Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095938), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Неустойчивые системы показаны на рисунках 6.11 (е) и 6.11 ((). Здесь полюсы лежат справа от оси квк Когда импульсный входной сигнал выводит такую систему из состояния покоя, ее выходной сигнал неограниченно возрастает'. Вы видите, что гг, действительная часть полюса, здесь играет ключевую роль. Когда о ( О, система ведет себя хорошо и устойчива; когда и = О, система условно устойчива; и когда о > О, система неустойчива. Итак, мы можем сказать, что, когда полюсы расположены в правой полуплоскости комплексной плоскости, система неустойчива. Для линейных непрерывных систем это продемонстрировано на рисунке 6.12.
Помните, что реальные системы часто имеют более двух полюсов, и устойчивость системы определяется полюсом с наименьшей устойчивостью. Чтобы система была устойчивой, все ее полюсы должны лежать в левой полуплоскости з-плоскости. Итак, подытожим коротко то, что мы узнали: Н(з) определяется путем записи дифференциального уравнения линейной системы с последующим взятием преобразования Лапласа от этого уравнения, в результате чего получаем выражения, содержащие преобразования Лапласа Х(з), г'(з), з и коэффициенты системы.
ЗаИсследование импульсной характеристики в лаборатории может быть важной частью процесса проектирования. Трудность здесь состоит в генерации действительно импульсного сигнала. Если мы исследуем электрическую систему, в качестве входного импульса х(г) можно использовать очень короткий импульс напряжения или тока, хотя его не всегда просто получить. Если же система механическая, в качестве входного импульса хО) можно использовать удар молотком. Для цифровых систем импульсный входной сигнал генерируется легко, он представляет собой один единичный отсчет, которому предшествуют и за которым следуют нулевые отсчеты.
2З4 Главаб. Филь ысимп льснойха акте истнкойбесконечнойдлнны тем мы группируем члены преобразования Лапласа так, чтобы получить отношение Н(з) в виде (б-10). (Действительно удивительно здесь то, что для анализа линейной системы нам не нужно знать, что на самом деле представляет собой входной сигнал х(Г))) Мы можем получить выражение для непрерывной частотной характеристики системы, просто подставив)в вместо з в уравнение для Н®.
Чтобы оценить устойчивость системы, необходимо разложить полипом знаменателя Н(з) на множители, содержащие его корни. Затем следует найти расположение полюсов системы на з-плоскости. Любой полюс, расположенный справа от оси((о, служит признаком неустойчивости системы. вьч ~ г(0 (а) — н —. а (ь) /ь (с) а (в) у(0 Рис. 6.11. Различные варианты расположения полюсов Н(з) и соответствующие импульсные характеристики: (а) единственный полюс в точке и < О; ((т) сопряженные полюсы при о < О; (с) единственный полюса = О; (о) сопряженные полкюы с а = О; (е) единственный полюс при и > О; (() сопряженные полюсы при о > О 236 6.3. 2-л еоб азование Рис. 6.12.
з-плоскость, области устойчивости и неустойчивости расположения по люсов линейной непрерывной системы Теперь вернемся к нашей главной цели — г-преобразованию. Процесс анализа БИХ-фильтров требует, чтобы мы заменили преобразование Лапласа г-преобразованием, а х-плоскость — г-плоскостью. Давайте познакомимся с г-преобразованием, узнаем, что представляет собой новая для нас г-плоскость, обсудим устойчивость БИХ-фильтров и выполним проектирование и анализ нескольких простых БИХ-фильтров. 6.3.
Е-преобразование г-преобразование — близкий родственник преобразования Лапласа'. В то время как преобразование Лапласа используется для упрощения анализа непрерывных дифференциальных уравнений, г-преобразование облегчает анализ дискретных разностных уравнений. Давайте дадим определение г-преобразования и исследуем его важные свойства, чтобы понять, как оно используется при анализе цифровых Б ИХ-фильтров.
г-преобразование дискретной последовательности л(л), обозначенное как Н(г), определяется следующим образом: СО Н(г) = ~> Ь(л)г ", (6-16) и — «> где переменная г — комплексная. Если (6-3) давало нам преобразование Лапласа непрерывного сигнала, то г-преобразование выполняется над дискретной последовательностью л(л), преобразуя ее в непрерывную функцию Н(г) непрерывной ! В начале 1960-х Джеймс Кайзер ()атех Ка1хег), в честь которого названо окно Кайзера, разработал теорию цифровых фильтров, используя математическое описание, известное как г-преобразование (4, 51. До этого времени использование г-преобразовання ограничивалось областью дискретных систем управления 16-9!. гзе Глава б. Фильт ы с имп льснойха акте нстикой бесконечнойдлнны комплексной переменной г.
Подобно тому, как функция е "является общей формой решения линейных дифференциальных уравнений, г " представляет собой общую форму решения линейных разностных уравнений. Более того, как преобразование Лапласа Е(з) представляет непрерывную поверхность над з-плоскостью, так и г-преобразование Н(г) представляет непрерывную поверхность над г-плоскостью.
Чтобы подогреть ваш интерес, скажем, что, если Н(г) представляет собой передаточную функцию БИХ-фильтра, то расчет поверхности Н(г) даст нам АЧХ фильтра, а расположение полюсов и нулей Н(г) позволит оценить устойчивость фильтра. Мы можем вычислить частотную характеристику БИХ-фильтра, выразив г в полярных координатах как г = теуш, где т — модуль, а ы — аргумент комплексной переменной. В этой форме г-преобразование приобретает вид Ю ш Н(г) =Н(тегш) = ~>,~и(п)(теуш) — п ='Яй(л)т — ке — упш, (6 17) ~ гшав точке 3 2- В этой т ш=л= ружнссть на которси ф=1) Рис. 6.13. Единичная окружность в комплексной г-плоскостн Уравнение (6-17) можно рассматривать как преобразование Фурье произведения исходной последовательности Ь(п) на экспоненциальную последовательность т-".
Если т = 1, (6-17) превращается в преобразование Фурье. Следовательно, на г-плоскости контур поверхности Н(г) при (г! = 1 есть преобразование Фурье последовательности л(л). Если л(п) представляет собой импульсную характеристику фильтра, вычисление Н(г) при ф~ = 1 дает частотную характеристику фильтра. Где же на комплексной г-плоскости располагается контур ф = 1? Это окружность с радиусом, равным единице, центр которой совпадает с началом координат г = О. Эта окружность, которая так важна, что ей дали собственное имя есЪничная окружность, показана на рисунке 6.13. Вспомним, что частотная осью на з-плоскости преобразования Лапласа прямолинейна и проходит от — о до + ~ радиан/сек. Частотная же ось в на комплексной г-плоскости охватывает только диапазон от — л до ч-л радиан. Это соотношение между осью7?о на з-плоскости преобразования Лапласа и единичной окружностью на г-плоскости позволяет нам увидеть, что частотная ось г-плоскости эквивалентна наматыванию оси уо в з-плоскости на единичную окружность в г-плоскости, как показано на рисунке 6.14.
237 6.3. 2-л еоб азование Рис. 6.14. Отображение з-плоскости преобразования Лапласа на з-плоскость. Все частоты даны в радианах/сек Далее, частота ш на г-плоскости не является расстоянием по прямой, а представляет собой угол. Если ш на рисунке 6.13 представляет собой обобщенный нормированный угол в радианах, изменяющийся в пределах от — л до +л, мы можем связать его с частотой дискретизации )„определив новую частотную переменную ш, = 2л/; в радианах в секунду.
На рисунке 6.14 показана периодичность представления дискретной частоты с периодом ш, = 2л1, радиан/сек или /; Гц. при продвижении по оси частот)ш в з-плоскости в любом направлении мы можем уйти в бесконечность, при движении же по оси частот ш в г-плоскости мы будем наматывать круги но единичной окружности. Рисунок 6.14 показывает, что можно рассматривать только диапазон частот ш от — л/к до +л/, радиан/с, и это еще одна иллюстрация универсальной периодичности частотной области дискретных сигналов. (Диапазон от -л/, до +я~, радиан/сек соответствует, конечно же, диапазону частот от — / /2 до +/ /2 Гц ) Имея выражение для единичной окружности г = еУ", позже мы покажем, что для получения частотной характеристики фильтра нужно подставить в передаточную функцию Н(г) фильтра еУ" вместо г. 6.3.1.
Полюсы и нули на 2-плоскости и условие устойчивости Одной из важных особенностей г-плоскости является то, что область устойчивости фильтров совпадает с внутренней частью единичного круга на г-плоскости. Имея передаточную функцию цифрового фильтра Н(з), мы можем изучить расположение ее полюсов и нулей и сделать вывод об устойчивости фильтра. Если все полюсы находятся внутри единичного круга, фильтр устойчив. Но если хотя бы один какой-нибудь полюс оказывается за пределами единичного круга, фильтр неустойчив.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
