Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095938), страница 48
Текст из файла (страница 48)
На рисунке 6.15 показаны примеры размещения полюсов в г-плоскости и соответствующие им дискретные импульсные характеристики. Было бы хорошо, если бы вы сравнили карты г-плоскости и дискретные импульсные характеристики на рисунке 6.15 с картами з-плоскости и непрерывными характеристиками на рисунке 6.11. Выходной сигнал у(п) на рисунках 6,15 (г() и (е) показывает нам пример неограниченного нарастания выходного сигнала неустойчивого фильтра всякий раз, когда входной сигнал х(л) становится отличным от нуля. Чтобы избежать гзв (лаваб. Фильт ысимл льснойха акте истикойбесконечнойдлины ~у() ав (а) 2 у(п) = 2«)а ав ° а ааа ° а ° — ° ° а ° .в - — 3» а« а в«а а ,а у(п) вв," п)п 2«в (и) ° в — а ° — а в а — — П» и у(п) а ° ° ° а «ав ° ° авва в ваап«а«вава ° у(п) в в а а а«в ° ° ° у ° а (е) ° ° а ° в «а в Рис. 6.15. Различные карты расположения полюсов Н(г) и соответствующие им импульсные характеристики: (а) единственный полюс внутри единичного круга; ()2) сопряженные полюсы внутри единичного круга; (с) сопряженные полюсы на единичной окружности; (б) единственный полюс за пределами единичного круга; (е) сопряженные полюсы за пределами единичного круга Частота осцилляции е) импульсных характериотик на рисунках 6.15 (с) и (е), конечно же, пропорциональна углу полюса относительно действительной оси г„п„(, или е) радиан/сек соответствуют /и = е)п /2л' Гц.
Поскольку точка пересечения оси — г ( с единичной окружностью г = — 1 соответствует л радиан (или л/, радиан/сек =/и /2 Гц), угол (у) = л/4 на рисунке 6 15 показывает, что/и -/;/8, и наша импульсная характеристика у(л) имеет восемь отсчетов на период частоты/ . такой ситуации, любой БИХ-фильтр должен проектироваться так, чтобы все по- люсы его передаточной функции Н(г) лежали внутри единичного круга. Как и цепь, прочность которой определяется самым слабым звеном, БИХ-фильтр лишь настолько устойчив, насколько устойчив самый неустойчивый из его полюсов. б,З. 2-и еоб азованне 239 6.3.2. Использование г-преобразования для анализа БИХ-фильтров Прежде, чем мы сможем добавить г-преобразование к набору инструментов цифровой обработки сигналов, следует рассмотреть еще один вопрос. Нам необходимо определить, что представляет собой операция задержки на рисунке 6.3 по отношению к г-преобразованию.
Для этого предположим, что у нас есть последовательность х(п), г-преобразование которой есть Х(г), и последовательность у(п) = х(п-1), г-преобразование которой есть У(г), как показано на рисунке 6.16. г-преобразование у(п) по определению имеет вид ОО 02 У(г) ««) у(п)г и ~г~ х(п 1)г (6-18) Теперь, если мы положим к - и — 1, то У(г) принимает форму ОЭ Оэ 1(г) = ~~~~х(я)г — ("+1) = ~ х(я)г — Йг — 1 ь- — ~ ь- — ~ (6-19) которую мы можем переписать как У(г) = г-т '~ЫД~-ь = г-т(Х(г)) ь--а (6-20) «(л -1) «( Рис. 6.16.
Выходная последовательность у(п) представляет собой задержанную на один период дискретизации входную последовательность«(л) Следовательно, одна единица задержки во временной области приводит к умножению г-преобразования на г т. Рассматривая единичную задержку по времени как эквивалент оператора г ), мы приходим к соотношениям, показанным на рисунке 6.17, о которых можно сказать, что Х(г)г о = Х(г) — это г-преобразование х(п), Х(г)г т — г-преобразование последовательности х(п), задержанной на один отсчет, Х(г)г г — г-преобразование последовательности х(п), задержанной на два отсчета, а Х(г)г ь — г-преобразование последовательности х(п), задержанной на к отсчетов.
Таким образом, передаточная функция вида г ~ эквивалентна задержке на Йг, секунд, где Г, — период времени между последовательными отсчетами, или единица, деленная на частоту дискретизации, г, = 1Д;. Поскольку задержка на один отсчет эквивалентна множителю г-), символ единичной задержки, использованный на рисунках 6.2 и 6.3, обычно помечают оператором г т. Задержимся на минуту и посмотрим, где мы находимся в данный момент. Наше знакомство с преобразованием Лапласа и его з-плоскостью, понятие устойчивости, основанное на расположении полюсов Н(з), введение г-преобразования с его полюсами в г-плоскости, и концепция оператора г (, обозначающего единичную задержку по времени, привели нас к поставленной цели: мы можем теперь изучить разностное уравиение или структуру БИХ-фильтра и сразу 240 главаб.
Фильт ысимп льснойка акте истикойбесконечнойдлины записать передаточную функцию фильтра Н(г). Вычислив соответствующим образом передаточную функцию БИХ-фильтра Н(г), мы можем получить частотную характеристику фильтра и проверить его устойчивость. Помня об этой амбициозной цели, займемся выводом уравнений в г-области, необходимых для анализа БИХ- фильтров.
Используя соотношения, приведенные на рисунке 6.17, начертим схему, приведенную на рисунке 6.3, как обобщенный БИХ-фильтр М-го порядка, используя оператор г 1, как показано на рисунке 6.18. (В аппаратуре операции задержки г т реализуются как регистры сдвига, хранящие последовательные входные и выходные отсчеты. При программной реализации БИХ-фильтра операция г 1 просто указывает на последовательные ячейки памяти, в которых хранятся входная и выходная последовательности.) Структуру БИХ-фильтра на рисунке 6.18 часто называют Лрлмой формой 1. Разностное уравнение во временной области, описывающее обобщенный БИХ- фильтр М-го порядка, имеющий осенний прямой связи и Мсекций обратной связи, показанный на рисунке 6.18, имеет вид у(п) = Ь(0)х(п) + Ь(1)х(п-1) + + Ь(2)х(п — 2) -»...-» Ь(Ы)х(п †(»7) + -» а(1)у(п — 1) + а(2)у(п — 2) -» ...
ч+ а(М)у(п-М) . Выражение для БИХ-фяльтра М-го порядка во временной области (6-21) ЕГ (и-3» х(п-к) Задержка — ° -О «Задержка( †-аа- Временная обпасть Х(г)г г Х(г)г-з Х(г)г Х(г) Х(г)г " г - обпасть Рис. 6.17. Соответствие операции задержки по времени и операции г-к а г-области В г-области выходной сигнал такого БИХ-фильтра можно записать как У(г) = Ь(0)Х(г) + Ь(1)Х(г)г-~ + Ь(2)Х(г)г г + ... + Ь(Ж)Х(г)г "+ (6-22) Выражение для БИХ-фяльтра М-го порядка в г-области т'(г) = Х(г)~» Ь(Ь)г (» + У(г)~, а(Ь)г к, (6-23) а=о »»=1 + а(1)У(г)г-т + а(2)У(г)г г -» ... + а(М) у(г)г м, где г'(г) и Х(г) представляют собой г-преобразования последовательностей у(п) и х(п) соответственно.
Рассмотрите уравнения (6-21) и (6-22) внимательно и обратите внимание на то, что единичные задержки по времени преобразуются в отрицательные степени г в г-области. Более компактная форма выражения для У(г) выглядит так 6.3.г-п еоб азование 241 а(м) Рис. 8.18. Обобщенная структура (Прямая форма!) БИХ-фильтра М-го порядка, имеющего И секций прямой связи и М секций обратной связи, оператор г-' символизирует задержку по времени на один отсчет Итак, мы достигли места, где можно описать передаточную функцию обобщенного БИХ-фильтра.
Приведя подобные члены в (6-23), получаем: М У У(г)(1 — г и(«)г «] =Х(г)~~ Ь®г «. «=1 «-О (6-24) И, наконец, мы получаем передаточную функцию фильтра в г-области Н(г) = У(г)/Х(г); где Н(г) имеет вид Передаточная функция БИХ-фильтра М-го порядка в г-области Н(г) = У(г)/Х(г) = = ( г Ь(л)г «]/~1 — „г, п(я)7 «]. (6-25) (Как и в случае передаточных функций Лапласа, порядок нашей передаточной функции в г-области определяется наибольшим показателем степени при г в знаменателе, в рассматриваемом случае — это М.) Уравнение (6-25) говорит нам все, что необходимо знать о БИХ-фильтре.
Мы можем вычислить корни знаменателя, чтобы определить расположение полюсов фильтра на г-плоскости, которое необходимо для проверки устойчивости. Подобно тому, как передаточная функция Лапласа Н(х) в (6-9) описывала комплекснозначную поверхность над или под з-плоскостью, так и Н(г) описывает комплекснозначную поверхность над или под г-плоскостью. Пересечение поверхности Н(г) с боковой поверхностью цилиндра, построенного на единичной окружности г = елв дает нам комплексную частотную характеристику фильтра. Это значит, 242 Глава 6. Филь ы с имп льсной ка акте истикой бесконечной длины что подстановка елэ вместо г в передаточной функции (6-25) даст нам выражение для частотной характеристики БИХ-фильтра Нууй(ш) вида Частотная Нууй(ш) = Н(г) ),,уи = (6-26) = ~ Ь(к)е 1Ьи/[1 — ~> и(Л)е У~ ~. е-0 Изменим форму (6-26) и получим более полезные выражения для модуля и аргумента Нууй(ш) (АЧХ и ФЧХ фильтра).
Поскольку Нууй(ш) является отношением комплексных величин, мы можем представить Нууй(ш) в алгебраической форме: уч М Нууа(в) =~~> Ь(УеЯсоз(Уев) — уяп(йв)]/(1 -~ и(Ь)[соз(йш) — уяп(йв)~ ), (6-27) а-О е=1 или Частотная (6-28) Обычно проще и полезнее рассматривать комплексную частотную характеристику в виде модуля и аргумента. Давайте получим соответствующие выражения, представив числитель и знаменатель (6-28) в виде двух комплексных функций круговой частоты в. Обозначив числитель (6-28) как Хит(ш), запишем №т(в) = Ниттеау(ш) ч ]Митьаак(ш) (6-29) где 11 Нитт У(ш) = ~1 Ь(Уе)'соз(Уев), е-О уч ЬУиту (ш) = — ~> Ь(Уу) 'яп(кв), А=О (6-30) Аналогично знаменатель (6-28) можно представить в виде е)ел(ш) ууелтеау(ш) ч Репутае(ш) ' (6-31) где М 7)ептеау(ш) = 1 — ~~~~~а(Й)есоз(ага) е=1 характеристика БИХ-фильтра М-го порядка в экспоненциальиой форме характеристика БИХ-фильтра М-го порядка валгебраической форме Нйл(в) = [;5,' Ь(Уг)соз(йв) — 1'5,' Ь(Ь)яп(йв)1т/ УтО УтО м М /[1 —,~> а®соз(Ы) +Д, а(Ь)яп(йв)~ 243 6.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
