Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095938), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Интересно отметить, что, хотя мы используем свертку для реализации цифровых КИХ-фильтров, именно ее влияние несет ответственность за появление пульсаций частотной характеристики, препятствующих построению идеального цифрового фильтра. Ее влияние столь обширно, что отказ от свертки перевернул бы всю цифровую обработку с ног на голову.
Понятие свертки всегда было сложным для понимания начинающими. Это не удивительно по нескольким причинам. Влияние свертки на дискретную обработку сигналов не так очевидно для людей, не имеющих опыта работы с дискретными сигналами, а математика свертки на первых порах кажется головоломной. Более того, многие авторы с их поспешностью, иногда оправданной, представляют уравнение свертки и сразу переходят к его использованию в качестве инструмента анализа, не объяснив его происхождения и смысла. Например, автор этой книги однажды обнаружил в профессиональном журнале статью, объявленную как введение в БПФ, в которой свертка определялась просто как нечто подобное рисунку 5.37 без каких либо дальнейших объяснений! К сожалению, немногие новички могут самостоятельно извлечь какое-либо понимание смысла свертки из рисунка 5.37.
Здесь мы разрешим эту проблему, дав определение свертки и разобрав несколько простых примеров. Мы завершим эту главу обсуждением мощной теоремы о свертке и демонстрацией того, почему она так полезна для качественного анализа дискретных систем. ~~ =,т ~К'01-К, «=0 или Глава 5. Фильтры с имп льснойха акте истикой конечнойдлины 206 О1~ Ог( Р1 Оз) ,,'У0 ! ~У, , Уг Ои-1 Ои-г О, аи,. О1 ОО Оо а, 2 ОИ 1 Оо ~ Ри-1~ Ои-г Ои-з " ~ УИ-1, Теорема: если Р -ДПФ- А„, Я ДПФ В и У ДПФ С„, то С=У А В к и к Рис. 6.37. Один очень эффективный, но обескураживающий способ определения свертки 5.9.1. Дискретная свертка во временной области Дискретная свертка представляет собой процесс, на вход которого поступают две последовательности и результатом которого является новая последовательность.
На вход свертки могут поступать две последовательности во временной области, при этом результат будет тоже последовательностью во временной области или две последовательности в частотной области, преобразуемые в последовательность в частотной области. (Хотя для того, чтобы свертка имела какой-то практический смысл, обе последовательности должны принадлежать одной области, их длины не обязательно должны быть равными.) Допустим, мы имеем две последовательности Ь(Ь) длины Р и х(Ь) длины Я во временной области. Выходная последовательность свертки у(п) двух входных последовательностей определяется формулой у(п) = Я Ь(Ь)х(п-Ь), (5-26) у(0) = Ь(0)х(0 — О) + Ь(1)х(0 — 1) + Ь(2)х(0-2) + Ь(3)х(0 — 3) э Ь(4)х(0 — 4) э Ь(5)х(0-5), у(1) - Ь(0)х(1 — О) + Ь(1)х(1-1) + Ь(2)х(1 — 2) + Ь(3)х(1 — 3) + Ь(4)х(1-4) + Ь(5)х(1-5), у(2) = Ь(0)х(2 — О) ь Ь(1)х(2 — 1) ь Ь(2)х(2-2) -~ Ь(3)х(2 — 3) + Ь(4)х(2 — 4) + Ь(5)х(2 — 5), у(3) = Ь(0)х(3 — О) + Ь(1)х(3- 1) + Ь(2)х(3 — 2) + Ь(3)х(3 — 3) + Ь(4)х(3 — 4) ь Ь(5)х(3 — 5), у(4) = Ь(0)х(4 — О) + Ь(1)х(4 — 1) + Ь(2)х(4 — 2) э Ь(3)х(4-3) + Ь(4)х(4-4) + Ь(5)х(4-5), и у(5) = Ь(0)х(5 — О) ь Ь( 1)х(5 — 1) + Ь(2)х(5 — 2) + Ь(3)х(5 — 3) ь Ь(4)х(5 — 4) + Ь(5)х(5-5).
(5-27) Рассмотрим (5-26) на примере, используя последовательности Ь(Ь) и х(Ь), показанные на рисунке 5.38. В этом примере мы можем записать слагаемые для каждого у(п) в (5-26) как 5.9. Обобщенное описание диск гной све тки 207 -3-2-1 О 1 2 3 4 6 6 Ь -3-2-1 О 1 2 3 4 6 6 (а) (Ь) Рис. 6.38. Входные последовательности для примера свертки: (а) первая последовательность й(Ь) длины Р= 4; (Ь) вторая последовательность к(Ь) длины 0 =3 При Р- 4 и Д -3 мы должны вычислить только 4 + 3 — 1 = б отдельных слагаемых у(п). Поскольку Ь(4) и Ь(5) равны нулю, мы можем отбросить некоторые слагаемые в (5-2?) и вычислить оставшиеся, представив у(п) в виде: у(0) = Ь(0)х(0) + Ь(1)х( — 1) + Ь(2)х( — 2) + Ь(3)х( — 3), у(1) - Ь(0)х(1) -ь Ь(1)х(0) + Ь(2)х( — 1) 1- Ь(3)х( — 2), у(2) = Ь(0)х(2) 1- Ь(1)х(1).
+ Ь(2)х(0) + Ь(3)х( — 1), у(3) = Ь(0)х(3) + Ь(1)х(2) + Ь(2)х(1) -ь Ь(3)х(0), у(4) = Ь(0)х(4) + Ь(1)х(3) -ь Ь(2)х(2) + Ь(3)х(1), у(5) - Ь(0)х(5) + Ь(1)х(4) + Ь(2)х(3) + Ь(3)х(2). (5-28) Рассматривая индексы переменных Ь(Ь) и х(Ь) в (5-28), мы видим два важных момента. Во-первых, свертка представляет собой просто сумму поэлементных произведений, так что это не очень сложный процесс. Во-вторых, заметьте, что для заданного у(п), индекс Ь(Ь) возрастает при уменьшении индекса х(Ь).
Это дает основание некоторым авторам ввести новую последовательность х( — Ь) и использовать ее для графического изображения процесса свертки. Последовательность х( — Ь) представляет собой просто нашу исходную последовательность х(Ь), зеркально отображенную относительно индекса О, как показано на рисунке 5.39. Такое определение х( — Ь) дает нам возможность изобразить процесс перемножения и суммирования в (5-28) так, как показано на рисунке 5.40; т.
е. мы теперь можем для вычисления у(п) расположить отсчеты х( — Ь) напротив соответствующих отсчетов Ь(Ь) при текущем значении индекса л. Как показано на рисунке 5.40 (а), выравнивание отсчетов Ь(Ь) их(п-Ь) при и - 0 дает у(0) - 1. Это совпадает с результатом вычисления в первой строке (5-28), которую мы повторили в правой части рисунка 5.40 (а).
Вычисление у(1), при и = 1, изображено на рисунке 5АО (Ь), где последовательность х(л — Ь) сдвинута на один элемент вправо, в результате чего получаем у(1) - 3. Мы продолжает этот сдвиг последовательности х(п — Ь) и увеличение индекса и до тех пор, пока не получим последний ненулевой отсчет свертки у(5), показанный на рисунке 5.40 (г). Итак, выполнение свертки Ь(Ь) и х(Ь) состоит из следующих шагов: Шаг 1: построение графиков последовательностей Ь(Ь) и х(Ь). Шаг2: зеркальное отображение последовательности х(Ь) относительно значения Ь - 0 для получения х( — Ь). аОВ Глава5.
Фильт ысимп льснойха акте истикойконечнойдлины Шаг 3: суммирование произведений Ь(Ь) и х(0 — Ь) для всех Ь для получения у(0). Шаг 4: сдвиг х( — Ь) на один отсчет вправо. Шаг 5: суммирование произведений Ь(Ь) и х(1 — Ь) для всех Ь для получения у(1). Шаг 6: сдвиг последовательности и суммирование произведений до тех пор, пока последовательность Ь(Ь) перекрывается сдвинутой последовательностью х(л — Ь), после чего все дальнейшие отсчеты у(п) остаются равными нулю, и вычисления заканчиваются. Полная свертка последовательностей Ь(Ь) их(Ь) представляет собой последовательность у(л), показанную в правой части рисунка 5АО (().
Мы прошли последовательностью х( — Ь) вдоль последовательности Ь(Ь) и просуммировали произведения перекрывающихся отсчетов. Кстати, обратите внимание на то, что последовательность у(л) на рисунке 5.40 (() содержит шесть ненулевых отсчетов, тогда как Ь(Ь) имела четыре таких отсчета, а последовательность х(Ь) — три. В общем случае, если Ь(Ь) имеет длину Р, ах(Ь) имеет длину Я, у(л) будет иметь длину А, где (5-29) Ь =(Р+ ΄— 1) ~ х(й) 3 1 о -3 -2 -1 О 1 2 3 4 5 6 К -3 -2 -1 О 1 2 3 4 5 6 й (а) (Ь) Рис.
5.39. Входная последовательность для примера вычисления свертки: (а) вторая последовательность х(Ь) длины 3; (Ь) зеркальное отображение второй последовательности относительно индекса к = 0 Здесь начинающий читатель вполне может задать вопрос: «Хорошо, ну и что из этого? Какое отношение этот странный процесс вычисления свертки имеет к цифровой обработке сигналов?» Ответ на этот вопрос опирается на понимание значения теоремы о свертке. 5.9.2.
Теорема о свертке Теорема о свертке представляет собой краеугольный камень цифровой обработки сигналов. Она проявляет себя всегда, когда мы фильтруем дискретные данные или выполняем ДПФ. Чтобы увидеть, почему это так, упростим запись (5-26) и будем использовать сокращенную форму у(л) =Ь(Ь)»х(Ь), (5-30) где символ» обозначает операцию свертки. 5.9. Обобщенное описание диск етной све тки 209 у(0) = Ь(0)х(0) + Ь(1)к(-!) + Ь(2)х(-2) т И(3)х(-3) = 1 + О + О т О = 1 свертка 49С:» О О 1 2 3 4 5 б 7 8 и -4 -3 -2 -1 О 1 2 3 4 5 5 свертка оп=1 О 1 2 3 4 5 б 7 8 и -4 -3 -2 -1 0 1 . 2 3 4 5 6 Иг) = Ь(0)х(2) + Ь(1)х(1) + Ь(2)ИО) + Ь(З)х(-1> .4 = з + г + ! + о = 6 6 свертка ел=2 О 1 2 3 4 5 б 7 8 л Из) = 140)жз> т ь(1)к(2> т ь(2>х(1) + ь(3лко) С =ОтЗтг.
1=6 Ф а свертка О 1 2 3 4 5 б 7 8 и -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 д У(4) = Ь(0)к(4) + Ь(1)ИЗ) + Ь(2)Х(2) + Ь(З>к(1) ° % =0 Отз+2=5 Ю свертка ел=4 О О 1 2 3 4 5 6 7 8 и свертка сп=5 О 1 2 3 4 5 6 7 8 и Рис. 5.40. Графическое изображение процесса вычисления свертки последовательностей ))()() и к()(), приведенных на рисунке 5.38 о -5 -4 -3 .2 -1 0 1 2 3 4 5 (а) З х(О-И) г 1 о 0 -5 .4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 (Ь) з (! Ь) 2 1 0 0 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 (С) з (гв а 2 1 0 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 Ь 0 -5 -4 -3 -2 .1 0 1 2 3 4 3 х(3 К) а 2 1 0 0 -5.4-3-2-1 01 23 4 56 (е) з г 1 0 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 5 0 -5 -4 -3 .2 -1 0 1 2 3 4 5 6 (~т 3 х(5-х> кт 2 1 О -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 И1) = Ь(0)х(1) + Ь(1)х(О) + Ь(2)х(-1) + Ь(3)х(-2) = 2 + ! т О т О = 3 4 2 О 4 2 О 4 а 2 О 1 ° И5) = Ь(О)х(5> т Ь(1)х(4) + Ь(2)к(З) + Ь(3)42> 6 а и а % 2 О 210 Глава 5.
Фильт ы с имп льсной хе акте исгикой конечнойдлины Теорему о свертке можно сформулировать следующим образом: если две последовательности во временной области Ь(Ь) их(Ь) имеют ДПФ Н(т) и Х(т) соответственно, то ДПФ свертки Ь(Ь) + х(Ь) представляет собой произведение Н(т) ° Х(т).
Аналогично, обратное ДПФ произведения Н(т) 'Х(т) дает свертку Ь(Ь) + х(Ь). Мы можем представить это соотношение как дпФ Ь(Ь) «х(п) Н(т) ° Х(т) (5-31) ОДПФ Соотношение (5-31) говорит о том, что две последовательности Ь(Ь)+х(Ь) и Н(т) 'Х(т) образуют пару преобразований Фурье. Таким образом, ДПФ свертки Ь(Ь)+х(Ь) всегда дает произведение Н(т) Х(т). Мы можем также вычислить свертку Ь(Ь)»х(Ь), выполнив обратное ДПФ последовательности Н(т) 'Х(т).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
