Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095938), страница 45
Текст из файла (страница 45)
(6-3) в Функцию Е(в) называют «преобразованием Лапласа от г(г)», а переменная в представляет собой комплексное число вида в= о-»гш (6-4) Более общее выражение для преобразования Лапласа, которое называют двухсторонним преобразованием, в качестве нижнего предела интегрирования использует отрицательную бесконечность (-«»).
Но в системах, которые мы будем рассматривать, анализ при отрицательном времени (г < 0) не нужен, и используется одностороннее преобразование (6-3). Такие системы, которые часто называют каузальными, могут иметь начальные условия при г = О, которые необходимо учитывать (скорость тела, заряд конденсатора, температура тела и т. д.), но нам нет необходимости знать, что система делала до момента времени г = О. В уравнении (6-4) о — действительное число, а ш — частота в радианах в секунду.
Поскольку е-'г не имеет размерности, сомножитель в должен иметь размерность 1/время, или размерность частоты. Поэтому переменную Лапласа в часто называют комплексной частотой. ! Хотя таблица часто используемых функций можно найти почти в каждом учебнике по системному анализу, очень подробные таблицы приведены в работах 11-31 Отечественному читателю можно посоветовать многократно издававшийся в СССР и России «Справочник цо математике (для научных работников и инженеров)», Г.
Кори, Т. Коря, который доступен и в Интернете в различных электронных форматах — (прим. ред перев.) 226 6.2. П еоб азованиеЛапласа Выразив формулу (6-3) словами, можно сказать, что она требует умножать точку за точкой функцию у(Г) на комплексную функцию е "при различных значениях х. (Скоро мы увидим, что использование функции е вс здесь не случайно; е "используется потому, что она представляет собой общую форму решения линейных дифференциальных уравнений.) После поточечного умножения мы находим площадь под графиком функциияг)е 'с путем суммирования всех произведений. Это площадь, которая является комплексным числом, дает значение преобразования Лапласа для текущего значения з = и +уэ, использованного при первоначальном умножении.
Если мы проделаем эту процедуру для всех значений в, мы будем иметь полное описание Е(в) для всех х Мне нравится рассматривать преобразование Лапласа как непрерывную функцию, комплексное значение которой при некотором в представляет собой корреляцию функциият) и затухающей комплексной синусоиды е 'с, частота которой равна сн, а коэффициент затухания равен о. Как выглядят комплексные синусоиды? Они представляют собой вращающиеся фазоры', описываемые выражением е-м = е — (в вев)с = е — ес е — рвс = е — смсуе вс (6-5) Из того, что мы знаем о комплексных числах, следует, что е 1 ' представляет собой фазор единичной длины, вращающийся в направлении по часовой стрелке вокруг начала координат комплексной плоскости с частотой св радиан в секунду.
Знаменатель (6-5) представляет собой действительное число, равное единице при Г = О. С ростом Г знаменатель е ес увеличивается (при положительном о), и модуль комплексного фазора е-" уменьшается одновременно с его вращением на комплексной плоскости. Конец этого фазора описывает спираль по направлению к началу координат комплексной плоскости. Один из способов наглядного представления комплексной синусоиды состоит в рассмотрении ее действительной и мнимой частей по отдельности. Мы делаем это, выражая комплексную синусоиду е "в (6-5) в алгебраической форме как е-м = е-г стелс = соэ(свт)унес уз;п(снг)уе с (6-5') На рисунке 6А показаны действительные части нескольких комплексных синусоид с разными частотами и разными коэффициентами затухания.
На рисунке 6.4 (а) выбраны произвольные частота св' и коэффициент затухания о' комплексной синусоиды. Следовательно, действительная часть функции Г(в) при в = о' + усе' равна корреляции Яг) и колебания, изображенного на рисунке 6.4 (а). Для разных значений в мы будем находить корреляциюу(г) с разными комплексными синусоидами, как показано на рисунке 6А.
(Как мы увидим, эта корреляция очень похожа на корреляцию у(Г) и различных синусоидальных и косинусоидальных колебаний при вычислении дискретного преобразования Фурье.) Здесь опять действительная часть Г(х) при заданном значении з представляет собой корреляцию Яг) и косинусоиды с частотой вв и коэффициентом затухания а, а мнимая часть Е(в) представляет собой корреляцию у(г) и синусоиды с частотой св и коэффициентом затухания о, Теперь, если мы поставим в соответствие каждому значению переменной в точку на комплексной плоскости, которую по праву называют в-плоскостью, мы радиус-векторы н комплексной плоскости — (лри я перев ) гге Глава 6.
Фильт ы с имп льснойха акте истикой бесконечнойдлины сможем построить графики действительной и мнимой части г(з) как поверхности над или под этой з-плоскостью. Мы не можем построить на бумаге график полной комплексной функции г(з), поскольку для этого потребовалось бы четыре измерения.
Это объясняется тем, что, поскольку переменная з комплексная, для ее изображение необходимы два измерения, а для изображения самой комплексной функции г(з) требуется еще два измерения. Но мы можем построить график модуля )Г(з)) в функции з, поскольку этот график требует только трех измерений. Давайте так и будем делать всякий раз, когда нам потребуется наглядно изобразить результат преобразования Лапласа. (а) мя (Ь) (с) Время мя Рис. 6.4.
действительная (косинусная) часть различных функций е вг, где э =о+)и, участвующих в вычислении корреляции с г(г) Допустим, имеется линейная система, показанная на рисунке 6.5. Предположим также, что мы можем связать вход к(Г) и выходу(Г) линейной инвариантной во времени системы, показанной на рисунке 6.5, посредством следующего одно-. родного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами 6.2. П еоб азованиеЛапласа 227 Рис. 6.6. Система, описываемая уравнением (6-6). Входной и выходной сигналы системы х(1) и уЯ являются непрерывными функциями времени аз)/тйу(С))/Й~ + аДйу(г) )/Й+ апу(г) = ЬДйх(г)1/Й + Ьех(г) .
(6-6) Мы используем преобразование Лапласа для достижения поставленной цели— понять, как будет вести себя система при подаче на ее вход различных сигналов, т. е. каким будет выходной сигнал у(г) для любого заданного сигнала х(г). Давайте немного притормозим и посмотрим, о чем нам говорят рисунок 6.5 и уравнение (6-6). Во-первых, поскольку система инвариантна во времени, коэффициенты уравнения (б-б) а„и Ь„постоянны. Они могут быть положительными или отрицательными, равными нулю, действительными или комплексными, но они не меняются со временем.
Если это электрическая система, то коэффициенты могут быть связаны с емкостью, индуктивностью и сопротивлением. Если система механическая, состоящая из масс и пружин, коэффициенты могут быть связаны с массой, коэффициентом демпфирования и коэффициентом упругости. Если же система термическая, состоящая из масс и теплоизоляторов, коэффициенты могут быть связаны с теплоемкостью и теплопроводностью. Чтобы не ограничивать общность наших рассуждений, мы не будем здесь уточнять, какие физические величины представляют наши коэффициенты. Уравнение (б-б) показывает также, что, если не обращать внимания на коэффициенты, то сумма выходного сигнала у(Г) и его производных равна сумме входного сигнала х(г) и его производных.
Наша задача состоит в том, чтобы точно определить, какие функции удовлетворяют соотношению (6-6). (Упрямцы могут использовать здесь классические методы решения дифференциальных уравнений, но для нас преобразование Лапласа сделает задачу намного проще.) Благодаря Лапласу, мы будем использовать комплексную экспоненту еа. Она обладает одним замечательным свойством: ее можно дифференцировать неограниченное количество раз, и при этом ее форма остается неизменной: е((екг)/Й = тем г72(ем)~/<Я = з2еа г73(ем)/гт~З = этем д"(ея)/Й" = з"ея, (6-7) Благодаря этому свойству в результате преобразования Лапласа уравнение (6-6) преобразуется в а2з2у(е ) + а~~(ем) + аау(е ) = Ь~хх(ем) + Ьах(ем) или (а2з~+ а~з+ аа) у(е ) = (Ьтз+Ьа)х(е ).
(6-8) Хотя это уравнение проще, чем (6-6), мы можем еще больше упростить уравнение в последней строке (6-8), рассматривая отношение у(е и) и х(е и) как лапласовскую передаточную функцию системы, показанной на рисунке 6.5. Если мы назовем это отношение полиномов передаточной функцией Н(з), то 226 Глава 6. Фильт ы с имп льснойха акте истикой бесконечнойдлины НЯ = у(е 'г)/х(ем) = (Ь! х + Ьа )/(а2 зЗ + а(з + аа) .
(6-9) Мы можем использовать стандартные обозначения и представить передаточную функцию в виде Н(з) = у(з)/Х(з) =(Ь!э+ Ьо)/(пах~+ а)з+ ао) (6-10) где выходная функция т'(э) определяется выражением У(х) = ХЯ(Ь1з+ Ьа)/(азха + атз+ аа) = Х(з)Н(з) . (6-11) Уравнение (6-11) приводит нас к необходимости перерисовать исходную блоксхему системы в форме, которая подчеркивает определение передаточной функции Н(х), как показано на рисунке 6.6. Осторожный читатель может спросить нас: «Насколько правомерно использование анализа с помощью преобразования Лапласа, который основан на представлении реального входного сигнала системы х(Г) в виде некоторой функции от е 'г, или х(е ")?» Ответ на этот вопрос состоит в следующем.
Метод анализа с помощью преобразования Лапласа, основанный на комплексных экспонентах, обоснован, поскольку все входные функции х(Г), встречающиеся на практике, могут быть представлены комплексными экспонентами. Например, с! константа с = сеаг; !з синусоида з(п(гэг) = (е/иг — е хыг)/2~'или соз(гаг) = (е/«я+ е хыг)/2; ш монотонная экспонента е «г; а экспоненциально затухающая синусоида е гсоз(шт). Рис. 6.6. Линейная система, описываемая уравнениями (6-10) и (6-1!).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
