Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов (2002) (1095939), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Функции прсобразояапия могу г обрабатывать описания испей с нескольким п выходными сигналами (с векторным выходом). В этом случае размерности парамстрон соответствуюшям образом измспякн.ся, Функция 02ер Функция ТТ2хр преобразует наборы коэффициентов полиномов числителя и знаменателя функции передачи в векторы нулей и полюсов, рассчитывая также значение обшего коэффициента усиления: (г, р. 1] - 1(2гр(Ь. а): Преобразование производится путем вычисления корней полипомов числителя и знаменателя функции передачи с помопгыо функции госта. Коэффициент усиления Е рассчи~ывается как отношение Ы1)/а(1). Функция ер2М Функция хр21Т является обратной по отношению к функции 1(2хр: она осуществляет преобразование коэффициента усиления, а также векторов нулей и полюсов функции перелачи в коэффициенты полиномов ее числителя и знаменателя: (Ь. а] - ар21((а.
р, Х); Преобразование произволится с помощью функции ро)у, предназначенной лля вычисления коэффициентов полпномя по заданным его корням. В завершение вектор коэффициентов числителя умножается на К Функция Н2зз Функция тТ2зз преобразует наборы коэффициентов полиномов числителя и знаменателя функции псрела ш в параметры представления цепи в пространстве состояний: ГА. В. С.
0] = 1(2зз(Ь, а,': Преобразование произволится согласно формулам (2.14), приведенным в этой главе ранее, в разделе «Пространство состояний». 102 Глава 2. Аналоговые системы Функция зз2М Функция зз2тт является обратной по отношению к функции тГ2зз: она преобразует параметры пространства состояний в коэффициенты полиномов функции передачи цепи: [Ь. а] - зз2ст(А, В, С, О); Преобразование производится согласно формуле [2.13), приведенной в этой главе ранее, в разделе «Пространство состоянийм Функция ир2зз Функция гр2зз преобразует нули, полюсы и коэффициент усиления цепи в ее параметры пространства состояний: [А, В, С, О] = гр2зз(г, р, к); Преобразование производится путем последовательного вызова функций хр21Г и тГ2зз. Функция зебр Функция аа2гр является обратной по отношению к функции гр2зз, преобразуя параметры пространства состояний в нули, полюсы и коэффициент усиления цепи: [г, р, К] зз2зр(А.
В. С. О); Полюсы системы являются собственными числами матрицы А и вычисляются с помощью функции е1д. Нули являются конечными решениями обобщенной задачи нахождения собственных чисел и рассчитываются следующим образом: г - е1д([А В:С О]. Ьтая([опез(1,п) 0])): Функция гезИое Идентификатор последней функции, позволяющей преобразовывать описания линейных цепей, выпадает из общего ряда. Это связано с тем, что данное преобразование не является специфическим для обработки сигналов — оно сводится к разложению дробно-рациональной функции на простейшие дроби и часто применяется в математике. По этой же причине данная функция относится не к пакету З[япа1 Ргосезз(пя, а к базовой библиотеке МАТ[.АВ.
Преобразование функции передачи, заданной в виде коэффициентов полиномов числителя и знаменателя, в сумму простых дробей производится с помощью функции гез1 бее. Она же осуществляет и обратное преобразование; нужное направление преобразования выбирается в зависимости от числа входных параметров. При двух входных параметрах производится разложение функции передачи на простые дроби: [г, р, т.] - ге51Ьие(Ь. а) Здесь Ь и а — коэффициенты полиномов числителя и знаменателя функции передачи соответственно.
Выходные параметры — векторы-столбцы полюсов [р) и соответствующих им вычетов [г), а также строка коэффициентов целой части (с Функции МАТ(АВ ллп расчета линейных цепей 1ОЗ Разложение производится согласно формулам (2.10) и (2.11), приведенным ранее в разделе «Полюсы и вычетыэ, включая случай наличия кратных полюсов. При использовании трех входных параметров функция гез1бие производит преобразование вычетов, полюсов и коэффициентов целой части в козффициенты числителя и знаменателя функции передачи, то есть осуществляет суммирование простых дробей: [Ь, а) - гез1бсе(г. р. Е) В качестве примера разложим на простые дроби функцию передачи вида з' — 24+2 з'+ 44'+74'+64+2 » Ь = [1 -2 2]; »а-[14? 62); » [г, р.
К) - гез(бце(Ь, а) 2.0000 е 2.00001 2.0000 - 2.00001 -4.0000 5.0000 Р" -1.0000 е 1,00001 -1.0000 — 1.00001 -1.0000 -1.0000 П Результаты преобразования показывают, что данная система имеет двукратный полюс, равный -1, и пару комплексно-сопряженных полюсов, равных — 1 й?. Поскольку степень полинома числителя меньше, чем степень полинома знаменателя, целая часть их отношения равна нулю, и в параметре М функция возвращает пустую матрицу. Рассчитанные значения вычетов позволяют записать представление функции передачи в виде суммы простых дробей (с учетом наличия кратного полюса): Н(з) — + 2+?2 2-?2 4 5 + 4+1-? 4+1+? 4+1 (4+1)' Произведем с помощью функции гез1бце обратное преобразование вычетов и полюсов в коэффициенты полиномов числителя и знаменателя функции передачи: [Ы, аЦ - гез)бее(г, р.
К) Ы -0,0000 1,0000 -2,0000 2.0000 а1- 1.0000 4.0000 ?,ОООО 6.0000 2.0000 Полученные значения совпадают с исходными. Знак еминус» при нулевом значении Ы(1) обусловлен вычислительными погрешностями — после обратного 1О4 Глава 2. Аналоговые системы преобразования получается не ровно нуль, а малое отрицательное число (при- мерно -4 10 "). ВНИМАНИЕ Вычислительная залача разложения лробно-рациональной функции иа простые дроби плохо обусловлена. Это означает, что если функция передачи имеет полюсы, близкие к кратным, то малые вариации исходных данных могут приводить к большим погрешностям вычисления полюсов и вычетов. В таких случаях документация МАТ1.АВ рекомендует использовать описание системы в виде нулей и полюсов либо в пространстве состояний.
Расчет аналоговых Фильтров-прототипов Одной из часто возникающих на практике задач является создание фильтров, пропускающих сигналы в определенной полосе частот и задерживающих остальные частоты. При этом различают: 0 филылры нижних частот (ФНЧ; английский термин — 1ож-раза 61сег), пропускающие частоты, меньшие некоторой частоты среза шв, о 'фильтры верхних частот (ФВЧ; английский термин — ЫдЬ-раза 61гег), пропускающие частоты, большие некоторой частоты среза шы о паласовые фильтры (ПФ; английский термин — Ьапб-раза 611ег), пропускающие частоты в некотором диапазоне ш~ ...ш2 (онн могут также характеризоваться средней частотой шв - (ш~ ч. шз)/2 и шириной полосы пропускания Лш - шр — ш,); О режекторлые фильтры (другие возможные названия — заграждающий фильтр, фильтр-пробка, полосно-задерживающий фильтр; английский термин — Ьапйзгор 6!тег), пропускающие на выход все частоты, кроме лежащих в некотором диапазоне ш~ ...
шз (они тоже могут характеризоваться средней частотой шв- (а~ ч. шз)/2 и шириной полосы задерживания Лш - шз — ш1). Идеальная форма АЧХ фильтров этих четырех типов показана на рис. 2.5, Однако такая идеальная (прямоугольная) форма АЧХ не может быть физически реализована. Поэтому в теории аналоговых фильтров разработан ряд методов аллроксимации прямоугольных АЧХ. Функции, реализующие эти методы, будут рассмотрены ниже. Кроме того, рассчитав ФНЧ, можно несложными преобразованиями изменить его частоту среза, превратить его в ФВЧ, полосовой либо режекторный фильтр с заданными параметрами.
Поэтому расчет аналогового фильтра начинается с расчета так называемого фильтра-прототила, представляющего собой ФНЧ с частотой среза, равной 1 рад/с. Далее применяются функции преобразования частоты среза и преобразования типов фильтров, которые также будут рассмотрены ниже. Все функции МАТЮКАВ для расчета аналоговых прототипов возвраща1от векторы-столбцы нулей и полюсов функции передачи, а также значение коэффициента усиления.
105 Функции МАТГАВ для расчета линейных цепей кгй и О О ыо Фнч ФВЧ КД) К(Л О ы1 ыг и О ог1 ыг и Режехторный фильтр Попосовой фильтр Рис. 2.Н. АЧХ фильтров различного типа ВНИМАНИЕ Прц сравнении результатов использования филгп ров различного типа в какой-либо системе обработки сигналов следует помнить о том, что частота среза для разных фильтров определяется по-разпому. Подробная информация об этом приводится в следуюших разделах, посвященных конкретным фильтрам. Немного забегая вперед, скажем, что для фильтра Баттерворта частота среза определяется по уровшо 1/ /2, для фильтра Чебып|сва первого рода и эллиптического фильтра — по уровню пульсаций в полосе пропускаиия, для фильтра Чебышева второго рода — по уровшо пульсаций в полосе задсрживация. Наконец, для фильтра Бесселя само понятие частоты среза является весьма условным. Фильтр Баттераорта Функция передачи фильтра-прототипа Баттерворта (Вцггегшогг!г Нгег) не имеет нулей, а ее полюсы равномерно расположены на з-ллоскостн в левой половине окружности единичного радиуса (см.
далее рис. 2,6, а). Благодаря такому размещению полюсов формула для АЧХ фильтра Баттерворта оказывается очень простой; где шо — частота среза (для фильтра-прототипа она равна 1 рад/с), п — порядок фильтра. Глава 2. Аналоговые системы 0.5 1.5 -1 5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 0.9 0.8 0.7 0.8 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 2 3 4 б -8 0 1 2 3 4 б в Рнс. 2.6. Характеристики фильтра Баттервортв б-го порядка; в — расположение полюсов на комплексной плоскости, б — АЧХ, а — ФЧХ 1О7 Функции МА П АВ для расчета линейных цепей Коэффициент передачи на нулевой частоте равен 1, а на частоте среза независимо от порядка фильтра составляет 1/~Г2 = 0,707 м -3 дБ. При ю -+ ьз АЧХ стремится к нулю.
АЧХ фильтра Баттерворта (см. рис. 2.6, б) является максимально плоской при ю - 0 и ш -+ о. Это означает, что в данных точках равны нулю 2п — 1 производных АЧХ по частоте. В целом АЧХ монотонно спадает от единицы до нуля прн изменении частоты от нуля до бесконечности. В МАТЮКАВ расчет аналогового фильтра-прототипа Баттерворта производится с помощью функции ЬцССар: (а, р. 'к) = Ьцттар(п); Входной целочисленный параметр и — это порядок фильтра. На рис. 2.6 показано расположение полюсов фильтра Баттерворта 5-го порядка на комплексной плоскости, а также его АЧХ и ФЧХ: » (г, р, к) - Ьцгтар(5); Х нули и полюсы прототипа » р1оС(р, 'х') Х график расположениЯ полюсов » ахтв ецца1 » ахтз([-1.5 1.5 -1.5 1.5)) » ы - 0:0.01:5; » (ь, а) = гр2сг(г, р, х); ж коэффициенты функции перелачи » Ь = тгецз(Ь, а, и); Ж коиплексный коэффициент перелачи » ттдцге » р1оС(н, аЬв(Ы ), дщс Ж график АЧХ » Пдцге » р1оС(ы, цпыгар(апд1е(Ы )), дг!0 Ж график ФЧХ ВНИМАНИЕ Прописная буква «Я» в одном нз комментариев только что приведенного листинга — не опечатка.
К сожалению, шестая версия МАТ1.АВ пе позволяет использовать строчную русскую букву «я» в комментариях н строковых константах (см. также раздел «МАТ1АВ н русский язык» приложения А). Фильтр Чебышева первого рода Функция передачи фильтра Чебышева первого рода (СЬеЬузЬеу суре 1 61сег) также не имеет нулей, а ее полюсы расположены в левой половине эллипса на з-плоскости (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
