Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов (2002) (1095939), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Преобразование случайного сигнала в дискретной системе Пусть на вход дискретной системы с импульсной характеристикой п(к) поступает дискретный стационарный центрированный случайный процесс (х(гг)) с корреляционной функцией Як(ой). Найдем корреляционную функцию выходного 2О1 Преобразование случайного сигнала в дискретной системе случайного процесса. Для этого воспользуемся определением корреляционной функции (см. раздел «Дискретные случайные сигналы» главы 3) и формулой (4.3), описывающей преобразование сигнала, осуществляемое системой: Я(гй) = у(Ь)у(Ь+ оЬ) = ч~„х(п,)Ь(Ь-п,) ~~~х(п,)Ь(Ь+ ~й — п,). и Преобразуем произведение сумм в двойную сумму, воспользуемся линейностью операции статистического усреднения и заметим, что х(и, )х(п, ) = Я,(пг -и, ): В„(гй) = ч.
ч. (п,)х( ,) Ь(Ь вЂ” и,)Ь(Ь + ЛЬ -и,) = и - и (4.12) )'„Я, (и, — и, ) Ь (Ь вЂ” и, ) Ь(Ь + ЛЬ вЂ” и, ). и - ы Произведем замену второго индекса суммирования: т - иг — иь С учетом этого формула (4.12) принимает вид Я(!й) = ""„~ Я„(т)Ь(Ь вЂ” п,)Ь(Ь«гй-т-и,) = (4.13) ~Я,(т) 2,Ь(lг-и,)Ь(Ь+ гй — т-п,) . О и=- Внутренняя сумма в (4.13) представляет собой корреляционную функцию импульсной характеристики системы: ',г Ь(Ь вЂ” п,)Ь(Ь + гй -т-п,) = 2 Ь(п)Ь(п + й -т) = В„(~й — т).
Таким образом, окончательно получаем, что корреляционная функция случайного сигнала иа выходе системы представляет собой свертку корреляционной функции входного шума и корреляционной функции импульсной характеристики системы: К((й) = ч ~Я(т)В„(гй — т).
(4.14) ЗАМЕЧАНИЕ Полученная формула является дискретным аналогом формулы (2.7), описывающей преобразование корреляционной функпии аналогового шума в линейной цепи. Дисперсия выходного случайного процесса может быть рассчитана как Пк = В„(0) = "„Я„(т)В„(т). к В этой формуле учтена четиость функции В»(т). Если входной случайный процесс является дискретным белым шумом, формула (4.14) упрощается: Вг(гй) - Р, В»(гй). 202 Глава 4. Дискретные системы Дисперсия выходного шума при этом составляет в„= п„в„(о) = и. ~ й'(й). «-о Таким образом, при воздействии на вход системы дискретного белого шума дисперсия выходного сигнала пропорциональна сумме квадратов отсчетов импульсной характеристики системы.
Рекурсивные и нерекурсивные дискретные Фильтры В начале главы, рассматривая идею обработки сигнала дискретной линейной системой, мы уже ввели понятия нерекурсивных и рекурсивных фильтров. Настало время вернуться к этому вопросу и обсудить его более обстоятельно. Для этого мы рассмотрим структурные схемы устройств, реализующих уравнение (4.1), в общем виде описывающее процесс обработки сигнала дискретной системой. Нерекурсивные фильтры Прежде всего следует отметить, что в общем случае при вычислении очередного выходного отсчета у(1г) используется информация двух типов: некоторое количество отсчетов входного сигнала и некоторое количество предыдущих отсчетов выходного сигнала.
Ясно, что хотя бы один отсчет входного сигнала должен участвовать в вычислениях; в противном случае выходной сигнал не будет зависеть от входного. В противоположность этому, предыдущие отсчеты выходного сигнала могут и не использоваться. Уравнение фильтрации (4.1) в этом случае приобретает следующий внд: у(Й) = ~ Ь,.х(в — т). (4.15) О Количество используемых предыдущих отсчетов т называется порядкам фильтра.
Структурная схема, реализующая алгоритм (4.15), приведена на рис. 4лй Некоторое количество предыдущих отсчетов входного сигнала хранится в ячейках памяти, которые образуют дискретную линию задержки, Эти отсчеты умножаются на коэффициенты 6; и суммируются, формируя выходной отсчет у(в), ЗАМЕЧАНИЕ Согласно свойствам --преобразования (сы, раздел «4-преобразование» главы 3), задержка дискретной последовательности иа один такт соответствует умножению ее»»преобразования иа г '.
Поэтому элементы памяти, осуществляющие такую задержку, обозначены иа структурной схеме как «- ». -1 Так как при вычислениях не используются предыдущие отсчеты выходного сигнала, в схеме отсутствуют обратные связи. Поэтому такие фильтры называются нврвкурсивными (попгесигзГуе). Применяется также термин «трансверсальньпй фильтр» (от английского Ггаптрвтза1 — поперечный). 2ОЭ Рекурсивные н нерекурснвные дискретные фильтры Рис. 4.3, Нерекурснвный фильтр Импульсная характеристика нерекурсивного фильтра определяется очень просто. Подставим в уравнение (4.15) единичный импульс хс(Ь) в качестве входного сигнала: =с Но отсчет хс(Ь вЂ” 1) равен нулю для всех К кроме Ь = 1, когда этот отсчет равен единице.
Поэтому мы получаем очень простой результат: Ь(Ь) - Ьы то есть коэффициенты Ь; являются отсчетами импульсной характеристики фильтра. Это можно наглядно пояснить с помощью рис. 4.3. При подаче на вход единичного импульса он будет перемещаться по линии залержки, умножаться на коэффициенты Ьс, Ь„Ьз, и проходить на выход устройства (ведь все остальные входные сигналы сумматора при этом равны нулю). Очевидно, что в реальном устройстве линия задержки содержит конечное число элементов, поэтому импульсная характеристика нерекурсивного фильтра также является конечной по длительности. Это обусловило еще одно название таких фильтров — фильтры с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтры; английский термин— Йш1е цпрц1зе гезропзе, г)К).
ЗАМЕЧАНИЕ Вследствие отсутствия обратных связей любой нсрскурсивиый фильтр является устойчивым — ведь каковы бы ии были иачальныс условия (то есть отсчеты, хранящиеся в линии задержки), при отсутствии сигнала на входе (х(/г) - О) выходной сигнал (свободные колебания) будет отличен от нуля в течение нс более чем т тактов, необходимых для очистки линии задержки. го4 Глава 4. Дискретные системы Простота анализа и реализации, а также наглядная связь коэффициентов фильт.- ра с отсчетами его импульсной характеристики и абсолютная устойчивость привели к тому, что нерекурсивные фильтры широко применяются на практике. Однако для получения хороших частотных характеристик (например, полосовых фильтров с высокой прямоугольностью АЧХ) необходимы нерекурсивные фильтры высокого порядка — до нескольких сотен и даже тысяч.
Симметричные фильтры Очень важное значение имеет тот факт, что нерекурснвные фильтры позволяют легко обеспечить линейную ФЧХ, а значит, постоянные (не зависящие от частоты) групповую и фазовую задержки. Для этого необходима лишь симметрия импульсной характеристики. Эта симметрия может быть двух типов: ь» четная симметрия (ечеп зупппеггу): Ь» - Ьн» для всех Ь - О, 1...
Аг; (:) нечетная симметрия (осЫ зупппеггу): Ь» = — Ьн» для всех Ь - О, 1, ..., М. ЗАМЕЧАНИЕ Иногда под симметричными подразумевают только характеристики с четной симметрией, а для нечетной симметрии используют термин «антнсимметрнчные». Групповая задержка для симметричных фильтров не зависит от частоты и равна Х/2 отсчетов. При четном АГ и нечетной симметрии импульсной характеристики, очевидно, ее средний отсчет 'должен быть равен нулю: Ь»г, - О. Кроме того, четность или нечетность порядка фильтра и наличие того или иного типа симметрии накладывают определенные ограничения на коэффициенты передачи фильтра на нулевой частоте и на частоте Найквиста.
Эти ограничения легко получить из условий симметрии и формулы (4.7) для комплексного коэффициента передачи фильтра. Сочетание четности порядка фильтра н типа симметрии дает четыре типа симметричных фильтров, перечисленных в табл. 4,1 вместе с указанными ограничениями значений АЧХ. Приведенные в таблице номера типов часто используются в зарубежной литературе. Таблица 4.1. Типы симметричных фильтров 2О5 Рекурсивные и нерекурсивные дискретные фильтры Рекурсивные фильтры Если уравнение фильтрации имеет общий вид (4.1), то есть содержит как входные, так и выходные отсчеты, для реализации такого фильтра в схему, приведенную на рис.
4.3, необходимо добавить вторую линию задержки — для хранения выходных отсчетов у(Ь вЂ” (). Получающаяся при этом структура показана на рис. 4.4. Рис. 4.4. Рекурсивный фильтр — прямая реализация Так как при вычислениях используются предыдущие отсчеты выходного сигнала, в схеме присутствуют обратные связи. Поэтому такие фильтры называют рекурсивными (геспгз1уе). ЗАМЕЧАНИЕ Количество предыдущих входных и выходных отсчетов, используемых для вычислений, может не совпадать.
В таком случае порядком фиЛьтра считается максимальное нз чисел и н л. Импульсная характеристика рекурсивного фильтра рассчитывается значительно сложнее, чем для нерекурсивного. Рассмотрим формирование лишь нескольких первых ее отсчетов. При поступлении на вход единичного импульса он умножается на Ьа и проходит на выход. Таким образом, Ь(О) - Ь .
Далее входной единичный импульс попадает во входную линию задержки, а выходной отсчет, равный Ьа, — в выходную линию задержки. В результате второй отсчет импульсной характеристики будет формироваться как Ь(1) - Ь! + а| Ь(0) = Ь1 + Ьо аь гов Глава 4. Дискретные системы Продолжив рассмотрение перемешения входного единичного импульса вдоль входной линии задержки и заполнения выходными отсчетами выходной линии задержки, можно получить Ь(2) - Ьг+ аг Ь(0) + а! Ь(1) - Ьг+ Ьо аг + а!(Ь! + Ьо а!)- - Ьг + Ь! а, + Ьо аг е Ьо а!г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
