Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов (2002) (1095939), страница 20
Текст из файла (страница 20)
далее рис. 2.7, а). АЧХ фильтра Чебышева первого рода описывается следующим образом: К(го) = 1 ,6 7г'( гч~' Здесь юв — частота среза, Т„(х) — полином Чебышева и-го порядка, и — порядок фильтра, в — параметр, определяющий величину пульсаций АЧХ в полосе пропускания. 108 Глава 2. Аналоговые системы Полипом Чебышева Т,(т) при ~х~ < 1 колеблется в диапазоне -1 ...
ч-1, а при (х! > 1 неограниченно возрастает по абсолютной величине, Поэтому АЧХ фильтра Чебышева первого рода в полосе пропускания (прн ~~го( < ота) колеблется между значениями 1/Д+ е' и 1, а вие полосы протгускания (при )от( > ша) монотонно затухает до нуля (см. далее рис. 2.7, б), Коэффттцгтснт передачи на нулевой частоте равен 1 при нечетном порядке фильтра и 1/,/( + с' — прн четном.
На частоте среза коэффиписнт передачи фильтра равен 1/Д + ь', то есть уровню пульсаций АЧХ в полосе пропускания. При ст — н сс АЧХ стремится к нулю. По сравненшо с фильтром Баттерворта того же порядка фильтр Чебышева обеспечивает более крутой спад АЧХ в области перехода от полосы пропускания к полосе задерживания. Значение параметра с и уровень пульсаций )тп (в децибелах) связаны. следуюшпм образом: Лп = 20!я(ч(+ е') = 101д(1+ св) дБ, При от — н с АЧХ фильтра Чебышева первого рода является максимально плоской.
В МАТ1.АВ фильтр-прототип Чебьппева первого рода рассчитывается с помогцью функции сюеЬ1ар; [а. р, к) = снеЬ1ар(г,. кр) Здесь и — порядок фильтра, йр — уровень пульсаций в полосе пропускания (в децибелах), На рис. 2.7 показано расположение на комплексной плоскости полюсов фильтра Чебышева первого рода 5-го порядка с уровнем пульсаций 0,5 дБ, а также его АЧХ и ФЧХ: » [а, р, к) = соеЬ)ар(5. 0.5); 1 нули и полюсы прототипа » рто((р, 'к') Х граФ~к оасполоиениЯ полюсоа » акта есна) » ак)з([-1.5 1.5 -1 5 1.51) » н = 0 0.01:5: » [Ь. а) ар20((г. р, К); Х коаФФи иенти Функции передачи » ь = ггеоз(ь, а.
и); 1 конппексныц козФФиьиент передачи » ттццге » Ж граФик АЧХ » р)ат(н, аоз(Ь)), цшс » Гтциге » Ж граФик ФЧХ » р)ос(н, опнгар(гпц)е(Ь))). цг Ш 109 Функции МАТ1АВ для расчета линейных цепей 0.5 -1.5 -1.5 -1 -0.5 0 0,5 1 а 0.9 О.В 0.7 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 2 3 б 2 3 4 5 в 0 1 Рис. 2.7. Характеристики фильтра Чебышева первого рода 5-го порядка с уровнем пульсаций в полосе пропускания 0,5 дБ: а — располохение полюсов на комплексной плоскости, б — АЧХ, а — ФЧХ 11О Глава 2.
Аналоговые системы Фильтр Чебышева второго рода Функция передачи фильтра Чебышева второго рода (СЬеЪувЬеч суре П 61сег), в отличие от предыдущих случаев, имеет и нули, и полюсы (рис, 2.8, а). Она связана с функцией передачи фильтра Чебышева первого рода следующим абразом: Н (в) -1 — н1(1м. Здесь Н,(в) и Н,(в) — функции передачи фильтров-прототипов Чебышева первого и второго рода соответственно.
Полюсы функции передачи фильтров-прототипов Чебышева первого и второго рода (ри и ри соответственно) связаны друг с другом соотношением 1 Ри Рп По этой причине фильтры Чебышева второго рода называют еще инверсными фильтрами Чебышева (шчегве СЬеЬувЬеч 61сег). АЧХ фильтра Чебышева второго рода описьвается следующим образом: К(ш) = 1 Здесь сое — частота среза, Т„(х) — полипом Чебышева п-го порядка, н — порядок фильтра, е — параметр, определяющий величину пульсаций АЧХ в полосе зздерживания. В результате указанного выше преобразования функции передачи АЧХ фильтра Чебышева второго рода ведет себя следующим образом: в полосе пропускания она монотоннозатчхает, а в полосе задерживания колеблется между нулем и значением 1/41+ ез (рис.
2.8, б). ВНИМАНИЕ Частотой среза фильтра Чебышева второго рода считается ие конец полосы пропускания, а начало полосы заоерживания. Коэффициент передачи фильтра на нулевой частоте равен 1, на частоте среза— заданному уровню пульсаций в полосе задерживания.
При ш -ь о коэффициент передачи равен нулю при нечетном порядке фильтра и уровню пульсаций — при четном. Значение параметра е и уровень пульсаций Я, (в децибелах) связаны следующим образом: Я, - 20 18(т11+ е' ) - 10!8(1 + з') дБ, .=ДО" -!. При оз - 0 АЧХ фильтра Чебышева второго рода является максимально плоской. 111 Функции МАТьАВ для расчета линейных цепей 0,5 -2 -2 -1 0 1 2 в 0,0 0.5 0.7 0.5 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 О 0 2 3 4 б б 0.5 -2 -2.
-4.5 0 1 2 3 в Рис. 2.8. Характеристики фильтра Чебышева второго рода 5-го порядка с уровнем пульсаций в полосе задерживания 20 дБ: в — расположение нулей и полюсов на комплексной плоскости. б — АЧХ, в — ФЧХ 1фг Глава 2. Аналоговые системы В МАТЮКАВ фильтр-прототип Чебышева второго рода рассчитывается с помощью функции сПеЬ2ар: (г р, Х) = спеЬ2ар(п, яв) Здесь и — порядок фильтра, Яв — уровень пульсаппй в полосе задерживания (в децибелах). На рпс.
2.8 показано расположение на комплексной плоскости полюсов фильтра Чебышева второго рода б-го порядка с уровнем пульсаций 20 дБ, а также его АЧХ и ФЧХ; » (г, р, И1 - спеЬ2ар(5, 20): Х » р1ог(р, 'х') Х » По10 оп » р1ог(г, 'о') х » По1С оте » ах;в еаоа1 » ахтв((-2 2 -2 2)) » н - 0:0.0):5: т» (Ь а] = гр2т1(г, р, » П = тгесв(Ь, а, ит; » Пйаге » р1от(н, аЬ5(П)), Ягто » ттцоге » р1от(И, Слыгар(ал91Е(П))), фпт лупи л попаси прототипа гоафик распопожениЯ поносов грасии распопожениЯ нулей коэффициенты функсли передачи конппексный ковффициент передачи графлк АЧХ л Ж годфлк ФЧХ Эллиптический фильтр 1 К(го) = ,~(ч- ав т(,,' (от/тл„, Е ) Здесь тот1 — частота среза, и — порядок фильтра, (2,,(...) — рациональная функция Чебышева и-го порядка, в и Š— параметры, оттределтнощие величину пульсаций в полосах пропускания и задержпвания.
Эллиптические фильтры (фильтры Кауэра; английские термины — с!1(рг(с 6!тег, Саиег 61сег) в некотором смысле объединяют в себе свойства. фильтров Чебышева первого и второго рода, поскольку АЧХ эллитггпческого фильтра имеет пульсации заданной величины как в полосе пропугкания, гак н в полосе задерживания (рис. 2.9, 6). За счет этого удается обеспечить максимально возможнуто (при фиксированном порялке фильтра) крутизну ската АЧХ, то есть переходной зоны мсжлу полосами пропускания и задерживапия.
Функция передачи эллиптического фильтра имеет как полтосы, так н нули. Нули, как и в случае фильтра ь1соы шева второго рода, являются чисто мнимыми и образутот комплексно-сопряженные пары (рпс. 2.9, а). Количество нулей функции передачи равно максималы юму четному числу, не превосходящему порядка фильтра. АЧХ эллиптического фильтра описывается следующей формулой: Функции МАТ1.АВ для расчета линейных цепей 1.5 0.5 .5 -1 -05 0 05 1 .5 в 0.9 0.8 0.7 0.5 0,4 0,3 0,2 0.1 0 0 2 3 4 5 б -8 0 4 5 2 3 в Рис. 2.9.
Характеристики эллиптического фильтра 5-го порядка с уровнем пульсаций в полосе пропускания 0,5 дБ и в полосе задерживания 20 дБ: а — расположение нулей и полюсов на комплексной плоскости, б — АЧХ, в — ФЧХ 114 Глава 2. Аналоговые системы В МАТ[.АВ эллиптический фильтр-прототип рассчитывается с помощью функции е111рар: [2, р, к) - е111рар(п, йр, йз) Здесь и — порядок фильтра, йр — уровень пульсаций в полосе пропускания, йв— уровень пульсаций в полосе задерживания. Уровни пульсаций указываются в децибелах. На рис. 2.9 показано расположение на комплексной плоскости нулей и полюсов эллиптического фильтра 5-го порядка с уровнем пульсаций 0,5 дБ в полосе пропускания и 20 дБ в полосе задерживания, а также его АЧХ и ФЧХ: » [г, р, Х] - е111рар(5.
0.5, 20); Ж нули и полюсы прототипа » р1от(р, 'х'] Ж график расположениЯ полюсов » Ьо1о оп » р1от(т, 'о') Ж график расположениЯ нулей » Ь01т! Отт » ахтз еоца) » ах15([-1.5 1.5 -1.5 1.53) » и - 0:0.01:5: » [Ь, а3 - гр2[т(г, р. Х): Ь - Ггецз(Ь, а, и); » Г1дцге » р1от(и, аЬ5(Ы ), дг1О Ж график АЦХ » т1дцге » р1от(и, цпигар(алд1е(П))), дг1О Ж график ЮЧХ Ж коэффициенты функции передачи Ж коиплексный коэффициент передачи Н(5) = ото тто5 о-о Коэффициенты полинома знаменателя рассчитываются по следующей формуле: (2п — Й) ! 2" '[т!(л-[т)! Фильтр Бесселя В отличие от фильтров предыдущих типов, фильтры Бесселя (Вевзе! 6!сег) не аппроксимируют прямоугольную АЧХ вЂ” их АЧХ (рис.
2.10, б) по форме близка к гауссовой кривой (точнее, стремится к ней с ростом порядка фильтра). Прак- тическая ценность фильтров Бесселя определяется тем, что для них зависимость группового времени задержки от частоты является максимально гладкой в точке от - 0 и групповая задержка очень мало меняется в полосе пропускания. Функция передачи фильтра Бесселя имеет только полюсы, лежащие на окруж- ности с центром в положительной области вещественной оси (рис. 2.10, а), Сама функция передачи имеет следующий вид: 2~5 Функции МАТ1.АВ для расчета линейных цепей 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0,2 -0.4 -0.8 -0.6 -1 -1 -0.8 0 0.8 в 0.8 0.7 О.В 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 2 3 4 8 б 0 В 3 4 0 1 2 8 в Рис. 2.10.
Характеристики фильтра Бесселя 8-го порядка: в — расположение полюсов на комплексной плоскости, б — АЧХ, в - — ФЧХ 11О Глава 2. Аналоговые системы В МАТБАВ фильтр-прототип Бесселя рассчитывается с помошью функции Ьеаае1ар: [а. р. К) = Ьееэе1ар(п) Здесь и — порядок фильтра. На рис. 2.10 показано расположение на комплексной плоскости нулей и полюсов фильтра Бесселя 5-го порядка, а также его АЧХ и ФЧХ: » [г.
р. К) = Ьеэзе1ар(5); Х р)ос(р, 'х') Х » ах1з ецца1 » ах(э((-1 1 -\ Ц) » ы = 0;0,01;5; » (Ь. а) = ар2ст(г, р. К); Х » П = тгецз(Ь, а, и), Ж » тт9цге » р1ог(ы, аЬз(П)), 9шс Ж » тт9цге » р1ог(ы, цпигар(ап91е(П))). нули и полюсы прототипа график расположений нулей коэффициенты функции передачи коиппексный коэффициент передачи график АЧХ 9гтп й график фчХ Преобразования фильтров-прототипов Следующий этап после расчета фильтра-прототипа — его преобразование с целью получения фильтра заданного вида с требуемыми частотами среза. Для этого используются приведенные ниже четыре функции МАТБАВ. Принцип составления их имен следуюший: сначала идет сокрашение 1р, означаюшее, что исходным фильтром является ФНЧ ()охы-раза), потом следует символ преобразования 2 и в конце стоит обозначение типа результирующего фильтра: й) 1р21р — изменение частоты среза ФНЧ ()оты-рэзз); ц) 1р2пр — преобразование ФНЧ в ФВЧ (Ь(яЬ-раза); ц) 1р2Ьр — преобразование ФНЧ в полосовой фильтр (Ьапг[-раза); 5) 192Ьз — преобразование ФНЧ в режекторный фильтр (Ъапс(-егор).
Все эти функции могут преобразовывать фильтры, заданные двумя способами— в виде коэффициентов полипомов числителя и знаменателя функции передачи либо в пространстве состояний. Различаются зти два варианта по числу входных и выходных параметров. Изменение частоты среза ФНЧ Изменение частоты среза ФНЧ-прототипа сводится к простому масштабированию частотной оси и выполняется путем следуюшей замены переменной з в выражении для функции передачи; оэв 117 Функции МАТСАВ длл расчета линейных цепей где соо — требуемая частота среза ФНЧ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
