4), получим .(г)= — Х ""' =- Х (т) "'"' з(г) ";„„, 1 Т Умножение сигнала на ехр(до„г) соответствует сдвигу спектральной функции на от„, поэтому спектр дискретиэированного сигнала можно записать следующим образом: 1 ./ 2кп'1 5,(ге) = — ~~' 5~ го- — ). (3.7) Таким образом, спектр дискретизированного сигнала представляет собой бесконечный ряд сдвинутых копий спектра исходного непрерывного сигнала з(г) (рис. 3.5). Расстояние по частоте между соседними копиями спектра равно частоте дискретизации «т, - 2к/Т.
Следует также отметить, что из-за наличия в формуле (3.7) множителя 1/Т спектр дискретиэированного сигнала имеет размерность, совпадающую с размер- 1ЗЗ Спектр дискретного сигнала постыл сигнала (как уже говорилось, это связано с тем, что функция Ь(г) имеет размерность частоты). 0 е,!2 кь~2 Рис. З.В. Спектр дискретизироеанного сигнала Характер спектра дискретизированного сигнала еше раз демонстрирует частотно-временную дуальность преобразования Фурье: 0 периодический сигнал -к дискретный спектр; Ы периодический спектр -+ дискретный сигнал.
В начале данного раздела мы получили формулу (3.2), позволяющую рассчитать спектр последовательности отсчетов (х(я)), никак не связывая эти отсчеты с аналоговым сигналом. Только что полученная формула (3.7) предполагает, что отсчеты (х(я)1 получены путем дискретизации аналогового сигнала з(г), и показывает связь между спектрами дискрегизированного и аналогового сигналов. Следует подчеркнуть, что эти две формулы дают одинаковый результат. Отсюда следует еше один важный факт. Соединить отсчеты (х(я)1 для получения аналогового сигнала можно произвольным образом, В каждом случае аналоговый сигнал будет, разумеется, иметь свой спектр. Однако результат суммирования сдвинутых копий спектров по формуле (3.7) всегда будет одним и тем же, поскольку определяется только значениями дискретных отсчетов (х(я)» - (з(я7)) и формулой (3.2).
Рисунок 3.5 наглядно демонстрирует и способ восстановления непрерывного сигнала по дискретным отсчетам, Для этого необходимо пропустить дискретный сигнал через идеальный фильтр нижних частот (ФНЧ) с частотой среза, равной половине частоты дискретизации. АЧХ такого фильтра показана на рис. 3.5 пунктиром. Очевидно, что точное восстановление сигнала возможно, если сдвинутые копии спектра не перекрываются. Из рис. 3.5 видно, что для этого необходимо, чтобы частота дискретизации как минимум в два раза превышала верхнюю граничную частоту в спектре сигнала: отл ~ 2тев (3.8) Спектральное представление дискретного сигнала позволяет объяснить появление ложттых частогп (а!1аз(пй), речь о которых шла в разделе «Частота Найквиста» этой главы, Пусть дискретизации подвергается гармонический сигнал с час- 1З4 Глава 3, дискретные сигналы тотой гоо, превышающей частоту Найквиста, но меньшей частоты дискретизации.
Спектр такого сигнала показан на рис. 3.6 сверху. Сдвинутые копии спектра, возникающие при дискретизации, создают попадающие в полосу восстановления (от нуля до частоты Найквиста) спектральные составляющие с частотой от, — ото (рис. 3.6, снизу), Спектры, получающиеся после дискретизации гармонических сигналов с частотами гоо и год — ото, оказываются идентичными. Данный рисунок иллюстрирует в частотной области процесс дискретизации гармонического сигнала, показанный ранее на рис. 3.3.
-2ад+ао -ад -ао -ад+во О ад-ао ао ад 2ад Рис. 3.3. Спектры аналоговой (сверку) и дискретизированной (снизу) синусоиды с частотой, превышающей частоту Найквиста В случае произвольного сигнала, если условие (3.8) не выполняется, сдвинутые копии спектра будут накладываться друг на друга, что приведет к неизбежным искажениям при восстановлении непрерывного сигнала (рис, 3.7). Рис.
3.7. Перекрытие сдвинутых копий опектра при нвдоотаточно выоокой частоте дискретизации Эти искажения вызваны тем, что спектральные составляющие сигнала с частотами, превышающими частоту Найквиста, равную год/2, не могут быть восстановлены правильно — вместо этого они вызывают наложение «хвостов» соседних сдвинутых копий спектра и появление ложных частот.
Если подлежащий дискретизации сигнал может содержать спектральные составляющие с частотами, превышающими частоту Найквиста, полезно предварительно пропустить его через ФНЧ с частотой среза, равной частоте Найквиста 135 Спектр дискретного сигнала (рис.
3.8). При этом все равно будут потеряны высокочастотные составляющие — сохранить их можно лишь путем повышения частоты дискретизации. Однако в этом случае благодаря отсутствию наложения «хвостов» не произойдет появления ложных частот н диапазон частот О...го,/2 будет представлен в дискретном сигнале без искажений. в Рис. З.В. При дискретизации сигнала, оодвржащвго высокочастотные составляющие (в), полезно пропустить вго через ФНЧ (б), чтобы избежать появления ложных частот (в) Влияние формы дискретизирующих импульсов Запишем выражение (3.3) в более общей форме, используя вместо дельта-функций импульсы зз(т) произвольной формы: 1З6 Глава 3, дискретные сигнвлы (3.9) Получить выражение для спектральной функции сигнала (3.9) будет проще всего, если рассмотреть этот сигнал как результат прохождения последовательности дельта-функций (З.З) через линейную стационарную систему с импульсной характеристикой з,(г).
Действительно, при этом каждая из дельта-функций в (3.3) будет порождать на выходе цепи сигнал зв(г) с соответствующими временной задержкой и амплитудным множителем, так что в результате получится именно выражение (3.9). Поскольку при прохождении сигнала через линейную систему с постоянными параметрами его спектр умножается на комплексный коэффициент передачи этой системы (см. главу 2), спектр сигнала (3.9) будет отличаться от выражения (3.7) лишь дополнительным множителем — спектром импульса я,(г): (3.10) Итак, отличие формы дискретизирующих импульсов от дельта-функций вызывает мульклилликативные искажения спектра дискретного сигнала. Спектральная функция импульса, имеющего конечную энергию, затухает с ростом частоты, поэтому возникающие при дискретизации сдвинутые копии спектра сигнала з(г) оказываются ослабленными.
Рассмотрим важный с практической точки зрения случай, когда зр(Г) представляет собой прямоугольный импульс с единичной амплитудой и длительностью, равной периоду дискретизации (рис. 3,9, слева). В данном случае дискретный сигнал приобретает ступенчатую форму, что характерно для сигнала на выходе ПАП перед сглаживающим фильтром (см. рис.
3.2). Искажения спектра при этом описываются множителем 5 (а) следующего вида: Яв(ет) = ~ вв(Г)е ' й=Т вЂ” е ' Гйп(аТ/2) пт тлТ~/2 График модуля функции 5 (а) приведен на рис. 3.9 справа. Спад амплитудного спектра на частоте Найквиста, равной я/Т, составляет — = — = — и 0637 ы-39дБ. ~ Б, (х/Т)~ Гйп(я/2) 2 15 (О)! я/2 я В качестве примера на рис. 3.10 приведены результаты дискретизации треугольного импульса дельта-функциями и рассмотренными прямоугольными импульсами. Из графиков видно, что ЦАП сам по себе является фильтром нижних частот, однако с весьма невысокой степенью подавления сдвинутых копий спектра. Кроме того, поскольку АЧХ такого фильтра весьма далека от прямоугольной, он обладает сильной неравномерностью в полосе пропускания и заметно ослабляет высокочастотные составляющие сигнала (на частоте Найквиста ослабление составляет почти 4 дБ), Теорема Котельникова О т Рис.
3.9. Прямоугольный дискрвтизирующий импульс (слева) и его амплитудный спектр (справа) 4и)( О а (Зк1(и)( вм(с) (бю(и)( к г(т) е Рис. 3. 10. Дискретизация треугольного импульса (слава — сигналы, справа — спектры): а — исходный аналоговый сигнал, б — дискретный сигнал в виде последовательности дельта-функций, в — ступенчатый сигнал (пунктирной линией показана форма амплитудного спектра дискретизирующих импульсов) Теорема Котельникова В начале данной главы уже было сформулировано утверждение о том, что некоторые сигналы могут быть без потерь информации представлены своими дискретными отсчетами. Полученное в предыдущем разделе выражение длд спектра Глава 3.
дискретные сигналы ) 138 дискретизированного сигнала позволяет выделить тот класс сигналов, для которых это возможно, и описать способ такого восстановления. Согласно (3.7), спектр дискретизированного сигнала представляет собой сумму сдвинутых копий спектра исходного сигнала, при этом шаг сдвига равен частоте дискретизации го,. Из рис. 3.5 видно, что если в спектре аналогового сигнала не содержится составляющих с частотами, превышающими частоту Найквиста (от„/2), то сдвинутые копии спектра не будут перекрываться. В этом случае использование идеального ФНЧ с прямоугольной АЧХ позволит выделить исходную (не- сдвинутую) копию спектра, сосредоточенную в окрестностях нулевой частоты, и, таким образом, в точности восстановить исходный аналоговый сигнал.
АЧХ идеального ФНЧ, восстанавливающего аналоговый сигнал, приведена на рис. 3.11 слева. Коэффициент передачи в полосе пропускания равен Т, а не единице, чтобы компенсировать множитель 1/Тв формуле (3.7). С помощью обратного преобразования Фурье найдем импульсную характеристику фильтра (рис. 3.11 справа): ) (3.11) Гйц К— Й(г) = Т -кгг 0 ягг и Рис. 3.11. Амплитудно-частотная (слева) и импульсная (справа) характеристики идеального восстанавливающего фильтра Дискретизированный сигнал (3.3) представляет собой сумму дельта-функций. При прохождении такого сигнала через восстанавливающий ФНЧ каждая дельта-функция породит на выходе соответствующим образом сдвинутую и масштабированную копию импульсной характеристики фильтра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
