Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095938), страница 37
Текст из файла (страница 37)
5. 19. Коэффициенты и частотные характеристики трех фильтров нижних частот: (а) КИХ-фильтра с 9 ответвлениями; (()) КИХ-фильтра с 19 ответвлениями; (с) частотная характеристика полного фильтра с 31 ответвлением Ь(Ь) н х(п) Н(т) ° Х(т) (5-11) ОДПФ Эта связь между сверткой во временной области и умножением в частотной области, изображенная на рисунке 5.7, показывает, что, если две последовательности во временной области Ь(Ь) и х(п) имеют ДПФ Н(гп) и Х(т) соответственно, то ДПФ свертки Ь(Ь) я х(п) будет равно Н(т) ° Х(т). Не существует никаких ограничений относительно того, что в действительности представляют последовательности Ь(Ь) и х(п) в (5-11). В разделе 5.9 мы выясним, что свертка в одной области эквивалентна умножению в другой области.
Это позволяет нам утверждать, что умножение во временной области эквивалентно свертке в частотной области или Глава 5. Фильт ыснмп льснойка акте истикойконечнойдлины Теперь мы готовы понять, откуда берутся пульсации АЧХ, заметные на рисунке 5.19. Переписывая (5-12) и заменяя Ь(Ь) и х(п) последовательностями Ь" (Ь) и и(Ь) соответственно, получаем ЛпФ Ь "(Ь) ° и(Ь) Н" (т) «И'(т) одлэ (5-13) ° " ' , ь (к) ° «« » « «« «« ° « ° « « « ° «(к) « ° « Л(«) « » Рис.
5.20. Бесконечная последовательность П (к), взвешенная окном в(к) для получения коэффициентов фильтра Л(й) Мы изображаем эту свертку на рисунке 5.21, где для того, чтобы не загромождать картинку, мы показываем Н" (и) (ДПФ коэффициентов Ь"(Ь)) как серый прямоугольник. Помните, что это в действительности последовательность отсчетов с одинаковыми значениями. Посмотрев на рисунок 5.21 (а) очень внимательно, можно увидеть, почему все три ~Н(т) ~ на рисунке 5.19 имеют пульсации в полосе пропускания.
Мы можем рассматривать конкретный отсчет свертки Н(т) = Н (т) «Й(т) как сумму произведений Н (т) на И'(и) для соответствующего сдвига %'(и) по частоте. Н (т) и несдвинутая последовательность й'(т) показаны на рисунке 5.21 (а.). Будем считать, что Ь"(Ь) представляет бесконечно длинную последовательность коэффициентов идеального КИХ-фильтра нижних частот вида яп(х)/х, а и(Ь) представляет окно, которое мы используем для усечения последовательности яп(х)/х, как показано на рисунке 5.20.
Таким образом, и(Ь) представляет собой последовательность конечной длины единичных отсчетов, и ее ДПФ есть И'(т). Длина и(Ь) равна количеству коэффициентов, или ответвлений, которые мы намерены использовать при реализации нашего КИХ ФНЧ. При принятом определении Ь" (Ь) произведение Ь" (Ь) и(Ь) представляет собой усеченную последовательность коэффициентов Ь(Ь) на рисунках 5.19 (а) и 5.19 (Ъ). Следовательно, согласно (5-13), реальная частотная характеристика КИХ-фильтра Н(т) есть свертка Н(т) =Н"(т) » И'(и) (5-14) 5.3. П секти рвание КИХ- нльт а нижних частот 185 и"(пг)вдпоо (С), н( )вдпа „в„К-.
прямоуголвного в(л) '-к~ ' Т в в вв ва в ° '.в ° (а) в = т в) „'в. О ) в„ ° ~ — в в~ ° ° (ы в в Частота в ° ввГ ) ° ) вв О ввв "в» в ° ° вв Частота (с) ° ° в(» <а) о ° а\ ° ° в 'в Частота Рис. 6.21. Свертка Я(т) * Н"(т): (а) уу(т) и Н"(т) в отсутствие сдвига; (Ь) сдвиг Иг(т), порождающий пульсации в полосе пропускания Н(т) на положительных частотах; (с) сдвиг Иг(т), приводящий к началу переходной полосы вблизи положительной частоты среза Н(т); (()) сдвиг Иг(т), вызывающих пульсации за пределами частоты среза Н(т) г Если бы мы начали сдвигать И'(т) на рисунке 5.21 ()у) влево, чтобы получить ту часть Н(лт), которая соответствует отрицательным частотам, мы получили бы зеркальное отображение части Н(т), соответствующей положительным частотам.
Если предполагается, что все отсчеты Н" (т) равны единице, то значение конкретного отсчета Н(т) является просто суммой отсчетов )(т(гл), которые накладываются на прямоугольник Н (г). Следовательно, при сдвиге Иг(т) на О Гц сумма отсчетов Ит(т), которые накладываются на прямоугольник Н (т) на рисунке 5.21 (а), дает значение Н(гл) на частоте О Гц. По мере сдвига )(г(т) вправо, что дает нам дополнительные значения Н(т) для положительных частот, мы можем видеть, что сумма положительных и отрицательных отсчетов Иг(т) под прямоугольником колеблется.
Рисунок 5.21 (Ь) показывает, как в процессе сдвига при вычислении свертки появляются пульсации в полосе пропускания Н(т) — сумма положительных и отрицательных отсчетов Ж(т), попадающих под прямоугольник Н (г), изменяется при каждом сдвиге функции Ит(т). Сдвиг В'(т) по частоте, показанный на рисунке 5.21 (с), когда вершина главного лепестка Ит(т) выходит за пределы прямоугольника Н (т), соответствует частоте, на которой полоса пропускания начинает переходить в полосу задерживания.
Рисунок 5.21 (()) показывает, что при продолжении сдвига И'(т) мы получим пульсации Н(т) за пределами положительной частоты среза . Кратко итог можно выразить так: пульсации Н(т) вызваны боковыми лепестками И'(т). ~вв Глава 5. Фильг ы с имп льснойха акте истикой конечной длины (а) т /8 Частота -Д8 (Ь) Ц8 Частота -Г (8 Рис. 6.22. Пульсации в полосе пропускания и переходные полосы: (а) для ФНЧ с 31 ответвлением; (Ь) для ФттЧ с 63 ответвлениями Рисунок 5.22 помогает ответить на следующий вопрос. Сколько коэффициентов вида яп(х)/х следует использовать (или какой должна быть длительность тв(Я)) для получения красивой крутой переходной полосы и устранения пульсаций в полосе пропускания Н(т)? Ответ состоит в том, что мы не можем получить и то, и другое одновременно.
Не имеет значения, сколько коэффициентов яп(х)/х (ответвлений фильтра) мы используем, пульсации в полосе пропускания будут присутствовать всегда. Пока тв(к) содержит конечное количество единичных отсчетов (т. е. прямоугольное окно имеет конечную длительность), )(т(т) будет содержать боковые лепестки, а они будут вызывать пульсации в полосе пропускания в результирующей частотной характеристике Н(т). Чтобы показать, что увеличение количества коэффициентов яп(х)/х не уменьшает размах пульсаций, мы повторяем график частотной характеристики ФНЧ с 31 ответвлением на рисунке 5.22 (а).
На рисунке 5.22 (Ь) показана частотная характеристика фильтра в 63 коэффициентами, и пульсации в ней остались. Используя дополнительные коэффициенты фильтра )т()т), мы можем сделать переходную полосу более узкой, но мы не можем устранить пульсации в полосе пропускания. Эти пульсации, известные как явление Гиббса, проявляются всегда, когда некоторая функция (в данном случае ш()т)), содержащая разрыв, представляется рядом Фурье [б-8~. Никакой конечный набор синусоид не может изменяться достаточно быстро, чтобы образовать разрыв. Иначе можно сказать, что явление Гиббса состоит в том, что независимо от д,лительности окна м(й), его ДПФ И'(тл) всегда будет иметь боковые лепестки.
Как показано на рисунке 5.22 (Ь), мы можем использовать больше коэффициентов, увеличив ширину прямоугольного окна м()т), чтобы сделать переходную полосу уже, но более широкое окно тв(к) не только не избавляет нас от пульсаций, но даже не уменыпает их размах, если тв(й),содержит разрывы. 5.3. П секти рвание КИХ- ильт нижних частот 187 5.3.2.
Окна в проектировании КИХ-фильтров Но есть и хорошая новость: мы можем минимизировать пульсации в полосе пропускания с помощью окон, точно так же, как мы минимизировали утечку спектра в разделе 3.9. Вот как это делается. На рисунке 5.20 видно, что в результате усечения бесконечной последовательности Ь ф) путем умножения ее на прямоугольное окно га(Й) получаются коэффициенты ЦЙ), которым соответствует частотная характеристика с пульсациями в полосе пропускания. Рисунок 5.21 показывает, что пульсации в полосе пропускания вызваны боковыми лепестками И'(гл), которые, в свою очередь, являются следствием разрывов от нуля до единицы и от единицы до нуля на концах га(().
Если мы будем считать, что га(к) на рисунке 5.20 — прямоугольное окно, то именно разрывы на концах этого окна являются источником пульсаций в полосе пропускания. Метод проектирования КИХ-фильтров с помощью окон представляет собой метод уменьшения разрывов окна ге(1г) путем использования окон, отличных от прямоугольного. Рассмотрим рисунок 5.23, чтобы понять, как можно использовать непрямоугольные окна для проектирования цифровых фильтров с низким уровнем пульсаций.
Представим себе, что мы заменили прямоугольное окно м(Й) на рисунке 5.20 окном Блэкмана, дискретные отсчеты которого определяются формулой ' га(й) = 0.42 — 0.5соз(2л1г/)ч) + 0.08соз(4лл/М) при Й=О, 1, 2, ..., Ю вЂ” 1 (5-15) Эта ситуация показана для Х = 31 на рисунке 5.23 (а), где гэ(л) (5-15) выглядит очень похоже на окно Хэмминга на рисунке 3.17 (а). Окно Блэкмана дает нам 31 коэффициент, значения которых постепенно уменьшаются к концам окна в нижней части рисунка 5.23 (а). Обратите внимание на два момента, касающихся результирующей последовательности Н(т) на рисунке 5.23 (Ъ).
Во-первых, хорошая новость. Пульсации в полосе пропускания существенно уменьшились по сравнению с хорошо заметными пульсациями на рисунке 5.22 (а) — так что окно Блэкмана свою функцию выполнило. Во-вторых, за уменьшение пульсаций в полосе пропускания мы заплатили расширением переходной полосы Н(т). Мы можем повысить крутизну характеристики в переходной полосе, увеличив количество ответвлений КИХ-фильтра. Рисунок 5.23 (с) демонстрирует улучшенную частотную характеристику при использовании 63 коэффициентов. Следовательно, использование непрямоугольных окон уменьшает уровень пульсаций в полосе пропускания за счет более плавного перехода от полосы пропускания к полосе подавления.
! Как мы упоминали в разделе 3.9, точные выражения для оконных функций зависят от диапазона изменения индекса А. Если мы примем диапазон изменения индекса, например, равным — Ж/2 < к < Ж/2, то выражение для окна Блэкмана изменится и будет выглядеть как м(л) = 0.42 э 0.5соэ(2л/г/1ч) + 0.08соэ(4лк/Ж). /лава5. Фильт ыснмп льснойха акте нстикойконечнойдлины 188 ° ' ° ь"(к) ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° н ° ° к Охно Блохнано т ° ° ° ° ° °, - -., хт(х) ° . ° ' (а) ° ° нЛ ° -' ° ° ° ° -В— л ° ' ° д(х) †° -н- ° -н- ° .
° - ° ° ° ° ° ° - ° - ° - ° - ° -н° ° х Пороходнан полоса Частота -/ /8 Переходнан волоса (с) / /8 Частота - /о/8 Рис. 8.23. Коэффициенты и частотная характеристика КИХ-фильтра с 31 ответвлением при использовании окна Блэкмана: (а) вычисление взвешенных коэффициентов фильтра П(/т); (о) частотная характеристика с пониженным уровнем пульсаций; (с) частотная характеристика фильтра с 63 ответвлениями и пониженным уровнем пульсаций Графическое сравнение частотных характеристик для прямоугольного окна и окна Блэкмана выполняется на рисунке 5.24.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
