Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095938), страница 44
Текст из файла (страница 44)
БИХ-фильтры могут иметь импульсную характеристику, длина которой намного превышает количество ответвлений линии задержки! Таким образом, БИХ-фильтры способны обеспечить гораздо лучшую фильтрацию при том же количестве умножений на выходной отсчет, чем КИХ-фильтры. Имея это ввиду, вдохнем поглубже, разомнем наши математические мускулы и постараемся узнать кое-что о БИХ-фильтрах. 6.1. Введение в фильтры с бесконечными импульсными характеристиками Свое название БИХ-фильтры получили благодаря тому, что они используют некоторые предыдущие выходные отсчеты для вычисления текущего выходного отсчета.
В результате, при подаче на вход фильтра конечной последовательности ненулевых отсчетов реакция БИХ-фильтра может оказаться бесконечной последовательностью ненулевых выходных отсчетов. Таким образом, если входной сигнал БИХ-фильтра в какой-то момент времени превращается в последовательность 6. 1. Введение а ильг ы с бесконечными имп тьснымиха акгерисгиками 221 нулевых отсчетов, выходной сигнал, в принт ше, может оставаться ненулевым бесконечно долго.
Эта необычная особенност БИХ-фильтров объясняется способом их реализации, а именно, наличием обр, гных связей. Понимание структуры БИХ-фильтров не вызовет затруднения, ес и мы начнем с того, что вспомним строительные блоки КИХ-фильтров. На рису ~ке 6.2 (а) показана уже знакомая нам структура цифрового КИХ-фильтра с чет~ рыщя ответвлениями, которая реализует следующее уравнение КИХ-фильтра в ~ временной области у(п) = Ь(0)х(п) + Ь(1)х(п — 1) + Ь(2)х(п — 2) + т(3)х(п — 3) + Ь(4)х(п — 4) . (6-1) (а) (ь) ь(з) Рис.б.2. Структуры КИХ-фильтра: (а) традиционное представление структуры КИХ-фильтра; (Ь) измененная, но эквивалентная структура КИХ-фильтра Это уравнение известно как разностное уравнение, хотя в главе 5 мы его так не называли. Чтобы понять, как прошлые выходные отсчеты используются в структуре БИХ-фильтра, начнем с того, что переупорядочим структуру КИХ-фильтра, показанную на рисунке 6.2 (а) и получим структуру на рисунке 6.2 (Ь).
Заметьте, что структуры на рисунке 6.2 идентичны с точки зрения вычислений и обе являются реализациями уравнения (6-1). Теперь мы можем показать, как прошлые выходные отсчеты фильтра комбинируются с прошлыми входными отсчетами в структуре БИХ-фильтра, показанной 222 Глава 6. Фильт ы с имп льсной ха акте истикой бесконечной длины на рисунке 6.3. Поскольку БИХ-фильтры имеют два набора коэффициентов, мы будем использовать стандартные обозначения Ь(Ь) для коэффициентов прямой связи и а(Ь) для коэффициентов обратной связи. Итак, разностное уравнение, описывающее БИХ-фильтр, изображенный на рисунке 6.3, имеет вид: у(п) =Ь(0)х(п) + Ь(1)х(п — 1) + Ь(2)х(п — 2) + Ь(3)х(п — 3) + (6-2) + а(1)у(п -1) + а(2)у(п — 2) + а(3)у(п — 3) е(з) с<з) Вычисления в цепи прямой связи Вычисления в цепи обратной связи Рис. 6.3. Структура БИХ-фильтра, показывающая вычисления в цепях прямой и обратной связи Посмотрите внимательно на рисунок 6.3 и уравнение (6-2).
Нам важно убедиться в том, что рисунок 6.3 действительно является правильной реализацией уравнения (6-2), и наоборот, разностное уравнение (6-2) исчерпывающим образом описывает структуру, показанную на рисунке 6.3. Помните, что последовательность у(п) на рисунке 6.3 — это не то же самое, что последовательность у(п), показанная на рисунке 6.2. Последовательность Ы(п) на рисунке 6.3 равна последовательности у(п) на рисунке 6.2.
Сейчас вы, вероятно, задаетесь вопросом «Как же рассчитать коэффициенты БИХ-фильтра а(Ь) и Ь(Ь), если мы хотим спроектировать БИХ-фильтр» Застегните привязные ремни, потому что именно здесь начинается серьезное изучение БИХ-фильтров. Вспомните метод проектирования КИХ-фильтров нижних частот с помощью окон, рассмотренный в предыдущей главе, где мы определяли требуемую АЧХ КИХ-фильтра, вычисляли ее обратное преобразование Фурье, а затем сдвигали результат преобразования во времени, чтобы получить нужную нам импульсную характеристику фильтра. К счастью, благодаря природе КИХ-фильтров, коэффициенты фильтра Ь(Ь) оказались в точности равными отсчетам импульсной характеристики. Используя такую же процедуру для БИХ-фильтров, мы могли 223 б.2.
П еоб азование Лапласа бы задать требуемую АЧХ, взять обратное преобразование Фурье этой характеристики и получить импульсную характеристику. Увы, не существует простого метода вычисления коэффициентов БИХ-фильтра а(й) и Ь(й) по импульсной характеристике! К несчастью, методы проектирования КИХ-фильтров, которые мы изучали до сих пор, оказываются непригодными для проектирования БИХ-фильтров. К счастью для нас, мы можем преодолеть этот недостаток, используя один из нескольких методов проектирования БИХ-фильтров.
Стандартные методы проектирования БИХ-фильтров делятся на три базовых класса: метод инвариантного преобразования импульсной характеристики, метод билинейного преобразования и оптимизационные методы. Эти методы используют математический метод преобразования дискретных последовательностей, известный как г-преобразование, истоки которого восходят к преобразованию Лапласа, используемому для анализа непрерывных систем.
Имея все это ввиду, начнем обсуждение анализа и проектирования БИХ-фильтров с краткого напоминания основ преобразования Лапласа. 6.2. Преобразование Лапласа Преобразование Лапласа представляет собой математический метод решения линейных дифференциальных уравнений, который оказался очень полезным в технике и физике. Этот метод преобразования, в том виде, в каком его используют сегодня, берет начало в работах блестящего английского физика Оливера Хэви- сайда'. Применение преобразования Лапласа можно представить в виде следующей последовательности шагов: Шаг 1. Записывается дифференциальное уравнение во временной области, описывающее соотношение вход/выход физической системы (нам необходимо найти выходную функцию, которая соответствует этому уравнению и заданной входной функции).
Шаг 2. Дифференциальное уравнение подвергается преобразованию Лапласа, которое превращает его в алгебраическое уравнение. Шаг 3. Для определения преобразования Лапласа от выходной функции используются стандартные алгебраические методы. Шаг 4. Полученное преобразование Лапласа от выходной функции подвергается обратному преобразованию Лапласа, в результате чего получается уравнение выходной функции во временной области. ! Хэвисайд (1850-1925), который интересовался электрическими явлениями, разработал эффективный аналитический метод решения дифференциальных уравнений.
Ему пришлось вынести множество нападок со стороны современников, которые считали, что предложенный подход недостаточно обоснован с математической точки зрения. Однако открытие тесной связи методов Хэвисайда со строго математическим изложением операционного исчисления французского математика маркиза Пьера Симона ле Лапласа (1749-1827) подтвердило обоснованность методов Хэвисайла. 224 Глава 6. Фильг ы с имп льснойха акте истикой бесконечнойдлины Это процедура на первый взгляд кажется несколько обременительной, поскольку заставляет нас идти в обход вместо того, чтобы решать дифференциальное уравнение прямо.
Оправданием использованию преобразования Лапласа служит то, что, хотя решение дифференциальных уравнений классическими методами представляет собой очень мощный метод анализа любых систем, кроме самых простых, оно может быть очень трудоемким и порождать ошибки. Уменьшение сложности выкладок при использовании алгебраических методов оправдывает дополнительные усилия, затраченные на прямое и обратное преобразование Лапласа.
Это в особенности справедливо сегодня, когда существуют таблицы прямых и обратных преобразований Лапласа для всех обычно встречающихся на практике функций. Хорошо изученные свойства преобразования Лапласа также позволяют раскладывать сложные функции на комбинации более простых функций и затем использовать таблицы. (Таблицы преобразований Лапласа позволяют нам быстро переходить от функций времени к их преобразованиям Лапласа и обратно — аналогично тому, как мы пользуемся англо-русским и русско-английским словарем при изучении английского языка'".) Рассмотрим коротко наиболее важные свойства преобразования Лапласа, которые будут полезны при нашем переходе к дискретному г-преобразованию, используемому для анализа и проектирования цифровых БИХ-фильтров. Преобразование Лапласа непрерывной функции времениДГ), которая определена только для положительного времени (г > 0), математически выражается как СО Е(5) = ~ у(г)в яй .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
