Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов (2002) (1095939), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Выходной сигнал (в точности соответствующий исходному аналоговому сигналу), таким образом, будет представлять собой сумму сдвинутых и умноженных на отсчеты сигнала копий импульсных характеристик идеального ФНЧ (3.11): (3.12) Подводя итог всему сказанному, сформулируем теорему Котельникова: любой сигнал з(г), спектр которого не содержит составляющих с частотами выше некоторого значения го, - 2я /„ может быть без потерь информации представлен свои- теорема Котельникова ми дискретными отсчетами [з(лТ)), взятыми с интервалом Т, удовлетворяющим следующему неравенству: Т ь — = —.
1 к (3.13) 2~; ез, Восстановление исходного непрерывного сигнала з(г) по набору его дискретных отсчетов (з(лТ)) производится по формуле (3.12). ЗАМЕЧАНИЕ В зарубежных источниках данная теорема называется теоремой Найквиста (!чуйы!зг ГЬеогею) нлн теоремой дискретизации (заюр)!пя ГЬеогею). Формула (3.12) представляет собой разложение сигнала з(г) в ряд по системе функций (<рь(г)), называемой базисом Котельникова: 3!и к— г — дТ Т Формирование непрерывного сигнала по его дискретным отсчетам поясняет рис. 3.12.
Пунктиром показаны графики отдельных слагаемых формулы (3.12), сплошной линией — восстановленный сигнал. Ниже приводится код МАТ!.АВ, использованный при построении рисунка: » й -2;0.01:6: а вренЯ длЯ восстановленного сигнала » 10 = -2:б; 1 нокера отсчетов » з = [О 0 4 3 2 ! О 0 ОП а дискретный сигнал » 0 = [10' з'); а данные длЯ функции рц1зггап » у - рц1зтгап(С, О, 'з1пс'): ь восстановленный сигнал » р1ог(1(), з, 'о'. 1. у) ь график восстановленного сигнала » По)0 оп ' а выводим графики отдельных з)пс-инпульсов » Гог к-1:1еп01П(з), р1ог(1, з(к)*з)пс(1-10(к)). ':'), епц » По10 оГГ ЗАМЕЧАНИЕ Прн построении рнс. 3.12 была использована функция рн!астап.
Она позволяет сформировать сигнал в виде суммы конечного числа импульсов произвольной формы с заданнымн задержками н множителями, что делает ее очень удобной при построении графиков сигналов, восстановленных по дискретным отсчетам согласно теореме Котельникова. Эта функция будет подробно рассмотрена далее, в разделе «Генерация последовательности импульсов» втой главы.
Рисунок 3.12 наглядно демонстрирует главное свойство сигнала с ограниченным спектром — его бесконечность во времени. Хотя отличны от нуля лишь несколько отсчетов показанного сигнала, аналоговый сигнал оказывается бесконечно колеблющимся — между нулевыми отсчетами (на рисунке зто отсчеты с номерами -2, -1, 4, 5, 6) его значения отличны от нуля.
Эти колебания нигде не заканчиваются, хотя их амплитуда стремится к нулю. 140 Глава 3. Дискретные сигналы -1 -2 -1 О 1 2 3 Рис. 3.12. Восстановление непрерывного сигнала по вго дискретным отсчетам Иногда можно встретить примерно следующее «объяснение» сущности теоремы Котельникова: «если брать отсчеты достаточно часто, в промежутках между ними сигнал с ограниченными спектром не успеет сильно измениться, и мы сможем точно восстановить его». Такая трактовка является принципиально неправильной. Замечательное обсуждение этого вопроса содержится в 161, здесь же ограничимся краткими пояснениями и одним примером.
Когда мы говорим об ограниченной полосе частот сигнала, имеется в виду спектральная функция всего сигнала, имеющего бесконечную длительность. При этом мгновенные спектры отдельных фрагментов сигнала могут содержать сколь угодно высокие частоты.
ЗАМЕЧАНИЕ Под мгновенным спектром подразумевается спектральная функция «вырезанного» нз снгнзла фрагмента конечной длительности. В частности, в отдельном промежутке между соседними отсчетами сигнал с ограниченным спектром может иметь сколь угодно сложную форму, например произвольное число раз менять знак. В качестве примера восстановим по формуле (3.12) непрерывный сигнал на основе последовательности, содержащей четыре ненулевых отсчета:..., О, О, 30, 1, -1, — 30, О, О, ...
(рис. 3.13): » С - 0:0.01:8; Х вреиЯ дпЯ восстановленного сигнала » Сб 2:5: 2 номера ненулевых отсчетов » з - ГЗО 1 -1 -ЗО); Ф дискретный сигнал » О - (Со' з'); Х данные дпЯ функции рц)зсгап » у - рц!зсгап(1, о. '11пс'): Ф восстановленный сигнал » р)ог1го. 5. о . 1. У) » ЯГ1о Теорема Котельникова Результат, показанный иа рис. 3.13, свидетельствует о том, что фрагмент восстаиовлеииого сигнала между 3-м и 4-м отсчетами представляет собой колебание с периодом, равным интервалу дискретизации (то есть с частотой, вдвое превышающей частоту Найквиста!). Однако весь сигнал, составленный из сдвинутых Функций базиса Котельникова, ие содержит спектральных составляющих с частотами, большими частоты Найквиста. 40 30 20 10 -10 -20 -30 -40 0 1 2 3 4 5 Рис.
3.13. Сигнал с ограниченным спектром, содержащий фрагмент с колебаниями высокой частоты Восстановление радиосигнала по отсчетам видеосигнала Если для восстановления сигнала воспользоваться ие ФНЧ, а идеальным похосовььи фильтром со средней частотой пгок и шириной полосы пропускаиия, равной от„, будет выделена пара сдвинутых копий спектра Б(го~ 2пп~Т) Из свойств преобразования Фурье (см. формулу (1.18) в разделе «Умиожеиие сигнала иа гармоническую функцию» главы 1) следует, что такой спектр соответствует радиосигналу следующего вида (предполагается, что условие теоремы Котельиикова выполнено и сдвинутые копии спектра ие перекрываются): (3.14) з„(г) - 2з(г)соз(пгвдг) Таким образом, с помощью полосового фильтра можно из дискретных отсчетов видеосигпали получить аналоговый радиосигнал.
Импульсная характеристика идеального полосового фильтра с указанными параметрами имеет вид з(п и— п(Г) = сов(2п — 1 л— Т 142 Глава 3. дискретные сигналы Поэтому во временной области формирование радиосигнала по отсчетам видео- сигнала описывается следующим образом; эгп к— з(г) = ~ з(МТ) соз~2к — "1. г-кТ 'с Т(' Т (3.15) ЗАМЕЧАНИЕ В формулах (3.14) в (3.15) имеется множитель соо(ла„с), что свидетельствует о чисто амп- литудной модуляция получаемого радиосигнала.
Подробнее о модуляции речь пойдет в главе 8. Квадратурная дискретизация узкополосных сигналов Пусть дискретизации необходимо подвергнуть узкополосный сигнал, который в общем случае может иметь как амплитудную, так и угловую модуляцию: з(г) - А(г) соз (аог+ ср(г)), Информация, переносимая сигналом, заключена в его комплексной огибающей А(г) = А(г)е'»"'. Спектр этого комплексного сигнала занимает полосу частот — аа/2 ... ста/2.
Поэтому, согласно теореме Котельникова, минимально допустимая частота дискретизации для этого сигнзла равна Ьсо, что значительно меньше, чем в случае прямой дискретизации. Однако отсчеты такого сигнала, естественно, будут комплексными. Рассмотрим способ реализации квадратурной дискретизации (рис. 3.14). Входной сигнал умножается на колебания двух генераторов (гетеродинов, Ьетегос(упе) с частотой ао, сдвинутые по фазе друг относительно друга на 90' — соз аот и з!и аот. Результат каждого из умножений содержит две составляющие — низкочастотную и высокочастотную (на частоте 2соо): где соо — несущая частота, А(г) и ср(г) — законы амплитудной и фазовой модуляции соответственно, представляющие собой медленно (по сравнению с соз(аог)) меняющиеся функции. Частоту дискретизации для такого сигнала можно выбрать исходя непосредственно из теоремы Котельникова, при этом она должна быть не меньше, чем ао + Ьа, где Ьа — ширина спектра сигнала е(г).
Однако возможен другой вариант (правда, требующий предварительной обработки сигнала) — кеадратурная дискретизация. Запишем аналитический сигнал для з(г) (аналитический сигнал был рассмотрен в разделе оКомплексная огибающая» главы 1): 3(Г) 4(Г)ЕМСт)ЕМЫ 143 х-преобразование з(г)сов гоог = А(г)соз(юог + гр(г)) сов гоог = 1 1 = — А(г)сов гр(г)+-А(г)соз(2го,г+ Е(г)) = 2 2 = — ЕеА(г)+ -А(с) соз(2ю, г+ ф(г)), 1 1 2 2 з(г)з1паег = А(г)соз(гоог+ ф(г))апгоог = 1 . 1 = --А(г)з(пф(г)+ — А(г)соз(2ю,г — ф(г)) = 2 2 = — 1шА(г) + — А(г) соя(2гое г — ф(г)). 1 1 2 2 ФНЧ Рис.
3.14. Квадратурнвя дискретизация Таким образом, для получения вещественной и мнимой частей комплексной огибающей сигнала нужно после перемножения пропустить результаты через фильтры нижних частот, чтобы устранить вторую гармонику несущей. Полученные в результате сигналы, пропорциональные Ее А(г) и 1шА(Г), подвергаются дискретизации с частотой не ниже, чем Ьго — 2 = Ьго.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
