Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов (2002) (1095939), страница 23
Текст из файла (страница 23)
д.) преобразуется в последовательность чисел, которая затем подвергается математическим преобразованиям в вычислительном устройстве. Трансформированный цифровой сигнал (последовательность чисел) при необходимости может быть преобразован обратно в напряжение или ток. В данной главе будут рассмотрены принципы математического описания и анализа дискретных сигналов. Но прежде всего следует пояснить некоторые терминологические тонкости, которые, возможно, уже были замечены внимательным читателем: в названии книги упоминается цифровая обработка сигналов, а данная глава посвящена дискретным сигналам.
С обсуждения разницы между этими понятиями мы и начнем. Аналоговые, дискретные и цифровые сигналы Исходный физический сигнал является непрврытюй функцией времени. Такие сигналы, определенные во все моменты времени, называют аналоговыми (апа1ой). Последовательность чисел, представляющая сигнал при цифровой обработке, является дискретным рядом (д(зсгеге зепез) и не может полностью соответствовать аналоговому сигналу.
Числа, составляющие последовательность, являются значениями сигнала в отдельные (дискретные) моменты времени и называются отсчетами сигнала (защр1ез). Как правило, отсчеты берутся через равные промежутки времени Т, называемые периодом дискретизации (или интервалом, шагом дискретизации — защр1е йпе). Величина, обратная периоду дискретизации, 128 Глава 3. Дискретные сигналы называется частотой дискретизации (зашр!шй (геццспсу); /, - 1/Т.
Соответствующая ей круговая частота определяется следующим образом: огк 2к/Т. Ясг(о, что в общем случае представление сигнала набором дискретных отсчетов приводит к потере информации, так как мы ничего пе знаем о поведении сигнала в промежутках между отсчетами. Однако, как будет показано далее в разделе «Теорема Котельникова», существует класс аналоговых сигналов, для которых такой потери информации не происходит и которые могут быть точгго восстановлены по значениям своих дискретных отсчетов.
Процесс преобразования аналогового сигнала в последовательность от счетов называется дискретизацией (зашр)(пя), а результат такого преобразования — дискрептым сигггалом. При обработке сигнала в вычислительных устройствах его отсчеты представляются в виде двои шых чисел, имеющих ограниченное число разрядов. Вследствие этого отсчеты могут принимать лишь конечное множество значений и, следовательно, при представлении сигнала неизбежно происходит его округление. Процесс преобразования отсчетов сигнала в числа называется квантованием по уровню (цвапВхайоп), а возникагошие при этом ошибки округления — ошибками (или шумами) квантования (цвапг1зайоп сггог, цпапВхайоп по1зс). Сигнал, дискретный во времени, но не квантованный по уровню, называется дискретньгм (Й(зсгеге-г)ше) сигналом. Сигнал, дискретньш во времени и квантованный по уровню, называют цифровым (с()я(га1) сигналом.
Сигналы, квантованные по уровню, но непрерывные во времени, па практике встречаются редко. Разницу между аналоговыми, дискретными и цифровыми сигналами иллюстрирует рис. 3,1. Рис. Злн Аналоговый (слева), дискретный (в центре) и цифровой (справа) сигналы Вычислительные устройства,' предназначенные для обработки сигналов, могут оперировать' только цифровыми сигналами. Существуют также устройства, построенные в основном на базе аналоговой схемотехники, которые работают с дискретными сигналами, представленными в виде импульсов различной амплитуды или длительности.
Чтобы подчеркнуть отсутствие квантования по уровню, такие устройства иногда называют дискретгго-аггалоговыми (ДАУ). В большей части книги речь пойдет о дискретггык сигналах и методах их обработки, поскольку эффекты, связанные с квантованием по уровню, в большинстве случаев не будут приниматься во внимание. Однако этим эффектам, а также другим проблемам, связанным с конечной точностью представления чисел в вычислительных устройствах, специально посвящена глава 7.
1гв Аналого-цифровое и цифра-аналоговое преобразование Аналого-цифровое и цифроаналоговое преобраэование Обобщенная структура системы цифровой обработки сигналов приведена на рис. 3.2. На вход поступает аналоговый сигнал ам(г). Его временная дискретизация и квантование по уровню производятся в аналого-цифровом преобразователе (АЦП; английский термин — Апа1ой-1о-Г)!я)~а! Сопчег!ег, А()С). Вообще зти два процесса — дискретизация и квантование — являются независимыми друг от друга, но они, как правило, выполняются внутри одной микросхемы. Выходным сигналом АЦП является последовательность чисел, поступающая в цифровой процессор ЦП, выполняющий требуемую обработку. Процессор осуществляет различные математические операции над входными отсчетами; ранее полученные отсчеты и промежуточные результаты могут сохраняться в памяти процессора для использования в последующих вычислениях.
Результатом работы процессора является новая последовательность чисел, представляющих собой отсчеты выходного сигнала. Аналоговый выходной сигнал г,„„(г) восстанавливается по втой последовательности чисел с помощью цифра-аналогового преобразователя (ЦАП; английский термин — П)й)га!-го-Апа1оя Сопчеггег, Г)АС). Напряжение на выходе ЦАП имеет ступенчатую форму (это также показано на рис. 3,2); при необходимости оно может быть преобразовано в плавно меняющийся выходной сигнал с помощью стлаживающего фильтра Ф.
)хо. хь хо. ".) )Уо УьУь ) Рис. 3.2. Структурная схема системы цифровой обработки сигналов Устройства, реализуемые с помощью структуры типа рис. 3.2, могут иметь самый разнообразный характер. В цифровой форме можно создавать фильтры, анализаторы спектра, нелинейные преобразователи сигналов и многое другое. ЗАМЕЧАНИЕ Использование входных и выходных сигналов в аналоговой форме (и, следовательно, наличие АЦП н ЦАП) не всегда является необходимым. Так, прн реализации цифрового генератора сигналов не нужен входной аналоговый сигнал, а ЦАП может отсутствовать, если консчный результат необходим только в цифровой форме.
Частота Найквиста Гармонический сигнал может быть адекватно представлен дискретными отсчетами, если его частота не превышает половины частоты дискретизации (эта часто- 1ЗО Глава 3. Дискретные сигналы та называется частотой Найквиста (Хуг(ц1эс Егейцепсу) — /л "~,/2 - 1/(2Т); юн - юа/2 - я/Т). Происхождение этого ограничения поясняет рис. 3.3. В зависимости от соотношения между частотой дискретизируемого гармонического сигнала и частотой Найквиста возможны три случая. 1. Если частота гармонического сигнала менеии частоты Найквиста, дискретные отсчеты позволяют правильно восстановить аналоговый сигнал (рис. 3.3, а).
2. Если частота гармонического сигнала равна частоте Найквиста, то дискретные отсчеты позволяют восстановить аналоговый гармонический сигнал с той же частотой, но амплитуда и фаза восстановленного сигнала (он показан пунктирной линией) могут быть искажены (рис. 3.3, б). В худшем случае все дискретные отсчеты синусоиды могут оказаться равными нулю.
3. Если частота гармонического сигнала болыие частоты Найквиста, восстановленный по дискретным отсчетам аналоговый сигнал (как и в предыдущем случае, он показан пунктирной линией) будет также гармоническим, но с иной частотой (рис. 33, в). Данный эффект носит название гюяелеяия ложных частот (а1!аз(пя), мы продолжим его рассмотрение в следующем разделе «Спектр дискретного сигнала», Рис.
З.З. Дискретизация гармонических сигналое с разной частотой ЗАМЕЧАНИЕ Эффекты, связанные с дискретизацией периодических процессов, наглядно проявляются при кино- и видеосъемке вращающихся объектов (таких, например, как колеса автомобилей). Из-за недостаточно высокой частоты дискретизации (частоты смены кадров) быстро вращающееся колесо может выглядеть неподвижным либо медленно поворачивающимся (причем в любую сторону). 1З1 Спектр дискретного сигнала Спектр дискретного сигнала Преобразование Фурье позволяет вычислить спектральную плотность сигнала, представляющего собой функцию (как правило, времени либо пространственных координат). Дискретный же сигнал является носледоеательностпью чисел, поэтому для анализа его спектра обычными-(аналоговыми) средствами необходимо сопоставить этой последовательности некоторую функцию.
Традиционным способом такого сопоставления является представление отсчетов в виде дельта-функций с соответствующими множителями и задержками. Для последовательности отсчетов (х(л)) получится следующий сигнал: (3.1) Преобразование Фурье линейно, спектр дельта-функции равен единице, а задержка сигнала во времени приводит к умножению спектра на комплексную экспоненту. Все это (см. раздел «Свойства преобразования Фурье» главы 1) позволяет сразу же записать спектр дискретного сигнала: 5(а) = 2 х(гг)е '"'.
(3.2) Из этой формулы видно главное свойство спектра любого дискретного сигнала: спектр является периодическим, и его период в данном случае равен 2я (то есть круговой частоте дискретизации, поскольку, составляя сигнал из дельта-функций, мы выбрали единичный интервал между ними, что дает а, " 2к): Я(а~ 2я) = 5(а). Следует также обратить внимание на размерность спектральной функции дискретного сигнала: она совпадает с размерностью отсчетов. Это связано с тем, что дельта-функции времени, из которых был составлен сигнал (3.1), имеют размерность частоты (см. раздел «Классификация сигналов» главы 1).
Формула (3.2) позволяет вычислить спектральную функцию по известным отсчетам х(л). При конечном числе ненулевых отсчетов этот расчет несложен; он может быть выполнен с помощью функции МАТ) АВ гге0г (подробнее об этой функции см. раздел «Расчет частотной характеристики» главы 4). Теперь рассмотрим несколько иную задачу. Пусть значения х(л) являются отсчетами аналогового сигнала з(г), взятыми с периодом Т: х(Й) з(йТ). Выясним, как в этом случае спектр дискретного сигнала (3.2) связан со спектром аналогового сигнала 5(а). Итак, мы рассматриваем дискретизироеанный сигнал в виде последовательности дельта-функций, «взвешенной» значениями отсчетов з(лТ) аналогового сигнала з(г) (рис. 3.4): 5»(г) = ~~' 8(ггТ)Ь(г — лТ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
