Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов (2002) (1095939), страница 34
Текст из файла (страница 34)
ЗАМЕЧАНИЕ Далее, з главе 6, где пойдет речь о расчете (сннтезе) систем, реализующих зздзнные (зо многих случаях действительно полосозые) частотные характеристики, будет употребляться исключительно слово «фильтры Сущность линейной дискретной обработки Вообще, дискретный фильтр — это произвольная система обработки дискретного сигнала, обладающая свойствами линейности и стациоиариости. Под этими свойствами понимается то же, что и в аналоговом случае (см. раздел «Классификация систем» главы 2): линейность означает, что выходная реакция иа сумму сигналов равна сумме реакций иа эти сигналы, поданные на вход по отдельности, а стационарность — что задержка входного сигнала приводит лишь к такой же задержке выходного сигнала, не меняя его формы. 190 Глава 4.
Дискретные системы ЗАМЕЧАНИЕ Существуют и фильтры с переменными параметрами, ие обладающие свойством стациоиарвости. Это, например, адаптивные фильтры, меняющие свои параметры в зависимости от статистических свойств входного сигнала, Рассмотрение таких систем выходит за рамки данной книги. Дополнительную информацию можно найти в [18, 19]. Кроме того, несколько функций, реализующих алгоритмы адаптивной фильтрации, добавлено в последнюю (2.!) версшо пакета Р1[гег Рез!8п, Любой фильтр обладает определенной частотной характеристикой. Чтобы она была нетривиальной, то есть чтобы коэффициент передачи фильтра на разных частотах был разным, выходной сигнал фильтра у(л) должен зависеть от нескольких отсчетов входного сигнала х(к). Таким образом, дискретный фильтр должен обладать памятью.
Чтобы обеспечить линейность и стационарность, производимые фильтром математические операции должны ограничиваться сложением и умножением на константы. Рассмотрим простейший пример. Пусть выходной сигнал фильтра равен сумме двух последних отсчетов входного сигнала: у(Й) - х® + х(а — 1). Убедимся в том, что эта система по-разному пропускает на выход сигналы разных частот. Для начала подадим на вход фильтра серию одинаковых отсчетов (то есть сигнал нулевой частоты): Как видите, уровень постоянного сигнала фильтр увеличил в два раза.
Теперь подадим на вход отсчеты, одинаковые по модулю, но с чередующимися знаками (то есть отсчеты гармонического сигнала с частотой Найквиста): 191 Сущность линейной дискретной обработки В отличие от постоянного сигнала, сигнал с частотой Найквиста на выход просто не прошел. Далее попробуем что-нибудь промежуточное, например сигнал с частотой, равной половине частоты Найквиста: На выходе в данном случае получаются отсчеты синусоиды, имеющей в ьГ2 раз большую амплитуду и некоторый фазовый сдвиг по сравнению со входным сигналом.
Рассмотренный пример представляет собой простейший случай нерекурсивного фильтра. Такие фильтры суммируют некоторое число входных отсчетов, умножая их при этом на постоянные весовые коэффициенты. Теперь заметим, что помимо выходных отсчетов мы можем использовать для вычислений и ранее рассчитанные значения выходного сигнала. Попробуем просто суммировать входной отсчет и предыдущий выходной отсчет: у(А) - х(я) + у(й — 1). Подаем на вход постоянный сигнал (начальное состояние фильтра считаем нулевым): 192 Глава 4, Дискретные системы Так, очевидно, будет продолжаться и далее — выходной сигнал будет линейно нарастать, что рано или поздно приведет к переполнению разрядной сетки вычислительного устройства.
Это сразу же демонстрирует нам главную отличительную черту фильтров, использующих при вычислениях предыдущие отсчеты выходного сигнала (их называют рекурсивными фильтрами) — из-за наличия обратных связей они могут быть неустойчивыми. Попробуем уменьшить влияние обратной связи, разделив предыдущий отсчет выходного сигнала на 2: у(Ь) = х(Ь) + 0,5 у(Ь вЂ” 1). Снова подаем на вход постоянный сигнал: Как видим, ситуация радикально изменилась — теперь выходной сигнал с уменьшающейся скоростью стремится к значению 2. Таким образом, переходный процесс в фильтре является бесконечным. Это еше одна отличительная черта рекурсивных фильтров. Итак, рекурсивные фильтры суммируют при расчетах не только входные, но и некоторое количество предыдущих выходных отсчетов сигнала, умножая их при этом на постоянные весовые коэффициенты.
В общем случае дискретный фильтр суммирует (с весовыми коэффициентами) некоторое количество входных отсчетов (включая последний) и некоторое количество предыдущих выходных отсчетов; у(/г) = Ьв х(/г) + Ь| х(Ь вЂ” 1) ч ... ч- Ь„х(Й вЂ” т)— — а1 у(Ь вЂ” 1) — аг у(Ь вЂ” 2) — ... — а„ у(Ь вЂ” п), (4.1) где а, и Ь; — вещественные коэффициенты. 193 Способы описания дискретных систем Данная формула называется алгоритмом дискретной фильтрации. Если по-иному сгруппировать слагаемые, чтобы с одной стороны от знака равенства были только входные отсчеты, а с другой — только выходные, получим форму записи, называемую раэностным уравнением: у(Ь) + аг у(Й вЂ” 1) + аг у(Й вЂ” 2) е ...
+ аг у(7г — и) = Ьэ х(Ь) + Ь, х(Ь вЂ” 1) + ... + Ь х(Ь вЂ” т). ВНИМАНИЕ Между отечественными н зарубежными источниками существуют расхождения в обозначениях коэффициентов при описании дискретных систем. В зарубежных публикациях коэффициенты а, относятся к о~счетам выходного сигнала, а коэффициенты Ь; — к отсчетам входного сигнала.
В отечественной литературе (см., например, [1, 2, 4]) все наоборот — коэффициенты а, относятся к отсчетам входного сигнала, а Ь, — выходного. В данной книге, демонстрирующей идеи и алгоритмы обработки сигналов с номошью системы МАТ1.АВ, ради уменынения возможности путаницы принят вариант обозначений, соответствуюгций документации МАТ1.АВ.
Структура разностиого уравнения похожа на структуру дифференциального уравнения аналоговой линейной системы (см. формулу (2.10) в разделе «Способы описания линейных систем» главы 2), только вместо операции дифференцирования в формуле фигурируют задержки дискретных последовательностей.
Как мы увидим далее, этим определяется и общность подходов к описанию аналоговых и дискретных систем. Однако весьма существенным является то, что в дискретной системе не существует каких-либо принципиальных ограничений на соотношение между т и и — количествами входных и выходных отсчетов, используемых при вычислениях. Способы описания дискретных систем Дискретные системы, как и аналоговые, могут описываться различными способами.
Благодаря сходству свойств --преобразования со свойствами преобразований Лапласа и Фурье способы описания аналоговых и дискретных систем в основном похожи друг на друга. Кроме того, практически каждый способ описания дискретной системы соответствует определенной структурной схеме из числа рассмотренных в разделе «Формы реализации дискретных фильтров».
Импульсная характеристика В случае линейных систем с постоянными параметрами для анализа прохождения любого сигнала достаточно знать результат прохождения элементарного импульса в виде дельта-функции. Для дискретных систем также можно ввести в рассмотрение единичную импульсную функцию хр(/г) (см. раздел «Примеры вычисления г-преобразования» и формулу (3.17) в главе 3). 194 Глава 4.
Дискретные системы Выходная реакция па единичный импульс хат) называется импульсной характле- ристикой дискретной системы и обозначается Ь(Л). Г)ронедура вычисления у(0)" 11 1 Л(0 — а): Л 1: У(1) 12431 5 У(2) = 1 3 » 3 2 + 2 ! 11 .к(а): 1 3 2 у(3)=14+33+22 12 4 3 2 1 вава)» к(а): 1 3 2 р У(4)=3.4+23 18 3 2 Л(4- а): к(а); 1 3 2 у(5) = 2 4 = 8 4 3 2 1 ав)Р» Результат 0 ! 2 3 4 5 Л у(Л): Рис. 4.! . вычисление дискретной свертки Л 2: Л(2- а): Л 3, Л(3- а),' Л=5: Л(5 — а): ,(Л): ( 1 ~ Ь|г~ к(а); 1 3 2 4 3 2 1 зввф8» 0 1 2 3 Л Л(Л); 1 2 3 4 195 Способы описания дискретных систем Как и в случае линейных систем с постоянными параметрами, знание импульсной характеристики позволяет проанализировать прохождение через дискретную систему любого сигнала.
Действительно, прежде всего заметим, что произвольный сигнал (х(Ь)) можно представить в виде линейной комбинации единичных отсчетов: х(Ь) = ~ ~х(т)х,(/г — тл). Выходной сигнал, исходя из линейности и стационарности рассматриваемой системы, должен представлять собой линейную комбинацию импульсных характеристик: у(ь) = ~х(т)ь(ь — т). (4.3) Выражение (4.3) называется дискретной сверткой (точнее, дискретной линейной сверткой — ее не следует путать с х)лгговой сверткой, которая будет рассматриваться далее, при обсуждении свойств дискретного преобразования Фурье в главе 5). Для физически реализуемой системы Ь(л) - О при Ь < О, позтому верхний предел суммирования в формуле (4.3) можно заменить на я: у(ь)= Йх(т)ь(ь- ).
Это означает, что система при вычислении очередного отсчета может оперировать только прошлыми значениями входного сигнала и еще ничего не знает о будущих. Пример вычисления дискретной свертки, подробно иллюстрирующий выполняемые при етом математические операции, приведен на рис. 4.1. Функция передачи Применим рассмотренное в главе 3;-преобразование к уравнению дискретной фильтрации (4.3).
Так как зто уравнение представляет собой дискретную свертку, то, согласно свойствам;-преобразования (см. формулу (3.23)), результатом будет являться произведение --преобразований; у(г) = х(;) О(г). Входящая в (4.4) функция Н(-), равная отношению г-преобразований выходного и входного сигналов и представляющая собой;-преобразование импульсной характеристики системы, называется функцией передачи (тгапз(ег (пист)оп) или системной функцией дискретной системы: н(;) = — ) = ~ь(ь)з-'. Х( ) г.о Применив --преобразование к обеим частям разностного уравнения (4.2), получим У(г)(1 + щ - ' + аг - ~ + ... + ах г ")- - х(г)(ь + ь; ' + ь,; '+ ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
