Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов (2002) (1095939), страница 15
Текст из файла (страница 15)
1.35). Будем также считать этот случайный процесс стационарным, нормальным и центрированным. о ео и Рис. 1.35. Спектральная плотность мощности узкополосного случайного процесса Согласно теореме Винера — Хинчина (см. формулу (1.48)), корреляционная функция и спектральная плотность мощности случайного процесса связаны друг с другом преобразованием Фурье. Узкополосный характер спектра )(гк(ат) говорит о том, что корреляционная функция Як(т) имеет вид узкополосного радиосигнала: В„(т) - Вс(т) соз [гост + грс(т)], где Яс(т) и дс(т) — медленно (по сравнению с соз (гост)) меняющиеся функции. Узкополосный спектр и осциллирующий характер корреляционной функции означают, что отдельные реализации узкополосного случайного процесса представляют собой кеазигармонические колебания; х(Г) - А(г) соз [от«1 + гр(г)], у которых как огибающая А(г), так и начальная фаза ~р(Г) являются случайными функциями, медленно (по сравнению с соз (гост)) изменяющимися во времени.
Для того чтобы определить статистические параметры огибающей и начальной фазы, рассмотрим комплексный аналитический сигнал 2(г), соответствующий вещественному случайному процессу х(г) (см. раздел «Комплексная огибающая» ранее в этой главе): с(г) =х(г)+ гх,(г), где х,(г) — сопряженный случайный процесс, реализации которого связаны с реализациями процесса х(г) преобразованием Гильберта (см. ранее раздел «Преобразование Гильбертаь): х (г) = — ] — Й'.
1 "х(г') (1.49) к „г-с' В том же разделе было показано, что с помощью сопряженного сигнала можно определить мгновенные значения огибающей и полной фазы узкополосного сигнала: 81 Случайные сигналы чо - ~гоЧ =,Р7о Х%, (агстя (х(г)/х(г)], (г) > О, ~р(т) = агя У(т) = ~ ~агстя (х(г)/х(г)) ч. я, х(г) < О. Рассмотрим статистические свойства сопряженного процесса. Во-первых, определим его математическое ожидание, применив усреднение к формуле (1АО) и затем поменяв усреднение и интегрирование местами; м(х,(г))=М~- ~ — (т~ =- (,7г=О.
,) 1 -М(х(т )) Результат равен нулю, так как процесс х(г) является центрированным. Далее, поскольку процесс х(г) нормальный, а преобразование Гильберта является линейным интегральным преобразованием, то нормальным будет и сопряженный процесс хг(г). Из свойств преобразования Гильберта (см. ранее раздел «Преобразование Гиль- берта», формула (1.27)) следует, что спектры конкретных реализаций процессов х(г) и хх(г) связаны следующим образом: -75,(го), го > О, 5„(го) = О, го=О, 75 (го), го < О, откуда видно, что энергетические спектры реализаций процессов х(г) и хт(г) совпадают, а следовательно, совпадают и спектральные плотности мощности этих процессов: )т'„(го) =%',(го). Корреляционные функции связаны со спектрами плотности мощности обратным преобразованием Фурье, поэтому они тоже равны: Я„(т) = Я,(т).
Нам осталось выяснить, имеется ли статистическая связь между процессами х(т) и ха(Г), Ограничимся при этом расчетом корреляции между ними в совпадающие моменты времени, то есть вычислим и',, (О» л„,(о)- ~о*,от+и-'~*~) 1=и~'~чоч ) 1. Далее, как и ранее, внесем операцию статистического усреднения под знак интеграла, а затем используем замену переменной т " т — г': д (,) 1~йФ(г~ «'Й~„17~.(~-г)(г, 1~)~„()~ О я„г — г' я„ Результат интегрирования равен нулю, так как Я,(т) является четной функцией, а все подынтегральное выражение, следовательно, — нечетной.
Таким образом, процессы х(г) и х (г) в совпадающие моменты времени некоррелированы. Поскольку они, кроме того, являются нормальными, то из некоррелированности следует статистическая независимость. вг Глава 1. Основы анализа сигналов Огибающая и полная фаза узкополосного случайного процесса Мгновенное значение комплексного случайного процесса 2(г) можно графически изобразить в виде вектора на комплексной плоскости (рис. 1.36). Проекции этого вектора на оси Ке и 1ш равны мгновенным значениям процессов х(г) и х (г) соответственно. Эти мгновенные значения статистически независимы и имеют нормальные распределения с нулевым средним и одинаковыми дисперсиями (равенство дисперсий следует из равенства корреляционных функций). Поэтому совместная плотность вероятности процессов х(г) и хк(г) равна произведению их одномерных плотностей вероятности, каждая из которых имеет вид (1.35): 1 ( хк+хз1 Р„„(х,х ) = Р (х)Р„„(хг) = ехР (1.50) вв кк(г Рис.
1.36. Комплексный случайный процесс в виде вектора на комплексной плоскости Лля определения статистических свойств огибаюшей и фазы необходимо перейти в выражении (1.50) от декартовой (х, х ) к полярной системе координат (А, гр) (см. рис. 1,36) и определить совместную плотность вероятности рлв(А, гр). Связь между этими двумя системами координат выражается следую- шими формулами: х = А созгр, х = А з(игр. Кроме того, вероятность попадания в бесконечно малую область в окрестности каждой точки комплексной плоскости при смене системы координат должна, очевидно, остаться неизменной.
Плошадь такой бесконечно малой области в декартовых координатах выражается как Ыхг1х, а в полярных — как А ЫА г(гр (рис. 1.37). Таким образом, получаем р,„(х, х )ЫхНх„=ркк (Асозгй Азшгр)АИАНгр=р, (А гр)ИАг(гр. Отсюда видно, что искомая плотность вероятности выражается как А ( А'') Ркк(А, р) = Ар . (Асов гр, Агйпгр) = —,ехр~- —,!. (1.51) Чтобы найти одномерные плотности вероятности для огибаюшей и фазы, нужно проинтегрировать двумерную плотность (1.51) по «лишним» координатам: 83 Случайные сигналы Рис.
1.37. Переход от декартовой системы координат к полярной р„(А) = ) рхя(А,<р)йр, о р,(гр) = ~ рхв(А,гр)ЙА о Так как двумерная плотность (1.51) не зависит от фазы гр, плотность вероятности амплитуды рассчитывается совершенно элементарно: зк А ( Аг) 2яА ( Ат) А ( Аз) р„(А) = ) —,, ехр~- —,)Ыгр= —,ехр —,, )= —,ехр~- —,,!. (1.52) Целесообразно перейти к безразмерной переменной; - Агга„относительно которой р(з) = -.ехр(-з'/2). (1.53) Плотность вероятности, описывающаяся законом (1.52) или (1.53), носит название закона Радея (Кау1е1й)т). График этого распределения, соответствующий формуле (1.53), приведен на рис.
1.33. Из графика видно, что наиболее вероятны некоторые средние (порядка о„) значения огибающей. В то же время маловероятно, чтобы огибающая принимала значения как близкие к нулю, так и значительно превосходящие среднеквадратнческий уровень ок узкополосного процесса. ОА 0,2 о 1 2 г Рис. 1.38. Плотность вероятности огибающей узкополосного случайного процесса (закон Рзлея,' 84 Глава 1. Основы анализа сигналов ЗАМЕЧАНИЕ Для работы с законом распределения Рэлея в статистическом пакете расширения мАт1.АВ (Яезе!зе1сз тоо!ьох) имеются следуюшие функции: гзу!гпд (генерацня случай- ных чисел, распределенных по закону Рэлея), гау!р41 (расчет плотности вероятности), гзу!с4! (расчет функции распределения), гау!!пз (расчет обратной функции распределе- ния) и гау!зев! (расчег математического ожидания н дисперсии), Формула (1.52) позволяет известным способом (см.
раздел «Вероятностные ха- рактеристики случайных процессовз) вычислить среднее значение и дисперсию огибающей: "А' Е А' е М(А) = ) Ар,(А)гЕА =) — ехр~ —,~еАА = ~ — о„м1,253а„, а'„= М(А'~ -М'(А) = ~ —,ехР~- —,~е(А — — а,' = 2-4а~ =0 429о'„. Чтобы найти плотность вероятности фазы, необходимо проинтегрировать выра- жение (1.51) по А: А ! А ! 1 р,(д) = ) —, ехр~ —,~ИА = —, , 2ксг,' ~, 2ко,' Е' 2к (1.54) то есть фаза имеет равномерное распределение на интервале !О, 2к1. Физически это означает отсутствие какого-либо преимущественного значения полной фазы у отдельных реализаций узкополосного случайного процесса.
Из (1.51), (1.52) и (1.54) видно, что р.,(А,р) =, . (А)р,(р) следовательно, амплитуда и полная фаза узкополосного случайного процесса в один и тот же момент времени являются статистически независимыми. Узкополосный случайный процесс при наличии детерминированной составляющей Рассмотрим теперь ситуацию, когда к узкополосному шуму добавлен узкополос- ный детерминированный сигнал. Комплексный случайный процесс в данном случае будет иметь следующий вид: 2(Е) = з(Е) +)з,(Е)-н х(Е) + Ех,(Е).
Изображение мгновенного значения 2(Е) на комплексной плоскости будет отли- чаться от рис. 1.36 наличием детерминированного вектора з(Е) (рис. 1.39). Совместная плотность вероятности вещественной и мнимой частей этого комп- лексного процесса будет отличаться от (1.50) наличием смещений для х и х,, равных з(Е) и зх(Е) соответСтвенно: Случайные сигналы 1 ( (х — з(Г)) +(х„ — з,(С)) р,(х,х ) =Р„(х)Р„(х,) =, ехр— 2яо„'. 202 Рис. !.39. Комплексный случайный процесс в виде вектора на комплексной плоскости при наличии детерминированной составляющей Переход от декартовой системы координат к полярной, аналогичный рассмот- ренному ранее (см.
(1.51) и рис. 1.37), дает следующее: Рлв(А,гр) = Арк.(Асов гр,Аз1п гр) = ( (Асов ср-з(Г)) 4(Аз(игр — з,(Г)) , ехр— 2яа~ 202 о„рА(А) О,б 0,4 о,г 0 2 4 б 8 А!ок Рис. 1.40. Плотность вероятности огибающей узкополосного случайного процесса при наличии детерминированной составляющей (закон Рзлея — Рейса) Интегрирование этой двумерной плотности по фазе гр дает одномерную плот- ность вероятности для амплитуды данного случайного процесса (промежуточ- ные выкладки опущены): 2к А ( А'+5т ~ (Ау о (1.55) и я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
