Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095938), страница 40
Текст из файла (страница 40)
5.8. Фазо-частотная характеристика КИХ-фильтров Хотя мы привели несколько примеров сдвига фазы выходного сигнала для усредняющего КИХ-фильтра на рисунке 5.10, фазо-частотная характеристика (ФЧХ) КИХ-фильтра заслуживает дополнительного рассмотрения. Одной из замечательных особенностей КИХ-фильтров является линейность их ФЧХ. Продемонстрируем ее на примере. Имея 25 коэффициентов КИХ-фильтра л((), показанных на рисунке 5.34 (а), мы можем выполнить ДПФ и найти частотную характеристику фильтра Н(тл). Нормированные действительная и мнимая части, а также модуль Н(т) показаны на рисунках 5.34 (Ъ) и 5.34 (с) соответственно'.
Поскольку каждый отсчет Н(тл) является комплексным числом, отсчеты можно представить действительной и мнимой частями или, что эквивалентно, модулем (Н(т)! и аргументом Н~(т), показанным на рисунке 5.35 (а). Аргумент комплексного числа вычисляется как арктангенс отношения мнимой части к действительной части, илиф = Гап (ивая7теа1). Отсчеты ФЧХ Н (т) Ф определяются по отсчетам, приведенным на рисунке 5.34 (Ъ). ФЧХ на рисунке 5.35 (а) выглядит линейной на отдельных участках частотной оси, но что делать с многочисленными скачками, или разрывами, характеристики? Если мы построим в комплексной плоскости векторы одинаковой длины, углы которых относительно действительной оси совпадают с аргументами Н (и), начиная с т - О, то мы получим диаграмму, показанную на рисунке 5.35 (Ъ).
Поскольку действительная часть Н(0) отлична от нуля, а мнимая часть Н(0) равна О, Н (0)-0, и соответствующий радиус-вектор лежит на действительной оси, как Ф показано в правой части рисунка 5.35 (Ъ). Углы всех последующих фазоров изменяются с шагом — 33.75', так что фаворы образуют последовательность, разворачивающуюся в направлении движения часовой стрелки. Причину первого разрыва на рисунке 5.35 (а) мы обнаруживаем при построении вектора с углом На(Б). Исходя из действительной и мнимой частей Н(б), мы должны построить соответствующий фазор под углом -202.5' к действительной оси. 1 В разделе 13.7 приводится метод дальнейшего снижения количества умножений для К ИХ-фильтров с линейной ФЧ Х на основе линии задержки с ответвлениями, включая и полуполосные фильтры. 2 Для получения Н(т) достаточно взять любой размер ДПФ, превышающий длину импульсной характеристики л(1), равную 25.
Мы дополнили последовательность л(й) нулями, чтобы взять 128-точечное ДПФ и получить значения отсчетов Н(а), показанные на рисунке 5.34. 5.8. Фазо-частотная ха акте истнка КИХ- нльг ов 201 4 вас в а а в в а а ° а (а) 0 ~» — т- -0.5 ив ° а ° 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 1.0 0.75 0.5 0.25 (ь) 0 -0.25 -0.5 -10 )н(т)( 1.0 ° ° ° ° вас Частота = — 4 = -Ь 187 128 8 0.75 05 0.25 0 0 2 4 6 8 10 12 (с) ,д»а в ° вв ав„а а а,а а в.в — »м- 14 16 18 20 22 24 26 28 30 Поноса пропусканип Рис.
6.34. Частотная характеристика КИХ-фильтра Н(пт): (а) коэффициенты фильтра )7((т); (Ь) действительная н мнимая части Н(пт ); (с) модуль Н(пт) 1 Если при построении графика ФЧХ фильтра мы встречаем угол ф, который выглядит как подозрительный разрыв, следует добавить к нему 360', если (5 меньше нуля или -360, когда ф положителен, чтобы проверить, удается ли таким образом компенсировать особенности программы. По на рисунке 5.35 (а) Нр(б) = 157.5'. Проблема заключается в программе, вычисляющей значения арктайгенса, показанные на рисунке 5.35 (а).
Программа добавляет 360' ко всем отрицательным углам, лежащим в пределах — 180' > ф ) -360', т. е. к углам, лежащим в верхней полуплоскости. Это делает ф положительным углом в диапазоне 0' < ф ( 180', и этот результат изображен на графике. (Этот явный разрыв между Н~(5) и Не(б) называется заворотлом фазьс.) Следовательно, истинное значение Н (б) = — 202.5' преобразуется в»-157.5', как показано Ф в скобках на рисунке 5.35 (Ъ). Если мы продолжим нашу диаграмму для последующих отсчетов Н0(ш), мы увидим, что углы наклона векторов будут продолжать уменьшаться с шагом — 33.75'. Если мы компенсируем добавку, вносимую программой, и построим на графике углы, которые меньше — 180', развернув таким образом фазу, мы получим истинные значения Н0(т), показанные на рисунке 5.35 (с)'.
Заметим, что Нв(тл) Глава 5. Фильт ысимп льснойха акте истикойконечнойдлины 202 Не(т) в градусах 200 10О (а) о -1ОО Разрыв, обусловленный методом вычнспеннл аратангенса -270 ' -236.25 (ооо) зоз 75 о (123 75о) 625 ) На(6) = -2025' (157.5 ) н„(о) = о (ь) -166 75 75 -1З .101 25 -бт 5' Не(гп) в градусак 1ОО 24661012141616202224262530 о 'а, в ' ° а и, 'е ' ° °, 'в (с) -200 -зоо ые ы в н„(т) -боо Полоса пропусваннл 6 Рис.
6.35. ФЧХ КИХ-фильтра Н~(т) в градусах: (а) вычисленная ФЧХ Н~(т))(Ь) первые десять фаз Нт(т) в полярных координатах в градусах; (с) реальная Нф(пу) Грулповал задержка определяется как производная ФЧХ по частоте, взятая с обратным знаком, или 6 = — Л((г,гЬ~. Следовательно, для КИХ-фильтров групповая задержка представляет собой наклон ФЧХ Н, (т). Когда групповая задержка постоянна, как в полосе пропускания всех КИХ-фильтров, имеющих симметричные коэффициенты, все частотные компоненты входного сигнала фильтра задер- действительно линейна в полосе пропускания Н(т). На отсчете Н ( г 7) наша частотная характеристика Н(т) претерпевает инверсию знака действительной части, в то время как мнимая часть остается отрицательной — это приводит к появлению истинного разрыва в ФЧХ, который является неотъемлемой характеристикой отсчета Н(т) при т = (7.
(Каждый раз, когда действительная часть Н(т) меняет знак, возникают дополнительные разрывы ФЧХ, как показано на рисунке 5.35 (с).) Читатель может задуматься над тем, почему мы так озабочены линейностью ФЧХ Н(т). Ответ на этот вопрос очень важен и требует введения понятия групповой задержки. 5.В. Фазо-частотнаяха акте истика КИХ- ильт оа 203 живаются на его выходе на одно и то же время 6. Это значит, что выходной сигнал фильтра не подвергается фазовым искажениям, а это критически важно для коммуникационных сигналов.
Для сигналов с амплитудной модуляцией (АМ) постоянная групповая задержка позволяет сохранить форму огибающей, несущей информацию о модулирующем сигнале. Нелинейная ФЧХ приводит к искажению звукового сигнала, восстановленного из амплитудно-модулированного несущего сигнала, используемого в радиовещании, приводит к смазыванию границ телевизионных изображений, размывает крутые фронты радиолокационных импульсов и повышает вероятность ошибок в цифровых системах связи. (Групповую задержку иногда называют задержкой огибающей, потому что первоначально групповая задержка исследовалась с точки зрения ее влияния на огибающую, или модулирующий сигнал, в системах с амплитудной модуляцией.) Конечно, групповая задержка за пределами полосы пропускания нас мало волнует, поскольку всю энергию сигналов, выходящую за пределы полосы пропускания, мы стараемся подавить посредством фильтрации.
Было показано, что групповая задержка в полосе пропускания цифрового КИХ-фильтра с 5 ответвлениями определяется выражением С = (5 — 1)гт/2, (5-23) где г, — период дискретизации (1(7; )'. Эта групповая задержка измеряется в секундах. Если убрать из (5-23) множитель г,, то групповая задержка будет измеряться в отсчетах. Задержка 6, измеренная в отсчетах, всегда принимает целые значения для фильтров с нечетным количеством ответвлений и нецелые значения для фильтров четной длины. Хотя для получения частотных характеристик на рисунках 5.34 и 5З5 мы использовали 126-точечное ДПФ, мы с таким же успехом могли бы использовать А7- 32 или У = 64 точки.
Эти ДПФ с меньшим количеством точек дают фазовые характеристики, показанные на рисунках 5.36 (а) и 5.36 (Ь). Обратите внимание на отличие ФЧХ при % = 32 на рисунке 5 36 (а) от ФЧХ с Ж = 128 на рисунке 5.36 (с). На рисунке 5.36 (с) приращение фазы намного меньше. Приращение фазы в полосе пропускания Лф определяется выражением Ьф = ( — С ° ЗбО')/А7 (5-24) где У вЂ” количество точек ДПФ. Таким образом, для нашего фильтра с 5 = 25 ответвлениями на рисунке 5.34 (а), 6 = 12 и Лф на рисунке 5.36 (а) равно — 12 ° 360'/32 = — 135' а на рисунке 5.36 (с) Лф равно — 33.75'.
Если мы посмотрим внимательно на значения отсчетов, показанные на рисунке 5.36 (а), то увидим, что они встречаются среди отсчетов на рисунках 5.36 (Ц и 5.36 (с). Закончим это обсуждение ФЧХ КИХ-фильтров напоминанием сути фазо-частотной характеристики. Фаза, или фазовая задержка, на выходе КИХ-фильтра представляет собой фазу первого выходного отсчета относительно фазы первого входного отсчета фильтра.
В полосе пропускания фазовый сдвиг является линейной функцией частоты. Это справедливо только для фильтров с симметричными коэффициентами. Хорошая иллюстрация фазовой задержки КИХ-фильтра приведена на рисунке 5.10. Это выражение получено в разделе 3.4 работы [16[ и на странице 597 работы [19[ 204 Для КИХ-фильтров выходной сдвиг фазы, измеренный в градусах, для сигнала с частотой, лежащей в полосе пропускания/ = т/', /Ю, выражается как Фазовалзадержка =Н (т//)г)) =т ' Л)г =(-т ' С '360')/ЛГ. (5-25) Н„(т) а градусах 150 32-тсчечнсе ДПФ / / / / а а е е а / 100 50 (а) о а -50 -100 И5О -200 ах 54-тсчечнсе ДПФ (ат) а градусах е (с) -50 -100 -150 -200 Рис.
6.36. ФЧХ КИХ-фильтра Н,(пт) в градусах: (а) вычисленная с помощью 32-то- чечного ДПФ; (Ь) с использованием 64-точечного ДПФ; (с) с использованием 128-точечного ДПФ Мы можем проиллюстрировать (5-25) и показать соотношение между фазовыми характеристиками на рисунке 5.36, рассмотрев фазовую задержку, связанную с частотой /, /32, в таблице 5.2. Групповая задержка описывается подробнее в приложении г, где продемонстрировано искажение огибающей, вызванное нелинейностью г)уЧХ фильтра. 200 150 100 50 (Ь) 0 -50 -100 -150 -гоо 200 150 100 50 0 Глава 5.
Фильт ысимп льснойха акте истикойконечнойдлины 205 5.9. Обобщенноеописаниедиск етнойсве тки Таблица 5.2. Значения, использованные в (5-25) для частоты Г,/32 Размер ДПФ, И Индекс т НЕ(танк)г1) -135' 32 2 -135' 4 -135' 128 5.9. Обобщенное описание дискретной свертки Хотя первоначально свертка использовалась как инструмент анализа непрерывных систем, мы теперь знаем, что свертка проявляется во всех аспектах цифровой обработки сигналов. Свертка влияет на полученные нами результаты всегда, когда мы анализируем или фильтруем какое-либо конечное множество отсчетов данных, полученных от линейной инвариантной системы. Свертка не только сводит ДПФ к простой аппроксимации непрерывного преобразования Фурье; она представляет собой причину, по которой дискретные спектры периодичны в частотной области.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
