Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095938), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Мы должны усвоить важный вывод из (5-31), который состоит в том, что выполнение свертки во временной области эквивалентно умножению в частотной области. (Мы не будем здесь доказывать теорему о свертке, потому что ее доказательство имеется в ряде доступных книг [26-29].) Чтобы помочь нам в этом, на рисунке 5.41 в наглядной форме показано соотношение между сверткой во временной области и умножением в частотной области. Временная область Па преобра Фу Частотная область Рис.
5.41. Соотношения теоремы о свертке Мы можем легко продемонстрировать теорему о свертке, вычислив 8-точечные ДПФ последовательностей Ь(Ь) и х(Ь) для получения Н(т) и Х(т) соответственно и записав полученные значения в таблицу 5.3. (Конечно, мы должны дополнить последовательности Ь(Ь) и х(Ь) нулями так, чтобы обе они имели длину 8.) Вычисление и занесение в таблицу обратного ДПФ произведения Н(лг) Х(т) позволяет 5.9. Обобщенное описание диск етной све тки 211 нам проверить (5-31) по данным, приведенным в двух последних колонках таблицы 5.3, где аббревиатура ОДПФ обозначает обратное ДПФ. Значения, приведенные в таблице 5.3, показаны на рисунке 5А2.
(Для простоты на рисунке приведены только модули Н(т), Х(т) и Н(т) ' Х(т).) Нам необходимо освоить свертку во временной области, потому что, как мы уже знаем, она используется в КИХ- фильтрах. Как подробно описано в разделе 5.2, мы выполняем дискретную фильтрацию с помощью КИХ-фильтра, вычисляя свертку входной последовательности х(п) с импульсной характеристикой фильтра л()!), а в случае КИХ-фильтра отсчеты его импульсной характеристики оказываются равными коэффициентам фильтра. Результат этой свертки представляет собой отфильтрованную последовательность во временной области, спектр которой модифицирован умножением на частотную характеристику фильтра Н(т).
В разделе 13.10 описывается остроумная схема эффективной реализации КИХ-фильтра с использованием БПФ для выполнения свертки. 2 ! 4 5 8 1 Рис. 6.42. Соотношения между л(lг), к(lг), Н(гп) и Х(тл), показанными на рисун- ке 5,38, в процессе вычисления свертки ! Как мы увидим в главе 6, коэффициенты фильтра с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ) не равны отсчетам импульсной характеристики. о о~ о о,' а о, + о о,' (Ч а а а + о о о о о + + о о сС О3 а 7 ю СМ СО ! а о о с~ о о а а О3 о + ~ Ю ' а а См о СМ <ч а о + о (О тй СЧ о а о а о а 'О о о~ СО СО Й ЬС Ф О о Б О. СО х х .й Х Ш о 4С )с Е Б (~ О) С2 Б Б Ф с о Б Е с х л Х Ф Э О.
Э с СС Б Х Ф СО со со МЪ СО з Ц Ю СО 1 Е ~~ В Е.' , ~)с,', оЕ: Е), Е, 9~< с ц, 4С С~ эС, Е. ~9к,', ~=п ,' 1 '*з„ , 'С~О '! ЗОС о о о о о о о о о мъ и') л + о О СМ СМ о о СО СО ~о о со о + <. о о СО о ! о о о + о а о о о о о 1 о о о о ~ С) 'Ф МЭ СО 5.9. Обобщенное описание диск етной све тки 213 Вследствие дуальности теоремы о свертке мы можем в наших рассуждениях о свертке и произведении как паре преобразований Фурье поменять местами временную и частотную области. Это значит, что подобно (5-31) мы можем написать ДПФ ЫА) ° х(й) Н(т) + Х(т) (5-32) ОЯПФ Следовательно, теорему о свертке можно сформулировать в более общем виде так: Свертка в одной области эквивалентна произведению в другой области.
На рисунке 5АЗ показано соотношение между умножением во временной области и сверткой в частотной области. Соотношение (5-32) представляет собой фундаментальное соотношение, используемое в процессе взвешивания данных с помощью окон для уменьшения утечки спектра, описанного в разделе 3.9. Временная область Па преобра Фур Частотная область Рис. 5.43. Соотношения теоремы о свертке для умножения во временной области 5.9.3. Применение теоремы о свертке Теорема о свертке полезна как инструмент качественного предсказания результатов различных операций в дискретных линейных инвариантных во времени системах.
Например, многие авторы используют теорему о свертке, чтобы показать, почему периодическая дискретизация непрерывных сигналов дает дискретные сигналы с периодическими по частоте спектрами. Рассмотрим действительный непрерывный сигнал, показанный на рисунке 5.44 (а), односторонний спектр которого имеет ширину В. Глава 5. Фнльт ысимп льснойха акте истнкойконечнойдлины 214 -В О В чассоса кккка ка а1 (Ь) В ма 1 к а а а к 2» час ооа 2К, ПЮ, 4 а Врача -2Г -т О т 2т чассоса Рис.
5.44. Использование теоремы о свертке для предсказания размножения спектра при периодической дискретизации 11оскольку это действительный сигнал, его спектр, конечно же, симметричен относительно 0 Гц. (На рисунке 5А4 широкие стрелки, показывающие вправо, обозначают операции преобразования Фурье.) Дискретизация этого сигнала эквивалентна умножению его на периодическую последовательность импульсов, показанную на рисунке 5А4 (Ъ), отсчеты которой равны единице. Если частота дискретизации равна /, отсчетов в секунду, то период дискретизации г, = 1Д, секунд. Результатом этого перемножения является последовательность дискретных импульсов, показанная на рисунке 5-44 (с).
Для предсказания того, какие эффекты в частотной области будут вызваны этим перемножением во временной области, мы можем использовать теорему о свертке. Согласно этой теореме, как мы теперь знаем, спектр произведения во временной области должен быть сверткой спектров сомножителей.
Хорошо, мы знаем, каков спектр непрерывного сигнала. А что можно сказать о спектре последовательности импульсов? Было показано, что спектр периодической последовательности импульсов, период которой равен г, секунд, представляет собой периодическую последовательность импульсов в частотной области, расстояние между которыми равно~; Гц, как показано на рисунке 5-44 (Ъ) [301 Теперь нам остается только вычислить свертку двух спектров. В нашем случае это выполняется просто, поскольку оба спектра симметричны относительно частоты 0 Гц, и зеркальное отображение одного из них относительно 0 Гц будет излишним.
Таким образом, мы просто смещаем один спектр относительно другого и 216 59. Обобщенноеописаниедиск етнойсае тки рисуем график их произведения. Свертка спектра исходного сигнала и импульсов в частотной области приводит к тому, что спектр сигнала повторяется через каждые/, Гц, как показано на рисунке 5А4 (с). Это напоминает нам о том, что ДПФ всегда периодично с периодом/, Гц. А вот еще один пример того, как теорема о свертке может прийти на помощь, когда мы пытаемся разобраться в операциях цифровой обработки сигналов. Автор однажды использовал эту теорему, чтобы разобраться в том, почему первый ноль спектра треугольного окна приходится на частоту, которая в два раза превышает частоту первого нуля прямоугольного окна. Вопрос формулировался следующим образом: «Если прямоугольное окно длительностью Т имеет первый ноль спектра на частоте 1/Т Гц, почему треугольное окно такой же длительности Т имеет первый ноль спектра на частоте 2/Т Гц?» Мы можем ответить на этот вопрос, рассмотрев свертку во временной области.
Посмотрите падве прямоугольные функции времени, показанные на рисунках 5А5 (а) и 5А5 (Ъ). Если длительность каждой из них равна Т секунд, их спектры имеют первые нули на частоте 1/Т Гц, как показано на графиках, приведенных на рисунках 5.45 (а) и 5А5 (Ъ). Мы знаем, что модуль спектра представляет собой абсолютную величину классической функции яп(х)/х . Если мы выполним свертку этих двух прямоугольных функций длительностью Т, мы получим треугольную функцию, показанную на рисунке 5А5 (с). Здесь тоже зеркальное отображение одной из прямоугольных функций относительно нулевого времени не обязательно.
Нам нужно просто сдвигать одну функцию относительно другой и вычислять площадь их перекрытия. Наибольшая площадь перекрытия будет при нулевом сдвиге. Следовательно, свертка будет иметь максимум при нулевом сдвиге по времени, поскольку при этом имеется стопроцентное перекрытие. Если мы будем сдвигать одну из прямоугольных функций в любом направлении, свертка будет линейно уменьшаться до нуля. При сдвиге Т/2 секунд, прямоугольники перекрываются на 50 %.
Свертка станет равной нулю при сдвиге на Т секунд, когда перекрытие прямоугольников прекратится. Заметьте, что длительность треугольника, полученного в результате свертки, равна 2Т, и это ключ к ответу на наш вопрос. Поскольку свертка во временной области эквивалентна умножению в частотной области, модуль преобразования Фурье нашей треугольной функции длительностью 2Травен произведению функции ~яп(х)/х(, показанной на рисунке 5А5 (а), на функцию ~яп(х)/х), показанную на рисунке 5.45 (Ь), или (яп(х)/х), как показано на рисунке 5А5 (с). Если треугольная функция длительностью 2Тимеет первый ноль на частоте 1/ТГц, то та же функция длительностью Т должна иметь частоту первого нуля, равную 2/Т Гц, как показано на рисунке 5.45 (б), и это как раз то, что требовалось показать.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
