Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095938), страница 46
Текст из файла (страница 46)
На вход системы поступает преобразование Лапласа входного сигнала, Х(з), на выходе получаем преобразование Лапласа выходного сигнала У(э), передаточная функция системы Н(з) Из сказанного следует, что, если мы знаем передаточную функцию системы Н(з), то мы можем взять преобразование Лапласа от входного сигнала х(г) и определить Х(з), умножить Х(з) на Н(з) и получить т"(з), а затем взять обратное преобразование Лапласа от г'(з), получив в результате выражение для выходного сигнала у(г). В практических ситуациях, однако, мы обычно не выполняем все эти шаги, потому что наибольший интерес для нас представляет сама передаточная функция НЯ. Если мы можем выразить Н(з) аналитически или построить график поверхности )Н(х) ~ как функции переменной з, то это позволяет нам определить два наиважнейших свойства анализируемой системы и ответить на вопрос: устойчива ли система и, если да, то какова ее частотная характеристика? «Но постойте» вЂ” говорите вы.
— «Уравнения (6-10) и (6-11) показывают, что для получения Н(з) нужно знать )'(з) !» На самом деле это не так. Нам необходимо знать только дифференциальное уравнение, подобное (6-6). Затем мы берем 6.2. П еобразоаание Лапласа 229 преобразование Лапласа этого дифференциального уравнения и комбинируем его члены так, чтобы получить Н(з) в форме (6-10). Имеющие практический опыт разработчики систем могут просто посмотреть на блок-схему (механическую, электрическую и любую другую) системы и сразу написать выражение для Н(з). Используем же теперь понятие передаточной функции Н(з), чтобы определить устойчивость и частотную характеристику простой непрерывной системы. 6.2.1.
Полюсы и нули на а-плоскости и условие устойчивости Одной из важнейших характеристик системы является ее устойчивость. Мы можем считать систему устойчивой, если при ограниченном сигнале на входе она всегда выдает ограниченных выходной сигнал. Кажется, что легко достичь выполнения этого условия, потому что большинство окружающих нас в повседневной жизни систем являются устойчивыми.
Тем не менее, мы все имеем опыт наблюдения неустойчивости системы, содержащей обратные связи. Вспомните вой, который раздается, когда микрофон громкоговорящей системы подносится слишком близко к громкоговорителю. Сенсационный пример нестабильной системы наблюдался в западном Вашингтоне, когда первый мост Такома Нэрроуз (Тасос Ыаггоъ"з Вг168е) начал колебаться в полдень 7 ноября 1940 г. Эти колебания были вызваны ветром со скоростью 42 мили в час, их амплитуда нарастала до тех пор, пока мост не разрушился. Для БИХ-фильтров с их внутренней обратной связью неустойчивость может привести к тому, что состояние выхода фильтра перестанет отражать состояние его входа; т. е.
выходные отсчеты при этом не являются фильтрованными версиями входных отсчетов; они представляю собой какие-то непонятные колебания или псевдослучайные значения. Таких ситуаций следует по возможности избегать, не так ли? Посмотрим, как этого добиться. Мы можем разобрать понятие устойчивости непрерывной системы, изучив несколько разных примеров передаточных функций Н(з), описывающих линейные инвариантные во времени системы. Предположим, что у нас есть система, передаточная функция которой имеет форму (6-10), при этом коэффициенты ее действительны, а коэффициенты Ьг и а~ равны нулю.
Обозначим эту передаточную функцию как Н~(з); Н~(з) = Ьо /(а1з + ао) = (Ьо /а~)Яз + ао /а~) . (6-12) Заметьте, что при з = — ао /аг знаменатель в (6-12) обращается в ноль, а модуль Н~(з) устремляется в бесконечность. Эту точку з = — ао /аг называют полюсом, и на рисунке 6.7 (а) он отмечен значком 'х". Обратите внимание на то, что полюс расположен в левой полуцлоскости, соответствующей отрицательной части действительной оси.
Если бы система, описываемая функцией Нп находилась в состоянии покоя и в момент времени с=0 мы подали на ее вход импульс х(г), ее непрерывный выходной сигналу(г) представлял бы собой затухающую экспоненту, показанную на рисунке 6.7 (Ъ). Мы можем видеть, что Н~(з) устойчива, потому что выходной сигнал у(г) с течением времени стремится к О.
Кстати, расстояние полюса от оси о = О, ао /аз для нашей передаточной функции Н~(з) определяет скорость затухания импульсной характеристики у(г). Чтобы показать, почему эту точку называют полюсом, на рисунке 6.8 (Ъ) изображена трехмерная поверхность 2ЗО Глава 6. Фильт ыс имп льснойха акте истикой бесконечнойдлины )Н((з) ~. Посмотрите на этот рисунок внимательно и обратите внимание на то, что мы изменили ориентацию осей з-плоскости.
При такой ориентации осей мы можем увидеть, как по этой трехмерной поверхности можно получить АЧХ системы. Если мы рассмотрим поверхность !Нт(з) ~ при а = О, то получим характеристику, показанную на рисунке 6.8 ((э) толстой линией. Эта толстая линия, представляющая собой сечение поверхности )Н~(з)) вертикальной плоскостью а = О, и есть АЧХ нашей системы )Нт(в) ) — таким образом, мы достигли одной из наших целей.
В более привычном виде АЧХ )Н)(ы) ! приведена на рисунке 6.8 (с). Рисунки 6.8 (Ь) и 6.8 (с) выявляют одно важное обстоятельство: преобразование Лапласа представляет собой обобщение преобразования Фурье, потому что при а = О значение х = уо. Поверхность )Н((з) ! при а = О превращается в функцию частоты )Нт(в) (, показанную на рисунке 6.8 (с). Другая известная передаточная функция приводит к колебательной импульсной характеристике. Рассмотри другой частный случай передаточной функции (6-10), когда Ьа =О, а корни полинома знаменателя принимают комплексные значения. Мы обозначим этот частный случай передаточной функции как Н2Я: НрЯ = Ьт х/(а~э~ + атз + ал) = [(Ь(/а~)х)/[з~ + (а(/а2)з + аа/а21 (6-13) Время (ь) (а) Рис.
6.7. Представления функции Н,(з); (а) полюс, расположенный в точке э =а +))е = -ао/а, +10 на з-плоскости; (Ь) импульсная характеристика системы у(() (Кстати, когда переменная з входит как в числитель, так и в знаменатель передаточной функции, порядок функции определяется наибольшей степенью з в знаменателе. Следовательно, наша Н2Я имеет второй порядок.) Чтобы несколько упростить последующие уравнения, разложим знаменатель передаточной функции на множители и перепишем (6-13) в виде: Н2(х) =А /[("р)( +р")[ (6-14) гдеА = Ь~/а~,р =р„, )+~р; яр" =р„а ) — ~р; „(комплексно-сопряженный р). Заметим, что если з йринимает значение — р или — р ", один из сомножителей в знаменателе (6-14) обращается в ноль, а модуль Н2(з) становится бесконечным. Два комплексных полюса, показанные на рисунке 6.9 (а), лежат в стороне от отрицательной части действительной оси.
Если бы система Н2 находилась в состоянии покоя и в момент времени г=О мы подали на ее вход импульс х(г), то выходной сигнал системы у(г) представлял бы собой затухающую синусоиду, показанную на рисунке 6.9 (Ь). Мы видим, что Н~Я устойчива, потому что ее осциллирующий выходной сигнал с течением времени затухает подобно задетой гитарной струне. Здесь тоже расстояние полюсов от оси а = О (-р„, )) определяет скорость затухания синусоидальной импульсной характеристики у(г). Аналогично, расстояние 6.2. П еоб аэованиеЛалласа 231 полюсов от оси)го = О ('+р; ) определяет частоту колебания синусоидальной импульсной характеристикй у(г). Обратите внимание на одну новую деталь на рисунке 6.9 (а). Когда з = О, числитель (6-14) равен нулю, в результате чего Н2(з) - О. Любое значение з, при котором Н2(з) = О, часто представляет определенный интерес и обычно отмечается на з-плоскости небольшим кружочком, называемым «нулем», показанным на рисунке 6.9 (а).
Здесь нас не очень интересует то, как выразить р и р*через коэффициенты знаменателя (6-13). Но настойчивый читатель может выразить значения р и р" через аа, а) и а2 с помощью известной формулы корней квадратного уравнения: заданный полипом второго порядка Дз) = аз2 + Ь + с можно представить в виде произведения сомножителей (а) (Ь) (с) Рис. 6.8. Подробное представление Н~(з): (а) полюс в точке п=-ао/а, наз-плоскости; (Ь) поверхность ) Н,(з) ); (с) кривая сечения поверхности )Н,(з) ) вертикальной плоскостью а = О.
Это обычное изображение АЧХ системы )Н!«4) 232 Глава б. Фильт ы с имп льснойха акте истикой бесконечной длины г' а гаьаг (а) Рис. 6.9. Представления Нз(з): (а) полюсы в точках з =р„,в/р, з-плоскости; (Ь) импульсная характеристика системы у(() (а) Нг (с) Рис. 6.10. подробное изображение н2 (з): (а) расположение полюсов и нулей на з-плоскости; (Ь) поверхность | Нс (з) ); (с) график АЧХ ) На (аг) ) 6,2.
П еоб азованиеЛапласа 233 Яз) =наг+ба+с = (6-15) — ~ + ыг. +4и:т вам* ° ьь -4Гы — т аы~. На рисунке 6.10 (Ь) показана поверхность )Н~(з)! над з-плоскостью. Толстая линия на этом рисунке показана на рисунке 6.10 (с) в более привычном виде, она представляет собой АЧХ системы, описываемой уравнением (6-13). Хотя трехмерные поверхности на рисунках 6.8 (Ь) и 6,10 (Ь) весьма информативны, они в то же время громоздки и не всегда необходимы.
Мы можем оценить устойчивость системы, просто рассмотрев расположение полюсов на двухмерной з-плоскости. На рисунке 6.11 показаны карты расположения полюсов для нескольких различных передаточных функций и соответствующие им импульсные характеристики. Мы видим, что рисунки 6.11 (а) и 6.11 (Ь), которые мы уже обсуждали, демонстрируют нам характеристики устойчивых систем. Будучи выведены из состояния покоя входным сигналом, они реагируют на него, а затем постепенно возвращается в состояние покоя.
Единственный полюс з = О на рисунке 6.11 (с) соответствует передаточной функции 1/к В электрических системах передаточная функция 1/з может описывать конденсатор, заряженный импульсом тока при отсутствии цепи разряда. Для механической системы 6.11 (с) может описывать некоторую пружину, которая сжата импульсом силы и по какой-то причине остается в этом состоянии. Обратите внимание на то, что, когда Н(з) имеет сопряженные полюсы, лежащие точно на оси уш (сг = О), как на рисунке 6.11 (г1), система превращается в генератор, если она выведена из состояния покоя. Эта ситуация, которую называют условной устойчивостью, описывает передаточные функции электронных генераторов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
