Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов (2002) (1095939), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Такое преобразование производится функцией 1р21р: СЬ1, аП - 1р21р(Ь. а. и0) ГА1, В1. С1, ОП = 1р21р(А, В. С, О, и0) Входными параметрами функции являются описание фильтра (в виде коэффициентов полиномов числителя и знаменателя функции передачи — Ь, а, или в пространстве состояний — А, В, С, О) и требуемая частота среза и0. Возвращаемый результат — пересчитанные параметры фильтра. Преобразование ФНЧ в ФВЧ Преобразование ФНЧ-прототипа в ФВЧ требует инверсии частотной оси и выполняется путем следующей замены переменной з в выражении для функции передачи; где соо — требуемая частота среза ФВЧ.
Такое преобразование производится функцией 1р2Ьр; СЬ), аП = 1р2пр1Ь. а, н0) ЕА1, В1, С1, ОП - 102Ьр1А, В, С, О, и0) Входными параметрами функции являются описание фильтра (в виде коэффициентов полиномов числителя и знаменателя функции передачи — Ь, а или в пространстве состояний — А, В, С, О) и требуемая частота среза и0. Возвращаемый результат — пересчитанные параметры фильтра. Преобразование ФНЧ в полосовой фильтр Преобразование ФНЧ-прототипа в полосовой фильтр требует более сложной трансформации частотной оси, чем в предыдущих случаях.
Так, нулевая и бесконечная частоты должны преобразовываться в бесконечное значение на частотной оси ФНЧ-прототипа (там, где его коэффициент передачи стремится к нулю). Частоты, соответствующие краям требуемой полосы пропускания, должны после преобразования давать значения ~1, равные частоте среза ФНЧ-прототипа.
Наконец, преобразование должно выполняться с помощью дробно-рациональной функции, чтобы сохраггить дробно-рациональную структуру функции передачи. Перечисленным требованиям удовлетворяет следующая замена переменной к (з/со, ) е 1 з/соо где соо =,,/сог сот, О со~/(сог — сог), сог и сот — соответственно нижняя и верхняя границы полосы пропускания фильтра.
118 Глава 2. Аналоговые системы Такое преобразование выполняется функцией 1р2Ьр: [Ь1. а1] = 1р2Ьр(Ь. а. иО, Вн) [А1, В1, С1, И] - 1р2Ьр(А, В, С. О. иО, Ви) Входными параметрами функции являются описание фильтра (в виде коэффи- циентов полиномов числителя и знаменателя функции передачи — Ь, а или в пространстве состояний — А, В, С, О), средняя частота и0 и ширина Вн полосы про- пускания фильтра (в радианах в секунду).
ВНИМАНИЕ Обратите внимание на то, что средняя частота полосы пропускания — это среднее геомеа- рическое, а не среднее арифметическое частот среза: и 0-вчгг(и 1 "в2), Полоса пропусканил рассчитывается без особенностей: Ви-и2 — и1. Возвращаемый результат — пересчитанные параметры фильтра. Рассчитаем в качестве примера полосовой фильтр Чебышева первого рода 5-го порядка с полосой пропускания от 1 кГц до 9 кГц и уровнем пульсаций в полосе пропускания 3 дБ: )). Ог)О Ж график ФЧХ Построенные графики АЧХ н ФЧХ приведены на рис. 2.11.
Обратите внимание на то, что характеристики фильтра несимметричны — они сжаты слева и растянуты справа. Если проанализировать формулу замены переменной, использованную для преобразования ФНЧ в полосовой фильтр, окажется, что частоты, на которых коэффициент передачи имеет одинаковые значения, связаны соотношением гв,гвз = вз~. Поэтому графики станут симметричными, если использовать логарифмический масштаб по оси частот.
Асимметрия частотных характеристик проявляется тем сильнее, чем больше отношение граничных частот полосы пропускания фильтра. Именно по этой причине в рассмотренном примере специально использованы столь сильно (в 9 раз) различающиеся частоты среза. » [т, р, Х] = спеЬ)ар(б, 3); » [Ь. а] - гр2ь[(г, р, Х); » [1 = 1еЗ: » [2 - 9еЗ: » иО = 2 * рз * з()гт([1 * [2): » Вн = 2 * р1 * (Г2 - [1): » [Ь. а] - 1р2Ьр(Ь. а. иО, Вн) » Г = 0:1:20еЗ; » П = Ггесз(Ь. а, 2*рз*Г); » р1оь(Г!1000, аЬз(П)), Ог((1 » ах1з Ж10ПЖ » г(0нге » р1ос(Г/1000, ипнгар(апд1е(П) Ж ФНЧ-прототип Ж функциЯ передачи Ж нижнЯЯ частота среза Ж верхнЯЯ частота среза Ж среднЯЯ частота Ж полоса пропусканиЯ Ж пслоссвой фильтр Ж вектор частот длЯ расчета Ж частотнаЯ характеристика Ж график АЧХ 119 Функции МАТьАВ для расчета линейных цепей 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 О.З 0.2 0.1 15 20 10 -10 -12 -14 0 5 10 15 20 Рис.
2.! 1. При большом отношении граничных частот полосы пролускания полосового фильтра отчетливо наблюдается асимметрия частотных характеристик (сверху — АЧХ, снизу — ФЧХ) Преобразование ФНЧ в режекторный фильтр Для преобразования ФНЧ-прототипа в режекторный фильтр трансформация частотной оси должна быть обратной по отношению к предыдущему случаю. Нулевая и бесконечная частоты должны преобразовываться в нулевое значение на частотной оси ФНЧ-прототипа (там, где коэффициент передачи велик). Частоты, соответствующие краям требуемой полосы зэдерживания, должны после преобразования давать значения 21, равные частоте среза ФНЧ-прототипа. Кроме того, некоторое значение частоты в полосе задерживания должно преобразовываться в бесконечность (там, где коэффициент передачи ФНЧ-прототипа стремится к нулю).
Наконец, преобразование должно выполняться с помощью дробно-рациональной функции, чтобы сохранить дробно-рациональную структуру функции передачи. 120 Глава 2. Аналоговые системы Перечисленным требованиям удовлетворяет следующая замена переменной гя з!го, Я((з/го, )' + 1) где ота = с~и1етт Я ио((етг — от~), и1 и от, — соответственно нижняя и верхняя границы полосы задерживания фильтра. Такое преобразование выполняется функцией 1р2Ьз: (Ь1. а1] = 1р2Ьз(Ь. а. иО. Ви) (41, В1.
С1, 01] = 1р2Ьз(4, В, С, О, иО, Ви) Входными параметрами функции являются описание фильтра (в виде коэффициентов полиномов числителя и знаменателя функции передачи — Ь, а или в пространстве состояний — 4, В, С, О), средняя частота иО и ширина Ви полосы задерживания фильтра (в радианах в секунду). Возвращаемый результат — пересчитанные параметры фильтра.
Все сказанное выше применительно к полосовым фильтрам о связи средней частоты с частотами среза и об асимметрии характеристик справедливо и для режекторных фильтров. Расчет аналоговых фильтров Как уже говорилось, для расчета аналогового фильтра необходимо выполнить две основные операции: рассчитать ФНЧ-прототип и преобразовать его к нужному типу фильтра с заданными частотами среза. Требуемая последовательность действий оформлена в виде следующих функций МАТ|АВ: О ЬиССег(п, иО.
Суре, ' з ' ) — расчет фильтров Баттерворта; С) спеЬу1(п, йр. иО, Суре, 'з') — расчет фильтров Чебышева первого рода; С) спеЬу2(п, йз, иО, Суре, 'з') — расчет фильтров Чебышева второго рода; С) е11тр(п, Рр. Рз, иО. Суре, 'з') — расчет эллиптических фильтров; О Ьеззе1Г(п, иО, Суре) — расчет фильтров Бесселя. Параметры всех функций задаются одинаково, поэтому обсуждать функции по отдельности не будем. Перечисленные функции, за исключением функции Ьеззе1Г, позволяют рассчитывать как аналоговые, так и дискретные фильтры.
Признаком аналогового расчета служит строка ' з ', использованная в качестве последнего входного параметра. Об использовании этих функций для расчета дискретных фильтров речь пойдет в главе 6. Параметры и, йр, йз (их состав зависит от типа фильтра) — это параметры фильтра-прототипа; и — порядок фильтра, йр — уровень пульсаций в полосе пропускания (в децибелах), йз — уровень пульсаций в полосе задерживания (в децибелах). Более подробное описание этих параметров было приведено ранее, в разделах, посвя|ценных фильтрам-прототипам.
функции МАТСАВ для расчета линейных цепей Параметры н0 и Суре используются совместно для задания типа фильтра и значе- ний его частот среза (в радианах в секунду): сз ФНЧ: н0 — скаляр, параметр гуре отсутствует; [2 ФВЧ: н0 — скаляр, гуре-'Ь10Ь", С) полосовой фильтр: н0 — двухэлементный вектор частот среза [н1 н23, параметр Суре отсутствует; С1 режекториый фильтр: н0 — двухэлемептный вектор частот среза [н1 н23, гуре-'егор'. ВНИМАНИЕ Следует подчеркнуть, что в данных функциях при разработке полосовых н режекторпых фильтров в качестве параметров задаются именно частдоты среза, а ие средняя частота н полоса пропускания, как в функпиях преобразования фильтров-прототипов, В зависимости от того, сколько выходных параметров указано при вызове, функции могут возврашать результаты расчета в виде коэффициентов полиномов числителя и знаменателя функции передачи (два выходных параметра), нулей и полюсов (три выходных параметра) либо параметров пространства состояний (четыре выходных параметра): [Ь, а3-...
[2. р. уд [А. В. С. О) = ... С учетом всего сказанного перечислим действия, выполняемые функциями рас- чета аналоговых фильтров: 1. Производится расчет фильтра-прототипа с заданными параметрами АЧХ. 2. Полученные нули и полюсы преобразуются в параметры пространства состояний.
3. Производится преобразование фильтра-прототипа к требуемому типу с заданными частотами среза. 4. Выполняется преобразование описания фильтра к заданному при вызове виду. Выбор порядка фильтра Рассмотренные выше функции расчета фильтров требуют задания в качестве входных параметров порядка фильтра и его частоты среза. При этом понятие частоты среза для фильтров разных типов определяется по-разному. Однако исходными данными при разработке фильтров, как правило, являются другие параметры: частотные границы полос пропускания (озл) и задерживания (ыз), а также допустимая неравномерность АЧХ в полосе пропускания (А ) и минимально необходимое затухание в полосе задерживания (Л,) (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
