Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов (2002) (1095939), страница 26
Текст из файла (страница 26)
2 ЗАМЕЧАНИЕ Данная процедура сдвига спектра сигнала путем умножения его на опорное гармоническое колебание с последующим выделением нужных спектральных составляющих с помощью фильтра называется гетеродинированием (Ьегегобупищ). Рассмотренная схема получила широкое распространение при обработке радиосигналов. Квадратурное гетеродинирование просто и дешево реализуется аналоговыми средствами, цифровая часть благодаря низкой частоте дискретизации также оказывается сравнительно несложной. Е-преобразование Удобным способом анализа дискретных последовательностей является --преобразование (л-ггапзгогш).
Смысл его заключается в том, что последовательности 144 Глава 3. Дискретные сигналы чисел (х((г)) ставится в соответствие функция комплексной переменной -, опре- деляемая следующим образом: (3.16) Х(;) = ~х((г)а '. ы- Разумеется, функция Х(-) определена только для тех значений;, при которых ряд (3.16) сходится.
Е-преобразование играет для дискретных сигналов и систем такую же роль, как преобразование Лапласа — для аналоговых. Определяющим при этом являет- ся тот факт, что, как мы увидим в главе 4, а-преобразование импульсной харак- теристики дискретной системы является дробно-рациональной функцией пере- менной га Единичная импульсная Функция Единичная импульсная функция является дискретным аналогом дельта-функ- ции (см.
раздел «Классификация сигналов» главы 1) и представляет собой оди- ночный отсчет с единичным значением: (3.17) Расчет его --преобразования не представляет сложности: Х,(-) = ~ х»(а)а ~ =1 с» =1. Функция Х,(;) сходится на всей комплексной плоскости. Единичный скачок Дискретный единичный скачок по смыслу полностью соответствует своему ана- логовому прообразу (см. раздел «Классификация сигналов» главы 1): х(я) = Используя определение --преобразования (3.16), получаем Х(-) = ~х(я)а ' = ~ ~1 - '.
(3.18) Ряд (3.18) является суммой бесконечной геометрической прогрессии с первым членом 1 с~ - 1 и знаменателем ='. Как известно, такой ряд сходится при ~ х '~ < 1, то есть при ) х ! > 1, и его сумма равна Примеры вычисления *-преобразования Вычислим;-преобразование для некоторых часто встречающихся на практике дискретных сигналов. 145 л-преобразование Х(а) = 1 1-- ' (3.19) ЗАМЕЧАНИЕ Можно записать результат и в виде Х(-) - -/(с — 1), но в теории --преобразования принято использовать отрицательные степени -. Дискретная экспоненциальная функция Дискретная экспоненциальная функция определяется следующим образом: (О, й О, Для вычисления --преобразования нужно вычислить сумму следующего ряда: Х(а) = ~х„х(й)л " = х,авв ' =,'„(а '-) '.
ь -ф ~=о ыо Дискретная затухающая синусоида Последняя из рассматриваемых здесь дискретных последовательностей представляет собой отсчеты синусоиды с произвольными частотой и начальной фазой и экспоненциально меняющейся амплитудой: х(в) = а' соз(юя + ~р). Для вычисления х-преобразования можно представить косинус по формуле Эйлера в виде полусуммы двух комплексных экспонент, а потом воспользоваться уже готовым результатом (3.20): созср — асов(со-~р)а ' 1-2а сов(от)а '+ с ' Так же как и в случае дискретной экспоненты, ряд сходится при ~4 > ~а~. Связь е-преобразования с преобразованиями Лапласа и Фурье Дискретное --преобразование очень просто связано с преобразованиями Лапласа и Фурье.
Рассмотрим последовательность, определенную при л > О, и сопоставим ей временной сигнал в виде набора дельта-функций: з(г) = ~ ~х(Й)б(г — ЙТ), (3.21) ь=а Как и в предыдущем случае, этот ряд представляет собой сумму геометрической прогрессии. Первый член равен 1, знаменатель равен а; '. Таким образом, ряд сходится при ~аа '~ < 1, то есть при )з ~ > ~а), а его сумма равна Х(д) = 1 (3.20) 1-а- ' 146 Глава 3, дискретные сигналы где Т вЂ” интервал дискретизации. Преобразование Лапласа для сигнала (3.21) равно: 5(р) =') з(Г)е "й =)' ~~ х(Й)6(Г-МТ)е~'Й = ~г х(Ь)~6(Г-ИТ)е ~'тат.
а вью г-о о Воспользовавшись фильтрующим свойством дельта-функции (см. формулу (1.1) в разделе «Классификация сигналов» главы 1), получим 5(р) = ч~„х(Ь) е лт~. «.а Эта формула переходит в формулу (3.16), определяющую э-преобразование, если выполнить подстановку з - елг. Таким образом, взаимное соответствие между т-преобразованием Х(з) и преобразованием Лапласа 5(р) описывается следующим образом: Х(г) = 5~ — 1п-, (1 ~т 5(р) = Х~е "~) . Похожими формулами описывается и связь т-преобразования Х(г) с преобразо- ванием Фурье 5(аг) (заметим, что при рассмотрении этой связи нет необходимо- сти считать последовательность односторонней): 5(го) = Х(ел'~).
(3.22) Свойства *-преобразования Тесная связь г-преобразования с преобразованиями Фурье и Лапласа обуслов- ливает и подобие свойств этих преобразований. Однако имеется и некоторая спе- цифика, возникающая из-за дискретного характера рассматриваемых сигналов. Линейность У-преобразование, согласно определению (3.16), является линейной комбинацией отсчетов последовательности, поэтому оно подчиняется принципу суперпозиции: если (х,(й)) ++ Хг(а) и (хг(Й)) ++ Хг(г), то (а х1(Ь) + Ь хг(Ь)1 <-» аХ,(г) + ЬХг(-).
Задержка Если;-преобразование последовательности (х(Ь)) равно Х(д), то =преобразо- вание последовательности, задержанной на Ав тактов (у(Ь) - х(/г — Ьв)), будет иметь вид 147 2'-преобразование у(а)= ~у(я)х = ~х(я — й )х гг Хх(я-й )- ' ' =" "' Хх(п)г" =Х(-)- Таким образом, при задержке последовательности на яц тактов необходимо умножить ее»-преобразование на г ~'.
Множитель; М является оператором задержки дискретной последовательности на йс тактов. Свертка Свертка двух бесконечных дискретных последовательностей (х,(я)) и (хг(я)) определяется следующим образом: у(й) = ~х,(п)хг(Й вЂ” и). Вычислим г-преобразование для последовательности (у(я)): у(х)= Ху(й);- = Х ~ Хх,(п)хг(й .)д- ~ = »- ~,х,(п)хг(й — и)» И -» (3.23) х,(п)» " ,'„хг(я-п)г ""' г Хг ( с ) = х,(;) ~х,(п)д-" =х,(;)х,(;). » Итак, свертке дискретных последовательностей соответствует произведение их »=преобразований. ЗАМЕЧАНИЕ Рассматриваемая здесь свертка бесконечных дискретных последовательностей называется линейной сверткой; ее не следует пугать с круговой сверткой периодических последовательностей, речь о которой пойдет пря описании свойств дискретного преобразования Фурье в главе 5.
Обратное е-преобразование Соответствие между дискретной последовательностью чисел и ее =преобразованием является взаимно-однозначным. Формула перехода от а-преобразования к последовательности чисел называется обратным»-преобразованием и формально записывается следующим образом; х(я) = — ~Х(»)»~ 'Ы». (3.24) )'2п 148 Глава 3. дискретные сигналы Интеграл в (3.24) берется по произвольному замкнутому контуру, расположен- ному в области сходимости функции Х(-) и охватывающему все ее полюсы.
Практическое вычисление обратного;-преобразования чаще производится пу- тем разложения функции Х(-) на простые дроби. Поясним это на несложном примере. Пусть Х( )= 1 3 — — +1 2 2 Представим Х(х) в виде суммы простых дробей: Х(:) = (1 — ') 1- — - ' (3.25) 1- —- 2 Из сравнения слагаемых (3.25) с примерами;-преобразований (3.19) и (3.20) видно, что первое слагаемое соответствует скачку с амплитудой, равной 2, а вто- рое — дискретной показательной функции — 2 ~, в > О. Итак, искомая последова- тельность имеет вид /2-2', гг > О, 10, й <О.
Дискретные случайные сигналы р„(х, Й) - р„(х), гл (Й) - т„, Когда дискретизации подвергается случайный процесс, получаемая последовательность отсчетов будет зависеть от конкретной реализации дискретизируемого процесса, и, следовательно, она должна анализироваться статистическими методами. Что касается одномврггой плотности вероятности и связанных с ней статистических характеристик, здесь нет никаких отличий от случая аналогового сигнала— просто возможные одномерные сечения случайного процесса соответствуют моментам дискретизации: гг - вТ, и поэтому для привязки статистических параметров ко времени можно использовать номер отсчета; р,(х, Й), т„(я) и т. д.
Двумерные сечения дискретного случайного процесса также могут браться только в моменты дискретизации: Г, 'вТ, гт = лТ. Поэтому двумерная плотность вероятности и связанные с ней характеристики случайного процесса зависят от двух номеров отсчетов в и и: р„(х„хэ в, п), А„(lг, л') и т. д. В случае стационарного в широком смысле случайного процесса одномерные характеристики не зависят от момента времени (номера отсчета), а двумерные зависят лишь от проивввуглка между моментами времени (в дискретном случае— от разности номеров отсчетов Ьв = гг — л); 1 Дискретные случайные сигналы 149 1),(й) - 2)„, рк(х1 хь Й, п) рк(хн хь гнг), Я„(1г, п) - Я„(Л1г).
Таким образом, для стационарного дискретного случайного процесса корреляци- онная функция является дискретной, то есть представляет собой последователь- ность чисел (Я,(А1г)). Для вещественного случайного процесса Як((г, и) - Я„(п, Й), а если процесс еще и стационарный, то Я (-я) = Я„(ь). Корреляционная матрица Во многих задачах необходимо рассматривать конечный во времени фрагмент случайного процесса длиной Х отсчетов. В этом случае корреляционная функция Я„(1г, и) может быть представлена в виде матрицы, называемой корреляционной маидитцей случайного процесса (для простоты будем считать, что случайный процесс имеет нулевое математическое ожидание): х(0) х(0) х(0) х(1) ... х(0) х()у' — 1) х(1)х(0) х(1)х(1) ...
х(1)х(Аг — 1) Я„=[Я„(Ь,иЯ= х(Аг)х(0) х(Х)х(1) ... х(Аг-1)х(Аà — 1) Чертой сверху здесь обозначено усреднение по ансамблю реализаций, Если процесс нестационарный, все элементы матрицы могут быть различными. В случае стационарного процесса корреляционная матрица полностью определя- ется своими первыми строкой и столбцом, поскольку вдоль всех диагоналей, па- раллельных главной, стоят одинаковые элементы; Я„.(1) ... Я.(А-г) Я„(А-1) Я„(0) ... Я,(У- 3) Я„(М-2) Я„(0) Я„(-1) Я„( — Аг+ 2) Я„(-Х+ 3) ... Я,(0) Я„.
(1) Я„(-И+1) Я„(-Аг+2) ... Я,(-1) Я„(0) В случае вещественного случайного процесса, как уже отмечалось, Я,( — lг) - Яв(я), н корреляционная матрица становится симметричной: ЗАМЕЧАНИЕ Матрицы, обладающие таким свойством, называются матрицами Теплица (Тоер!йх наг- их). В МАТЕАВ сгенеРировать матрицу Теплица цо первым строке н столбцу позволяет функция 1оер111х 150 Глава 3. дискретные сигналы Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
