Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов (2002) (1095939), страница 35
Текст из файла (страница 35)
ч- ь; ). Глава 4. Дискретные системы Отсюда легко получить вид функции передачи: Ь, +Ь,г '+Ьга '+...+Ь з 1+а,г '+ а,с ' +...~-а„з " (4.6) Таким образом, функция передачи физически реализуемой дискретной системы может быть представлена в виде отношения полиномов по отрицательным сте- пеням переменной -. Частотная характеристика Чтобы получить комплексный коэффициент передачи (частотную характерис- тику) дискретной системы, воспользуемся формулой (3.22) (см. раздел «2-пре- образованиеь главы 3), описывающей связь --преобразования и преобразования Фурье: К(а) = Н(е'"г ) = 2„Ь(й) е «'~~. «.о (4.7) Из (4.7) видно, что частотная характеристика дискретной системы, так же как н спектры дискретизированных сигналов (см. формулу (3.2) в главе 3), является периодической функцией частоты с периодом, равным частоте дискретиза- ции а„= 2я/Т. Нули и полюсы Так же как и в аналоговом случае, разложив числитель и знаменатель функции передачи на множители, мы получим функцию передачи в следующем виде: л (1-;,; ')(1-;,; ') ...
(1-;.; ') (1-р,с ')(1 — рва ') . (1-рыс ') Всепропускающие фильтры Всепропускаюшими (а11разз) называют фильтры, АЧХ которых равна единице на всех частотах. Такие фильтры изменяют только фазы спектральных состав- Здесь й - Ьа — коэффициент усиления (яа(п), -; — нули функции передачи (гего), р, — полюсы функции передачи (ро1е).
В точках нулей О(;;) = О, а в точках полюсов Н(р;) -+ сс. Некоторая специфика формулы разложения связана лишь с тем, что при записи функции передачи дискретной системы используются отрицательные степени переменной а. В данном случае дискретная система описывается набором параметров (-;), (р;), Ь. Нули функции передачи могут быть вещественными либо составлять комплексно-сопряженные пары. То же относится и к полюсам. Коэффициент усиления всегда вещественный, Представление дискретной системы в виде наборов нулей и полюсов соответствует последовательной форме ее реализации (см.
раздел «Формы реализации дискретных фильтровь далее в этой главе). 197 Способы описания дискретных систем ляющих входного сигнала и могут использоваться, например, для линеаризации ФЧХ дискретных систем (то есть для выравнивания групповой задержки, вносимой системой). Представление функции передачи дискретной системы в виде разложения на множители позволяет легко получить условия, при выполнении которых рекурсивный фильтр будет всепропускающим.
Рассмотрим функцию передачи фильтра первого порядка, имеющего один полюс р, и один нуль -,: 1 — --' Н(с)=4' ',. 1 р, Квадрат АЧХ такого фильтра равен -е!ил 1- ° !т 2 т, т,т (1--,е )(1--,е ) (1 р,-! т)(1 „,Рт) 1 ч. - - — - е '" — - е'" нл 2 *!! ! 1 1ч.р,р, — р,е ты -р,е'" (4.8) Мы хотим, чтобы квадрат АЧХ был равен единице на всех частотах. Для этого необходимо, чтобы коэффициенты прн всех степенях е) в числителе и зпаменатит теле (4.8) были одинаковы: ;0 (1 - =,-,') = 1 - р,р,', Рь 2 л2 к р! Из этих уравнений легко получить следующее (тривиальное решение !2 = 1 и -, = р, нас не интересует): 1 — ( =т(р,р' =|Ы Р! (3 число нулей равно числу полюсов; (з значения нулей являются обратными и комплексно-сопряженными по отношению к полюсам; Ы коэффициент усиления (2 равен произведению модулей полюсов фильтра.
Убедимся в справедливости сказанного, рассчитав АЧХ и ФЧХ фильтра, удовлетворяющего указанным условиям (рис. 4.2): » р = [0.5+О 52;0 5-0.5т;-0.7]! Ж полюсы фильтра » г = 1./соп)(р); Ж нули фильтра » 2 - ргоб(аоз(р)): л коэффициент усилениЯ » (Ь, а) = хр21!"(г. р, 2); Ж функциЯ передачи » 1гецт(Ь. а) л частотные характеристики Понятно, что если включить последовательно произвольное количество фильт- ров, удовлетворяющих (4.9), то АЧХ системы в целом будет по-прежнему равна единице па всех частотах. Таким образом мы получаем условия, при которых фильтр является всепропускающилс 198 Глава 4.
Дискретные системы 1 О,б 0 'и д: -О.б 0 0.2 0.4 0.6 0.6 Иоппаз*во Ргечоепсу (кк гас/вагпр1е) О 3 В-гоо Ь Ф Я-400 -600 0 0.2 0.4 0.6 0.6 1 Ион Ргецоепсу (хк гаСГаагпр)е) 4.2. АЧХ и ФЧХ всепропускающего фильтра Рис. Как видите, фильтр имеет единичную АЧХ (0 дБ) и нелинейную ФЧХ. Регулируя количество и расположение полюсов, можно получить ФЧХ весьма сложной формы. ЗАМЕЧАНИЕ В пакете гйтег ))ез(яц имеется функция ((гйгрг)е!ау, позволяющая рассчитывать всепроцускающие фильтры с заданной зависимостью групповой задержки от частоты (см.
раздел «Функции пакета Рйгег )уез(йц» главы 6). Полюсы и вычеты Идея представления дробно-рациональной функции передачи в виде суммы простых дробей была рассмотрена в главе 2 применительно к аналоговым системам. В дискретном случае такое представление имеет несколько иной вид и при отсутствии кратных корней у знаменателя может быль записано следующим образом: (-р,з-' (-р„д-' Здесь, как и в аналоговом случае, р; и г; — полюсы функции передачи и соответствующие им вычеты.
Поскольку на соотношение степеней полиномов числителя и знаменателя в дискретном случае не накладывается никаких ограничений, целая часть функции передачи, представленная коэффициентами Ц может содержать не только константу В данном случае цепь описывается набором параметров (г), (р;), (()). Полюсы функции передачи могут быть вещественными либо составлять комплексно-сопряженные пары.
Вычеты, соответствующие комплексно-сопряженным полюсам, также являются комплексно-сопряженными. Если полюс р, имеет кратность гл, то в разложении на простые дроби он порождает гл слагаемых следующего вида: 199 Способы описания дискретных систем у и + ~2 + у 1-р,; ' (1-р,; ')' (1-р,; ')" (4.11) Представление дискретной системы в виде наборов полюсов и вычетов соответ- ствует параллельной форме ее реализации (см. раздел «Формы реализации дис- кретных фильтров» далее в этой главе).
Расчет импульсной характеристики Здесь агя у, и агя р, — фазы комплексных чисел у и р» Что касается кратных полюсов, то т-кратный полюс р; даст в выражении для импульсной характеристики т слагаемых следующего вида: А,Р,'. +А,)гР," +АгкгР," «...+А,)г 'Р,', Я> О. Коэффициенты А, представляют собой рациональные дроби и для каждой кон- кретной кратности гг могут быть рассчитаны индивидуально.
Вот несколько кон- кретных примеров: «-» А(1+ я) р", !гг > О, (1-рз ') А е»А 1+-й+ — )г ~р, 1~0, 3 1,'1 2 2 ++А 1« — й«йг+1й' »' й>0 6 6 Устойчивость дискретных систем При отсутствии входного сигнала в дискретной системе могут существовать свободныв колебания. Их вид зависит от начальных условий, то есть значений, хранящихся в элементах памяти системы в момент отключения входного сигнала. Система называется устойчивой, если при любых начальных условиях свободные колебания являются затухающими, то есть если при х(гг) = 0 !пп у(/г) = О. Представление функции передачи в виде суммы простых дробей позволяет вычислить импульсную характеристику системы, поскольку каждое слагаемое функции передачи вида уг/(1 — р;='), согласно формуле (3.20), соответствует экспоненциалъному слагаемому импульсной характеристики вида у,р!», гг> О.
Пара комплексно-сопряженных полюсов дает пару слагаемых импульсной характеристики в виде комплексно-сопряженных экспонент. Сумма таких слагаемых представляет собой синусоиду с экспоненциально меняющейся амплитудой: у(р,)" + у,. (р, )" = 2!хе(у(р,)" 1=2ке[(у) )р,~" ехр11(агяг; +и агнр,))~ = = 2! у ! ! р)" сов (н агя р! + агя у ). гоо Глава 4. Дискретные системы Любой сигнал на выходе линейной стационарной системы представляет собой линейную комбинацию ее задержанных во времени импульсных характеристик.
Поэтому для затухания свободных колебаний необходимо, чтобы была затухающей импульсная характеристика системы п(я): !1шп(к) =О. В предыдугдем разделе было показано, что импульсная характеристика системы в общем случае содержит слагаемые вида А р к", где р; — полюсы функции передачи системы, и — неотрицательные целые числа, меньшие кратности полюса рь А — некая константа. Такие слагаемые при гг -» ю затухают, если полюс р; по модулю меньше единицы: И< 1. Теперь мы можем окончательно сформулировать условие устойчивости: чтобы дискретная система была устойчива, полюсы ее функции передачи должны находиться на комплексной плоскости внутри круга единичного радиуса. Пространство состояний Сущность представления дискретной системы в пространстве состояний та же, что и в аналоговом случае, — имеется вектор параметров, описывающих внутреннее состояние системы, и две формулы, согласно которым производ(гтся изменение этого состояния и формирование выходного сигнала в зависимости от текущего состояния и входного сигнала: з(й + 1) Ал(й) + Вх(А), у(к) - Сз(к) + Рх('к).
Здесь в(я) — вектор состояния, х(я) и у(к) — соответственно отсчеты входного и выходного сигналов, А, В, С и Р— параметры, описывающие систему. Если х и у — скалярные сигналы и размерность вектора состояния равна Аг, то размерность параметров будет следующей: А — матрица АгхЖ,  — столбец Фк 1, С— строка 1 хФ, Р— скаляр. Если входной и/или выходной сигналы являются векторными, размерность матриц соответствующим образом изменяется. Представление дискретной системы в пространстве состояний соответствует канонической форме ее реализации (см. раздел «Каноническая форма» далее в этой главе).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
