Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов (2002) (1095939), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Аналоговые системы Такие слагаемые при г -р с затухают, если вешественная часть полюса р; является отрицательной: Ке(р;) < О. Отсюда получаем общее условие: линейная система является устойчивой тогда и только тогда, когда полюсы ее функции передачи лежат в левой комппексной полуплоскости. Пространство состояний Еше одним способом описания линейной цепи является ее представление в пространсгпве состояний (агате зрасе).
При этом состояние цепи описывается вектором состояния з(г), а собственные колебания цепи и ее реакция на входной сигнал х(г) характеризуются следующим образом: з'(г) = Аз(т)+ Вх(г), (2.12) у(г) = Сз(т)+ Ох(г). Если размерность вектора состояния з(г) равна Аг (з(г) — вектор-столбец), а входной х(Е) и выходной у(г) сигналы являются скалярными, то размерность параметров в этих формулах будет следующей: А — матрица Аг и Аг,  — столбец М х 1, С вЂ” строка 1 и Ж, 0 — скаляр. Если входной и/или выходной сигналы являются векторными, размерность параметров соответствующим образом изменяется.
Описанием цепи в данном случае является набор параметров А, В, С, Р. От представления цепи в пространстве состояний можно легко перейти к функции передачи цепи. Если применить преобразование Лапласа к уравнениям состояния (2.12), а затем выразить из них операторный коэффициент передачи, получится следующее: -а„,/а„-а„,/а„... -а,/а„-ар/а„ 1 О " О О О О В= О О 1 О О ... 1 О (2.14) с=[о ... о ь. ь., ь, ь,~.
Н(з) = 0 — С(А — г1) 'В. (2.1З) Здесь 1 — единичная матрица Аг х Аг. Обратное преобразование выполняется следующим образом. Прежде всего, если степени числителя и знаменателя функции передачи совпадают, из дроби выделяется целая часть, которая становится значением параметра 0 (если степень числителя меньше степени знаменателя, то 0 = 0). Далее оставшаяся после выделения целой части дробь, степень числителя которой (т) гарантированно меньше степени знаменателя (п), преобразуется в параметры А, В и С следующим образом: 97 Функции МАТОВ Лле расчета линейных цепей Функции МАТ1 АВ для расчета линейных цепей МАТ1.АВ и его пакеты расширения ориентированы прежде всего на цифровую обработку сигналов, поэтому функции, связанные с расчстом аналоговых цепей, рассматриваются как вспомогательные. В ос1то~том онн предназначены лля вызова из других функций, используюн(нх аналоговые прототипы прн синтезе цифровых фильтров.
Однако и сами по гсбе этн функции могут быть весьма полезны. Большая часть рассматриваемых в ланном разделе функций относится к пакету Яппа! Ргосеззн)ц. Расчет частотных характеристик Как уже говорилось, лля расчета комплексного коэффициента передачи необходимо полставить в функшпо псрслачн мнимый аргумент: з = ро.
Соответствующие расчеты выполняются с помошыо функции тге()з. В простейшем виде она имеет слелуюший синтаксис; 1гецз(Ь, а); Злесь Ь и а — векторы коэффициентов полиномов, соответственно числителя и знаменателя функции передачи. Коэффициенты слелуют в порядке убывания степеней, заканчивая постоянным слагаемым.
Для расчета характеристики по умолчанию выонрается 200 частот, логарифмически равномерно распределенных в диапазоне от 0,1 до 10. При отсутствии выходных параметров функштя уге()з строит графики АЧХ и ФЧХ. АЧХ выводится в логарифмпческом масштабе (но без пересчета в децибелы), ФЧХ вЂ” в градусах. Пусть анализируемая пень имеет функцию псрелачн зт е Зз + Зз ч- 1 з' — Зз' е бз' -2з е1 Строим ее АЧХ н ФЧХ (рнс.
2.2); »ь= [)зз)В »з-[1-34-21П > угепэ(Ь, а) Чтобы вместо построения графика получить вектор рассчитанных значений комплексного коэффициента передачи, нужно присвоить результат, возвращаемый функцией гге()ж какой-либо переменной: Ь = угецз(Ь, а); При этом не стоит забывать про точку с запятой в конце строки, которая позволит подавить вывод рассчитанного вектора на экран. Если использовать второй выходной параметр, то в нем футткция возвратит вектор частот, Лля которых рассчитаны значения импульсной характеристики; [Ь и) = угеаз(Ь, а); ав Глава 2.
Аналоговые системы Г во' )о' Кгабивппу (габ/в) 2ОО -200 (о' )о' Кмпивппу (пвб)в) Рис. 2.2. Частотные характеристики, построенные функцией (гера Рассчитаем вектор значений частотной характеристики цепи из нашего примера и построим график ее АЧХ в линейном, а не логарифмическом масштабе (рис. 2.3): » (П. и] - 1герз(Ь. а): » р)ст(и. аЬа(П)) » Ог(б оп 1.б О О 2 4 е 8 О Рис. 2.3. АЧХ цепи в линейном масштабе Можно принудительно задать количество частотных точек для анализа, используя третий входной параметр и (при этом частоты по-прежнему логарифмически распределены от 0,1 до 10): [П. и] - тгерз(Ь, а, и); 99 Функции МАТОВ для расчета линейных цепей Наконец, можно принудительно задать частоты для анализа — также с помощью третьего входного параметра, которым в данном случае является вектор круговых частот и. Признаком, отличающим данную ситуацию от предыдущей, является векторный характер третьего выходного параметра.
Возвращать значения частот в данном случае не имеет смысла: Ь - тгесв(Ь. а, и): ЗАМЕЧАНИЕ Для дискретных линейных систем, функция передачи которых задана в виде отношении полиномов в =-области, аналогичные расчеты и построения выполняются функцией (гедх (см. главу 4). Построение графиков фазочастотных характеристик Как видно из рис.
2.2, ФЧХ цепи содержит большое количество разрывов (скачков). Те из них, величины которых равны 180', действительна являются скачками ФЧХ, а остальные, величина которых составляет 360','являются «фиктивными». Они возникают только из-за того, что результаты вычисления фазы комплексного числа всегда лежат в диапазоне+180'. Наличие этих многочисленных скачков затрудняет восприятие истинной формы ФЧХ и маскирует скачки «настоящие». Избавиться от лишних разрывов позволяет функция ипигар, которая ищет в переданном ей векторе скачки между соседними элементами, превышающие заданную пороговую величину (по умолчанию равную и), и сдвигает соответствующие фрагменты вектора на Ф2п нужное число раз.
Продемонстрируем действие функции цпигар, построив график ФЧХ для цепи из примера предыдущего раздела (рис. 2.4): » (Ь. и) = Ггесв(Ь, з); » ж Фчх » рЬ1 - апд1е(Ь): » Ж устранение скачков » рпт - цпигар(рЬ1); » Ж отображаен в градусах » р1ос(и. рйд*180/рт) » дгнй оп Сравнение графиков ФЧХ на рис. 2.2 и 2.4 наглядно демонстрирует сущность функции ипигьр, При необходимости можно задать порог обнаружения скачков, указав его в качестве второго аргумента функции цпигар: у - цпигвр(к.
сйгевйо1о): 1ОО Глава 2. Аналоговые системы 600 500 400 300 200 100 0 0 2 4 6 6 10 Рис. 2.4. ФЧХ цепи с устраненными скачками на 360' Преобразование способов описания линейных цепей В теоретической части данной главы было рассмотрено несколько эквивалентных способов описания линейных цепей. В пакете Бгйпа1 Ргосез51пя имеется ряд функций, предназначенных для преобразования описаний из одной формы в другую. Имена этих функций имеют вид хх2уу, где хх — обозначение исходной формы описания, а уу — обозначение целевой формы описания цепи. ЗАМЕЧАНИЕ По-английски цифра «2» (омо) произносится сходно с частицей «Ьо», служащей, среди прочего, для указания на конечную цель или результат какого-либо процесса.
Поэтому цифра «2» традиционно используется в середине идентификаторов функций, осуществляющих различиыс преобразования. Формы описания цепей в именах функций обозначаются следующим образом: О Сà — коэффициенты полиномов числителя и знаменателя функции передачи (ггапйег Йпсйоп); Ьз 2Р— НУЛИ И ПОЛЮСЫ (2ЕгОЗ ано РО!ЕЗ); 55 — описание в пространстве состояний (зьаге-зрасе). Необходимость в преобразовании описаний часто возникает из-за того, что функции расчета цепей (такие как рассматриваемые далее функции расчета фильтров-прототипов) дают результат в одной форме, а функция, например, построения частотной характеристики требует задания входных параметров в другой форме. Далее кратко рассматриваются конкретные функции преобразовании описаний цепей.
Для входных и выходных параметров используются следующие обозначения: О функция передачи; О Ь вЂ” вектор-строка коэффициентов (в порядке убывания степеней) числи- теля функции передачи; Функции МАТГАВ для расчета линейных цепей О а — вектор-строка коэффициентов (в порядке убывания степеней) знаменателя функции передачи; О нули и пол|осы: О х — вектор нулей (столбец); О р — вектор полюсов (столбсп); О 1 — коэффициент усиления (скаляр); С) пространство состояний: О А — квапратная хитрица связи вектора состояния и его производной; Π — вектор-столбец связи входного сппчала и произволной вектора состояния; О С вЂ” вектор-строка связи выходного сигнала и вектора состояния; О 0 — скалярный козффипис1п связи выходного и входного сигналов. ЗАМЕЧАНИЕ Размерности параметров указаны для случая цспц с одним входом и одним выходом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
