Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов (2002) (1095939), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Взаимный спектр выходного и входного сигналов Взаимный спек .р выходного и входного сигналов линейной системы легко найти, исходя из определения взаимного спектра (1.22) (см. раздел «Связь между корреляционными функциями и спектрами сигналов» главы 1): 91 Преобразование случайного процесса в линейной системе 5,„„„„(со) = 5„„(со)5„„(со) = 5,„(со)К(со)5,„(со) = ~5,„(со)! К(со). (2.3) Отсюда следует, что комплексный коэффициент передачи системы равен отно- шению взаимного спектра выходного и входного сигналов к энергетическому спектру входного сигнала; К(со) = ~5„„(щ)! ЗАМЕЧАНИЕ Аналогичная формула, связывающая коэффициент передачи со спектрами случайных сиг- налов, имеет большое значение лля идентификации систем, то есть оценки комплексного коэффициента передачи по результатам совместного наблюдения входного и выходного сигналов.
Взаимная корреляция между входом и выходом Применив обратное преобразование Фурье к формуле (2.3), получим выражение для ВКФ выходного и входного сигналов (используем при этом формулу (1.23) из раздела «Связь между корреляционными функциями и спектрами сигналов» главы 1): В„,„(т) = (~В„(т )й(т- т )Н.
Итак, ВКФ выходного и входного сигналов линейной системы представляет со- бой свертку КФ входного сигнала с импульсной характеристикой системы. Преобразование случайного процесса в линейной системе Как говорилось в главе 1, случайный процесс представляет собой ансамбль реализаций. Кахсдая отдельная реализация является детерминированным сигналом, и ее преобразование линейной системой анализируется с помощью формул, приведенных в этой главе ранее.
В данном же разделе будет рассмотрено именно преобразование статисспических характеристик случайного процесса. При этом подразумевается стационарный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием. Спектральная плотность мощности Поскольку спектром случайного процесса считается спектр его мощности, он преобразуется в линейной системе пропорционально коэффициенту передачи по мощности: 1р... (со) = 1»ч„(со) К„вь (со) = рг„„( ) ~ К(со) )', Глава 2.
Аналоговые системы Корреляционная функция Согласно теореме Винера — Хинчина, корреляционная функция случайного процесса связана с его спектром преобразованием Фурье (см, раздел «Теорема Винера — Хинчина» главы 1). Применение преобразования Фурье к формуле (2.4) дает свертку: Н,»„(т) = ) й„„(т')В„(т — т')с(т'. (2.5) Здесь В»(т) — результат обратного преобразования Фурье от коэффициента передачи по мощности ! К(от)) .
Согласно разделу «Связь между корреляционными функциями и спектрами сигналов» главы 1, зто преобразование дает корреляционную функцию импульсной характеристики системы: В„(т) = 1Ь(г)Ыг — )сй. Дисперсия Дисперсия случайного процесса равна значению его корреляционной функции при т О. Подстановка этой величины в формулу (2.5) для выходной корреляционной функции дает В„„= )(„,„(0) = ~Я„„(т')В„(т')й'. (2.6) Можно рассчитать дисперсию и в частотной области (см. формулу (1.46) в разделе «Спектральные характеристики случайных процессов» главы 1). Воспользовавшись приведенной выше формулой (2А) для выходного спектра, получаем: 1)„„„= — ) 1«;„(то)~К(со)~ йо. к. '" (2.7) Плотность вероятности Частный случай белого шума Если входной случайный процесс является белым шумом (см.
раздел «Теорема Винера — Хинчина» главы 1), все приведенные ранее формулы существенно упро- щаются: В общем случае плотность вероятности случайного процесса на выходе линейной системы не поддается расчету простыми средствами. Исключение составляет частный случай нормального случайного процесса, поскольку нормальное распределение остается нормальным при любых линейных преобразованиях. Поэтому нормальный случайный процесс с нулевым средним значением после прохождения через линейную систему сохранит свою нормальность и нулевое математическое ожидание, а его дисперсия может быть рассчитана по одной из формул (2.6), (2.7) предыдущего раздела.
93 Способы описания линейных систем дю,(т) =%»В»(т) =%0 ~Ь(с)Ь(г-т)дг. г2,„=%,В,(0) =%, 1Ь2(е)дс =%0 („к(и) гул, 2п „ Способы описания линейных систем В данном разделе рассматриваются различные эквивалентные способы представления характеристик линейных систем, реализуемых в виде цепей с сосредоточенными параметрами. Понимание сущности этих вариантов представления и способов перехода от одного представления к другому важно для правильного использования соответствуюших функций МАТЮКАВ.
Дифференциальное уравнение Связь между входным и выходным сигналами линейной цепи с сосредоточенными параметрами может быть выражена в виде дифференциального уравнения (ДУ) вида лу г(л-1у игл-2у агу ал — +ал, +ал, +...+а,— +а«у(г)= цел " ! нгл -1 '! уел-2 ''' <~Г Ылх г( 1х Н" 2х Нт = Ь,„— + Ьл, + Ь», +" + Ь! — + Ьо-т(Г). лещ»!а»1»2ат»2'''1а!О Здесь х(г) — входной сигнал, у(г) — выходной сигнал, а, и Ь, — постоянные коэффициенты.
Таким образом, цепь описывается наборами коэффициентов (а1) и (Ь!). Должно выполняться неравенство т < и, то есть максимальный порядок производной входного сигнала не может превышать максимального порядка производной выходного сигнала. Это связано с невозможностью реализации операции «чистого» дифференцирования аналоговой цепью. Значение н называется порядком цепи. Если задать конкретный вид входного сигнала х(г), получится линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Решение этого ДУ дает выходной сигнал у(г).
Функция передачи Если применить к обеим частям приведенного в предыдущем разделе ДУ (2.8) преобразование Лапласа, получится выражение для операторного коэффициеилга передачи, или функции передами цепи (Ггапз(ег (пист!оп): 94 Глава 2. Аналоговые системы Н Ь Б ьь~,з +ь,„25 2 +...+Ь18+ьо Нз алэл Ч.
аыча" ' + ал,эл ' +...+ а2З+ аь (2.9) Здесь а; и Ь, — те же постоянные коэффициенты, что и в приведенном ранее ДУ. ЗАМЕЧАНИЕ Преобразование Лапласа (1-3] можно рассматривать как обобщение преобразования Фурье, прн котором частота может принимать комплексные значения. Рассчитывается прямое преобразование Лапласа как Р(2) =1"„1(г)е лг(г (сравните зту формулу с формулой прямого преобразования Фурье (1,11)).
В этой главе лля нас важно только то, что преобразование Лапласа является линейным и цри дифференцировании сигнала во времени его преобразование Лапласа умножается на комплексную частоту з. Комплексный коэффициент передачи получается из функпии передачи (2.9) путем подстановки з - 2го: Ь (1гс) + Ь„,(1го) '+ Ь Ягл) ~-...+ Ь,(ую)+ Ьь п,0с2) ч и, ~0гс) + п„2((гс) +...+ п,(лв)+ по Нули и полюсы Полюсы и вычеты Еще одним способом преобразования дробно-рациональной функции передачи (2.9) является ее представление в виде суммы простых дробей. При отсутствии кратных корней у знаменателя такое представление имеет следующий вид; Н(з) = — л+ " + " +...+ — + С,. гл Гл-! гл-2 Р, з Р.— з Р.-2 з Р2 (гдо) Здесь р; — полюсы функции передачи, а числа г; называются вычетами. С, — це- лая часть функции передачи, отличная от нуля только в случае равенства степе- ней полиномов числителя и знаменателя.
В данном случае цепь описывается набором параметров (г), (р;), С,. Разложив числитель и знаменатель функции передачи (2.9) на множители, мы получим функцию передачи в следующем виде: Н(з) = я *" ) (З Рл)(З Рыл)(З Р -2)" (З Р2) Здесь Ь - Ь /а„— коэффициент усиле22ия (йа(п), -; — нули функции передачи (аего), Р; — полюсы функции передачи (ро(е). В точках нулей Н(-;) - О, а в точках полюсов Н(р;) -+ сз, В данном случае цепь описывается набором параметров (с;), (Р;), Ь.
Нули функции передачи могут быть вещественными либо составлять комплекс- но-сопряженные пары. То же относится и к полюсам. Коэффициент усиления всегда вещественный, 95 Способы опиоанил линейных оистем Полюсы функции передачи могут быть вещественными либо составлять комплексно-сопряженные пары. Вычеты, соответствуюшие комплексно-сопряженным полюсам, также являются комплексно-сопряженными. При наличии кратных полюсов функции передачи разложение на простые дроби становится сложнее.
Каждый т-кратный полюс р, дает т слагаемых следующего вида: (2.11) (з-р )' (з-р )' ( -р )" Расчет импульсной характеристики Представление функции передачи в виде суммы простых дробей позволяет вычислить импульсную характеристику системы, поскольку каждое слагаемое функции передачи вида О /(з — р, ) соответствует слагаемому импульсной характеристики вида г,е"", г > О. Пара комплексно-сопряженных полюсов дает пару слагаемых импульсной характеристики в виде комплексно-сопряженных экспонент. Сумма таких слагаемых представляет собой синусоиду с экспоненциально меняющейся амплитудой: г, ехр(р,г)+ г' ехр(р,'г) = 2Ке(г,, ехр(р,.г)1 = = 2 Ке 1! г ! ехр ( у эгя(г )) ехр (Ке (р, ) г) ехр () 1т(р,. ) г)] = = 2~ г! ехр(Ке(р,.
Ясов((т(р',)г+ агя(г )). Здесь агй(О) — фаза комплексного числа гь Что касается кратных полюсов, то и-кратный полюс р, даст в выражении для импульсной характеристики лг слагаемых следующего вида: г +г Гехи+к ей' и и г. еи 2 ' (~-1)! Устойчивость линейных систем Система называется устойчивой, если при нулевом входном сигнале выходной сигнал затухает при любых начальных условиях: !!тз„,„(г) = О при хм(г) - О. Это требование равносильно требованию затухания импульсной характеристики: !ппгг(г) = О. В предыдущем разделе было показано, что импульсная характеристика системы в общем случае содержит слагаемые вида г; — е ' (г! где р, — полюсы функции передачи системы, г; — соответствующие им вычеты, й — целые числа в диапазоне от нуля до значения, на единицу меньшего кратности полюса рн Глава 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
