Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095938), страница 38
Текст из файла (страница 38)
(Кривые на рисунке 5.24 были получены для окон, содержащих 32 отсчета, к которым были добавлены 480 нулей с последующим вычислением 512-точечного ДПФ.) Амплитуды боковых лепестков спектра окна Блэкмана ~)т'(и)! слишком малы, чтобы их можно было увидеть в линейном масштабе. Мы можем рассмотреть эти боковые лепестки в деталях, построив оба графика частотных характеристик в логарифмическом масштабе и 5.3. П секти рвание КИХ- ильт а нижних частот 189 пронормировав графики относительно максимальных значений главных лепестков спектров, так что эти значения в логарифмическом ь(асштабе равны О дБ. Для заданного окна мы можем получить логарифмический спектр Йг(в(гл) с помощью выражения )(г в(т) = 20 ° 1од(о( 1 )(г(т)! /! В(0) (). (5-16) (Значение ЩО) ) в (5-16) представляет собой модуль вершины главного лепестка ))т(т), когда тл = 0.) Рисунок 5.24 (Ь) демонстрирует существенно уменьшенный уровень боковых лепестков окна Блэкмана, а также то, что ширина главного лепестка почти в три раза больше, чем ширина главного лепестка прямоугольного окна.
о. 75 ол (а) О.го о о Г ~2 Частота Г,/4 г/в -то -2О -зо <ь) -4О -50 -та о г/4 г/з Г/2 Частота Рис. 5.24. Сравнение спектров прямоугольного окна и окна Блэкмана: (а) (ИГ(лт) ( в линейном масштабе; (Ь) графики в нормированном логарифмическом масштабе ИГее(гл) Мы, конечно же, могли бы использовать для расчета нашего КИХ ФНЧ любое другое окно из рассмотренных в разделе 3.9.
Поэтому данный метод проектирования фильтров называется методом окон. Мы выбираем окно и умножаем на него функцию л" (й) вида гйл(Х)/, показанную на рисунке 5.23 (а), в результате чего получаем окончательный набор коэффициентов фильтра л(А). Это так просто. Глааа5. Фильт ысимл льснойка акте истикойконечнойдлины 190 Прежде чем закончить описание метода окон, рассмотрим две новые оконные функции.
Хотя окно Блэкмана и другие окна, описанные в разделе 3.9, полезны для проектирования КИХ-фильтров, при их использовании доступно мало возможностей для регулирования частотных характеристик, т. е. мы можем только выбирать тип окна и довольствоваться той частотной характеристикой, которая при этом получается. Наверное, было бы очень неплохо иметь возможность гибкого выбора вариантов компромисса между шириной главного лепестка и уровнем боковых лепестков. К счастью, существуют два популярных окна, которые предоставляют такую возможность. Они называются окном Чебышева и окном Кайзера и определяются следующими внушительными выражениями: Окно Чебышева— (его также называют окном Дольфа- Чебышева) га(1) — )ч'-точечное ОДПФ последовательности сох[И соз ~[с соз(тгт/У '1[/ /созЬ[йГ созЬ 1(а)[, (5-17) где а =созЬ[(1/йГ)созЬ ~(10т)1 и т=0, 1,2,...,У вЂ” 1 Окно Кайзера- (его называют также окном Кайзера-Бесселя) (ь - чачам-кг-риж лом, при й = О, 1, 2, ..., 1ч'-1 и р = (М-1)/2 (5-18) Два типовых окна Чебышева и Кайзера и их амплитудные спектры показаны на рисунке 5,25.
Для сравнения там же приведены прямоугольное окно и окно Блэкмана. (Графики на рисунке 5.25 (Ъ) были получены для окон, рассчитанных в 32 точках с добавлением 480 нулей и последующим 512-точечным ДПФ.) Первоначально выражение (5-17) было выведено в теории антенных решеток с использованием полиномов Чебышева [9-1Ц. Выражение (5-18) происходит из выполненной Кайзером аппроксимации вытянутых сфероидальных функций с помощью функций Бесселя нулевого порядки [12-13]. Пусть вас не смущает сложность выражений (5-17) и (5-18) — в данный момент нас не интересуют математические подробности их вывода. Нам только нужно убедиться в том, что управляющие параметры у и 1) в (5-17) и (5-18) дают возможность регулировать ширину главного лепестка окна и уровень его боковых лепестков.
5.3. П оекти рвание КИХ- иль а нижних частот о.в яая1 г.в) о.в (а) О.4 о.г о о гв го 2в Зо 1 В ге ио -го -зо <ь> -4О -во -то 1я12 Частота 1,1В 1 14 Рис. 5.26. Типовые оконные функции, используемые для проектирования ЦФ: (а) отсчеты окон во временной области; (Ь) модули спектров окон в дБ Аггел сьев = 20 У (5-19) Следовательно, если мы хотим, например, чтобы уровень боковых лепестков не превышал -60 дБ по отношению к главному лепестку, мы в соответствии с (5-19) задаем у=3.0 и запускаем программу, генерирующую отсчеты окна Чебышева'.
1 Кстати, некоторые пакеты программ ЦОС требуют залания Аггеясьсв вместо у. В этом случае (5-19) нам не нужно вообще. Посмотрим, как выглядит эта зависимость в случае окна Чебышева, задав четыре разных значения у и построив их спектры на рисунке 5.26.
Разработчики ЦФ для расчета значений отсчетов окна Чебышева обычно используют специальные программы. Коммерческие пакеты программ ЦОС позволяют пользователю задать три параметра: вид оконной функции (в данном случае Чебышева), требуемое количество коэффициентов (количество ответвлений КИХ-фильтра) и значение у. Задание разных значений у дает нам возможность установить требуемый уровень боковых лепестков и посмотреть, как это влияет на ширину главного лепестка, в то время как при использовании окна Блэкмана и других окон, рассмотренных в разделе 3.9, мы лишены такой возможности. Уровень боковых лепестков окна Чебышева в децибелах составляет 162 Глава 5.
Фильт ы с имл льснойха акте истикой конечнойдлины (а) О.2 15 20 25 30 (т 5 10 -1О -20 (ь) -Зо -4О -50 -50 -то (й2 Чаотота гйв та и Рис. 6.26. Окно Чебышева при разных значениях у: (а) отсчеты окна во временной области; (Ь) модуль спектра в дБ То же относится и к окну Кайзера, показанному на рисунке 5.27. Коммерческие пакеты программ позволяют нам задавать значение р" в (5-18) и выдают соответствующие отсчеты окна. Графики на рисунке 5.27 (Ъ), полученные для окна Кайзера, содержащего 32 отсчета, показывают, что мы можем устанавливать требуемый уровень боковых лепестков и проследить его влияние на ширину главного лепестка.
Какое окно лучше использовать — Чебышева или Кайзера? Это зависит от решаемой задачи. Возвращаясь к рисунку 5.25 (Ъ), заметим, что в отличие от боковых лепестков окна Чебышева, имеющих постоянный уровень, боковые лепестки окна Кайзера уменьшаются с ростом частоты. Однако вблизи главного лепестка боковые лепестки окна Кайзера выше боковых лепестков окна Чебышева. Наша главная задача — уменыпить уровень боковых лепестков, насколько это возможно без слишком сильного расширения главного лепестка. Разработчики ЦФ обычно экспериментируют с разными значениями у и(8 для окон Чебышева и Кайзера, стараясь получить оптимальную форму И"ав(т) для конкретного приложения.
(С этой точки зрения низкий уровень боковых лепестков окна Влэкмана во многих 193 5.4. П секти рвание полосовых КИХ- ильтров приложениях перевешивает ширину его главного лепестка.) Отдельные разновидности окон имеют свои собственные преимущества и недостатки с точки'зрения проектирования КИХ-фильтров. Независимо от того, какое непрямоугольное окно используется, оно всегда уменьшает пульсации АЧХ КИХ-фильтра в полосе пропускания по сравнению с прямоугольным окном. Заинтересованный читатель может найти очень подробное описание окон в работе (141.
о (а) о 1о ш го зз зо (т о з -1о -оо -во поо Г /2 Частота гам Рис. 6.27. Окна Кайзера для разных значений Р: (а) отсчеты окна во временной области; (Ь) логарифмический амплитудный спектр в дБ 5.4. Проектирование полосовых КИХ-фильтров В качестве первого шага проектирования полосовых КИХ-фильтров можно использовать проектирование ФНЧ методом окон.
Допустим, нам необходимо рассчитать КИХ-фильтр с 31 ответвлением и с АЧХ, показанной на рисунке 5.22 (а), центр которой вместо О Гц приходится на у', тт4 Гц. Если мы обозначим 194 Глава 5. Фильт ы с имл льснойха акте истикой конечнойдлины коэффициенты КИХ ФНЧ как Ь~ (к), наша задача сводится к вычислению коэффициентов полосового фильтра ~ь (А). Как показано на рисунке 5.28, мы можем сдвинуть частотную характеристику Н1„(т), умножив коэффициенты Ь~ (к) на синусоиду частотой / /4 Гц. Эта синусойда представлена на рисунке 5.28 (а) последовательностью з,ь,/,(й), отсчеты которой получены путем дискретизации синусоиды с частотой четыре отсчета на период.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
