Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов (2002) (1095939), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Сформировать последовательность с периодом Т можно следующим образом: у = зангосГП(2*р1*т(Т) С помощью второго входного параметра итоги можно регулировать длительность чобратного ходаь — промежутка, на котором уровень сигнала линейно падает от 1 до — 1. При указании параметра ытоФ сигнал линейно возрастает от -1 до 1 за время 2к ту(г1111, а затем за время 2к(1 — ту1йЬ) линейно убывает от 1 до — 1: у - заытосгП(Г. и1отн] По умолчанию значение параметра и1Всп равно 1.
При и1осп - 0,5 получится последовательность симметричных треугольных импульсов. В качестве примера сформируем последовательность треугольных импульсов отрицательной полярности с амплитудой 5 В, периодом 50 мс и длительностью падающего участка 5 мс. Будем использовать частоту дискретизации 1 кГц и временной интервал -25 ... 125 мс (рис. 3,24).
-1.3 -3.3 -в -олм -о.сг с о.аг с.ои с,св о.ов ол сдг ола Рис. 3.34. Последовательность треугольных импульсов, попучвннаи с помощью функции ааатоогп Яз - 1е3; Ж частота дискретизации » 1 - - 25е-3: 1/т гы 125е- 3; $ дискретное вреиЯ » А - 5; й аиппитуда » Т - 50е-3; д период » 11 - 5е-3; д длительность падающего участка 167 дискрвтныв сигналы в МАТ(АВ » 5 - (5аи1оото(2*р)"С/Т.
1-11!Т) — 1) * А(2. » р)ос(1. 5) Функция Дирихле Функция Дирихле описывается формулой яп(их/2) Йпс„(х) = и яп(х/2) где и — целое положительное число. Функция имеет пульсирующий вид: пульсации максимального уровня расположены при х - 2л/г, значение функции в этих точках равно (-1)~(" '). Между этими главными пульсациями расположены пульсации меньшего уровня.
При нечетном и все главные пульсации имеют положительную полярность, и период функции равен 2л. При четном и полярность главных пульсаций чередуется, и период функции оказывается вдвое больше — 4л. Для расчета функции Дирихле в МАТ(.АВ служит функция (1)г1 с. Синтаксис ее вызова следующий: у - О)г)с(х. и) Назначение входных параметров х и о соответствует приведенной выше формуле. Функцию Дирихле называют еще периодической япс-функцией (о функции 51ос речь шла в этой главе ранее, в разделе «Импульс с ограниченной полосой частотв). При нечетном и это действительно так, и функцию Дирихле можно представить следующим образом: При четном и функция Дирихле является суммой сдвинутых во времени япс- функций с чередующимися знаками; Поскольку функция япс имеет равномерный спектр в полосе частот от нуля до л, представление функции Дирихле в виде ряда Фурье (такое представление легко получить с помощью формулы, приведенной в разделе «Связь преобразовалия Фурье и коэффициентов ряда Фурьев главы 1) имеет очень простой вид— количество гармонических слагаемых конечно, а их амплитуды одинаковы: 0 при нечетном и 1 2 2 2 (п-1 йпс„(х) =-+ — соэ(х)+-соз(2х)+ ...
+ — соз( — х; и и и п 1, 2 (;) при четном и с1)г(сл (х) соз ~+ соз + + соз х и (2/ п ~2з~ и (, 2 1вв Глава 3. Дискретные сигналы В качестве примера построим графики функции Дирихле при нечетном и четном значениях и (п - 7 и и - 8, рис. 3.25): х - 0:0.01г15; » р)сс(х. с$1г1с(х, 7)) » дг10 оп » С1С)е('и " 7') » т(доге » р)ст(х, ((1гтс(х, 8)) » дг10 оп » т1С)е('и = 8') 0.8 0.6 0.4 -0.4 с.в о.в 0.2 -О. -О.
0 б 10 10 Рис. 3.26. Функция Дирихле нечетного (сверху) и четного (снизу) порядка Генерация сигнала с меняющейся частотой Функция с))1гр предназначена для генерации колебаний с единичной амплитудой, мгновенная частота которых меняется по заданному закону: 169 Дискретные сигналы е МАТС.АВ у - са)грсС, тО, С1. т1. 'пеС))ос, рП)) Здесь С вЂ” вектор значений времени, рМ вЂ” начальная фаза колебания. Остальные параметры определяют закон изменения частоты. ЗАМЕЧАНИЕ Подробнее понятие мгновенной частоты будет обсуждаться в разделе «Угловая модуляция» главы 8.
Строковый параметр 'веФос)' определяет тип зависимости мгновенной частоты от времени — '11пеаг', 'ОеадгаС1с' или '1оОаг1Фв1с'. Числовые параметры тО, С1 и т1 создают опорные точки для расчетов: в нулевой момент времени мгновенная частота равна тО, а в момент времени С1 оиа равна т1. Математически закон изменения мгновенной частоты выглядит следующим образом; 1З '11пеаг'. Лг) =)о+ РА где )3= с, О) 'Опас)гат1с'; Лг) уо + рг, где с ! ОЗ '1оОаг1Фвтс' иа деле противоречит своему названию — зависимость мгиовеииой частоты от времени при этом не логарифмическая, а экспонеициальиая: л)=ь ЕАМЕЧАНИЕ Диапазон значений времени в векторе с может не включать в себя значений О и с1.
Параметры рМ и 'вет))оп' при вызове функции можно опускать, тогда будут использоваиы их значения по умолчанию: рМ 0 и 'веФос)' - '11пеаг'. Ограничение сигнала по длительности не производится, колебания генерируются для всех значений времени, переданных функции в векторе С. В качестве примера сформируем три сигнала, определенных на промежутке О ... 1 с и имеющих разные законы изменения мгновенной частоты.
В нулевой момент времени все сигналы имеют мгновенную частоту 1 кГц, а в момент времеви 1 с — 2 кГц. Частоту дискретизации выберем равной 8 кГц: » Ез - 8еЗ; $ частота дискретизации » с - О: 1/Ггс 1; 1 дискретное ареиЯ » сО - 1еЗ: » С1 - 1; » т1 - 2еЗ; » з1 - сЫгр)С, тО.
С1, т1, '11пеаг'): » з2 = сЫгр(С, тО, С1, т1. 'спас)гаС1с'): ло Глава 3. Дискретные сигналы » 53 - сп(гр(5, ГО. 11, 11 ')одаг15пп1с'): » 5ресдгаз)(51, Ц. Р5) » 515)е('11пеаг') » со)огяар дгау » 119цге » зресдгап(52. П . Г5) » 115)е('сцаг(га11с') » со)огк)ар 9гау » 1(доге » зресдгаи(53, []. Г5) » 515)е(')одаг15пи1с') » со)огвар дгау На рис. 3.26-3.28 показаны спектротраммы сформированных сигналов, наглядно демонстрирующие характер изменения мгновенной частоты при различных значениях параметра 'иетпог)'. Обратите внимание на то, что значения мгновенной частоты при г - О и г - 1 для всех трех сигналов совпадают.
ЗАМЕЧАНИЕ Функция зресдгагп строит спектрограмму, то есть зависимость мгновенного амплитудного спектра сигнала от времени. Величина модуля спектральной функции отобраягается цветом в координатах чвремя — частота». Подробнее о функции зресягагв будет рассказано в главе 5. Команда со1оппар ягау устанавливает для графиков палитру оттенков серого цвета; в противном случае при черно-белом воспроизведении цветных спектрограмм зависимость оттенка от уровня амплитудного спектра оказалась бы немонотонной. Рис.
3.2б. Спектрограмма сигнала, сформированного функци при линейном законе изменения мгновенной частоты Дискрвтныв сигналы в МдТ~АВ Рис. 3.27. Спектрограмма сигнала, сформированного Функцией сЫгр при квадратичном законе изменения мгновенной частоты Рис. 3.28. Спектрограмма сигнала, сформированного функцией сЫгр при экспоненциальном законе измвнения мгновенной частоты 172 Глава 3. Дискретные сигналы Формирование случайных сигналов Для генерации случайных чисел в МАТЮКАВ служат функции гапб (равномерное распределение) и гарбо (нормальное распределение), а также средства пакета расширения вегас(эг(сз, которые поддерживают множество разных законов распределения вероятности. В данном разделе мы кратко рассмотрим формирование дискретных случайных сигналов с заданным распределением вероятности и корреляционными свойствами.
Реализация заданного закона распределения вероятности Как уже говорилось, средства генерации случайных чисел с различными законами распределения вероятности имеются в пакете Беаяз11сэ. Справочная информация об этом пакете имеется, например, в книге 113], здесь же мы рассмотрим лишь общий способ получечия случайных чисел с заданной функцией распределения на основе равномерно распределенных случайных чисел. Пусть Х вЂ” случайная величина, равномерно распределенная на интервале 0...1 (см. раздел «Равномерное распределение» главы 1).
Для получения случайной величины У, имеющей функцию распределения Рк(у), случайную величину Х необходимо подвергнуть следующему нелинейному преобразованию: У =Р„' п(Х), (3.28) где Р„' о — функция, обратная по отношению к Р„(у).
Действительно, при таком расчете вероятность того, что У не превышает значения у, равна Р(У у) Р(Х~Р(у)). Но Х имеет равномерное распределение, поэтому Р(Х ь Рк(у)) - Рк(у). Таким образом, Р(У» у) Р~(у), то есть У действительно имеет требуемую функцию распределения. ВНИМАНИЕ С теоретической точки зрения рассмотренный подход является универсальным, однако на практике он может оказаться неудобным, поскольку обратные функции распределения для многих законов (например, для нормального) не выражаются через элементарные функции. В таких случаях приходится использовать более изощренные методики. Формулу (3.28) можно обобщить на случай произвольного преобразования функции распределения.
Если случайная величина Х имеет функцию распределения Р,(х), а нужно получить случайную величину У с функцией распределения Р (у), искомое преобразование следует записать следующим образом: У = Р„'-"(Р„(Х)). 173 )дискретные сигналы е МАТ(АН Преобразование Рк(Х) делает распределение случайной величины равномерным, а преобразование Г~ 0(„.) формирует случайную величину с заданным распределением вероятности. В качестве примера сгенерируем по формуле (3.28) случайные числа с рэлеевским законом распределения (1.52). Функция распределения для закона Рэлея получается интегрированием его плотности вероятности: (У)=( *Р— «* ) Р— ), )г О.
во Обратная функция будет иметь вид Г( "(х) = о Гг-2 1п (1 — х), 0 < х ( 1. (3.29) Генерируем равномерно распределенные случайные числа с помощью функции сапе, производим их преобразование по формуле (3.29) и строим гистограмму с помощью функции Птвт (рис. 3.29): » М = 10000: Ж количество чисел » в)два = 1: Ж параиетр рзлеевского закона » Х - гап(((1. и): Ж равноиерное распределение » у - з)два * вдг1(-2 * )од(1 - Х)), Ж закон Рзлед » П)вт(У, 25) Ж гистограмма по 25 интервалам 1200 1000 400 0 О.б 1 1.5 2 2.5 3 З.б 4 4.6 Рис.
3.20. Гистограмма случайных чисел с релеевским распределением Полученная гистограмма показывает хорошее соответствие с графиком рэлеевской плотности вероятности, показанным ранее на рис. 1.38. Реализация заданной корреляционной функции Поскольку корреляционная функция случайного сигнала взаимно-однозначно связана с его спектром (см, раздел «Теорема Винера — Хинчинаа главы 1), для формирования сигнала с заданной КФ можно взять отсчеты белого шума и пропустить их через фильтр с соответствующей АЧХ (ФЧХ фильтра не имеет зна- 174 Глава 3. днскрвтныв сигналы Графики белого шума и экспоненциально коррелированного сигнала показаны на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
