Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095938), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Метод инвариантного и ео6 азования ими иьсной характе истики 267 Используя пару преобразований Лапласа в (6-56), находим импульсную характеристику аналогового фильтра-прототипа в виде Ь,(г) = Ае а'яп(шг) = 154.77724е-689726801 ип(112.4851731) . (6-64) Итак, мы готовы выполнить Шаг 4 Метода 1, чтобы найти передаточную функцию дискретного БИХ-фильтра Н(г) с помощью г-преобразования й,(г). И опять порывшись в учебниках по ЦОС или в хорошем справочнике по математике, мы находим следующую пару г-преобразований, в которой выражение во временной области имеет ту же форму, что и импульсная характеристика Ь,(г) в (6-64): Х(г), г-преобразование х(г) х(г): Се е1 яп(шг) Се а'зт(шг)г 17[1 — 2[е е'соз(М)]г 1+е 2е'г 2] (6-65) Помните, что а и ш — просто общие обозначения и не имеют никакого отношения к значениям а и ш в (6-59) и (6-61).
Подставляя константы из (6-64) в правую часть (6-65), мы получаем передаточную функцию БИХ-фильтра Н(г) = [154 77724е — 689726801 зпа(1124851731) г — 1]/ 7[1 2[е-6897268ог.соз(1124851731)] 2--1+е-2 689726801,-2] (б 66) Выполняя Шаг 5 Метода 1, мы подставляем Г, = 0.01 вместо непрерывной переменной г в (6-66), что дает окончательное выражение для передаточной функции Н(г): Н(г) = [154 77724е-68972680 001 яп(112485173.001) г-1]7 /[1 2[е — 68972680'001 ° соз(112485173 ° 001)] г — 1те — 2 68972680 0012 — 2] = = [154 77724е 068972680 тйп(1 12485173)г-1]7 Д1 2[е-068972680 ° соз(1 12485173)] г — 1че — 2 068972680г — 2] = = У(г)/Х(г) = 70.059517г 1/(1 — ОА3278805г 1+ 0.25171605г-2) . (6-67) Отлично, сделаем еще усилие, мы почти закончили.
Вот завершающие шаги Метода 1. Избавившись от знаменателей в (6-67), получаем У(г) ° (1 — 0.43278805г 1+ 0.25171605г 2) =Х(г) ° (70.059517г 1) или У(г) = 70.059517 Х(г) г 1+ 0.43278805 У(г) г 1 — 025171605 У(г) г 2 (6-68) Рассмотрев (6-68), мы можем записать разностное уравнение БИХ-фильтра. Выполняя Шаги 6 и 7 Метода 1, мы умножаем коэффициент при х(п-1) на период дискретизации г, = 0.01 для соответствующего масштабирования: у(п) = 001 ° 70059517'х(п — 1) + 043278805 у(п — 1) — 025171605~у(п — 2) = 0.70059517 х(п — 1) + ОА3278805 у(п — 1) — 0.25171605 у(п — 2), (6-69) 258 Глава 6. Фильт ысимп льснойха акте истикойбесконечнойдлины 6.4.2.
Пример использования Метода 2 проектирования с помощью инвариантного преобразования импульсной характеристики Пусть передаточная функция прототипа задана в виде Н,(з) = 174 10.145/(х2 ч- 137.9453бз + 174 10. 145), (6-70) а период дискретизации Г, = 0.01. Теперь мы готовы выполнить Шаг 3 Метода 2. Чтобы представить Н (з) в виде суммы однополюсных функций, нам потребуется разложить знаменатель (6-70) на множители и использовать методы разложения на простейшие дроби. Для удобства начнем с того, что заменим константы в (6-70) переменными, так чтобы Н (3) = с/(3 ( Ь5 ( с), (6-71) где Ь = 137.94536, с = 174 10. 145. Далее, используя (6-15) при а = 1, мы можем факторнзовать квадратичный знаменатель (6-71) как Н ( (- ((( ° ((2 ~ (((' — ( ((4(('( ° Ь(2-4(( -7(((((( (672( Если мы подставим значения Ь и с в (6-72), мы обнаружим, что под корнем получилось отрицательное значения.
Это значит, что сомножители знаменателя в (6-72) комплексные. Поскольку нам придется выполнять много аналитических преобразований, заменим радикалы в (6-72) мнимой величиной/К, где/' =1 ( — 1) и К = ~(ЬЗ вЂ” 4с)/4(, так что Нс(з) = с/](з + Ь/2 ч-1К)(х + Ь/2 — 1К)], (6-73) Методы разложения на простейшие дроби позволяют нам разбить (6-73) на две отдельные дроби в виде Нс(з) = с/](з+ Ь/2+ 1К)(з+ Ь/2 — 1К)] = = К~/(з + Ь/2 +)К) + Кз/(з + Ь/2 — 1К) * (6-74) где, как можно убедиться, константа К~ = 1с/2К, а константа Кз комплексно сопряжена Кя или Кз = — 1с/2К.
(Чтобы узнать больше о разложении на простейшие дроби, заинтересованный читатель может просмотреть учебники по институтскому курсу математики или справочники по математике для инженеров.) Следовательно, Н,(з) может быть выражена в форме (6-48), или Н,(з) = ( (с/2К)/(з + Ь/2 + 1К) + ( — )с/2К)/(з + Ь/2 — (К) (6-75) Наконец, мы получили то, что нужно. Для аппроксимации исходного аналогового ФНЧ Чебышева мы используем коэффициенты из (6-69) при реализации улучшенной структуры БИХ-фильтра на рисункее 6.22.
Посмотрим, получим ли мы такой же результат, используя Метод 2. 6.4. Метод инва иантного и еоб азоаания имп льснойха акта истики 269 Н(г) = (/С/2Я)/(1-Š— (Ь/2 )Л)ггг — 1) + ( — уе/2Я)/(1 Š— (Ь/2 1л)пг — 1) (6 76) Цель шага 5 состоит в том, чтобы преобразовать (6-76) в форму (6-52), чтобы мы могли определить коэффициенты прямых и обратных связей БИХ-фильтра. Складывая дроби в (6-76), получаем Н(г) = [(/с/2Я)[1 е — (Ь/2 — гд)пг — 1] (1с/2Я)[1 е — (Ы2 «1К)Ьг — 1]] Г /[[1 е-(Ы2 1л)нг-1][1 е-(Ы2-)л)нг-1]] (6-77) Приводя подобные члены в числителе и перемножая сомножители в знаменателе, приходим к Н(г) = (/с/2Я)[1 — е (Ы2 )Л)1 г 1 — 1+ е — (Ы2»1л)1 г-1]/ /[1 — е — (Ы2 — ул)1 г — 1 е — (ь/2+1л)1,г — 1+ е ьйг (6-78) Раскладывая экспоненты на множители и приводя подобные члены с одинаковымн степенями г, получаем: Н(г) = (/с '2Я) [е (ь/2»1д)г~ — е (Ы2 — 1л)г ] г 1/ /(1 [е — (ь/2 -/дЦ + е — (ь/2»/н)1 ) г — 1 + е — ьб г 2) (6-79) Продолжая упрощать выражение Н(г), вынося действительные составляющие экспонент, получим Н(г) = (/с/2Я)е ьб/2(е 1лй — е1лй ) г 1/ /[1 е-ьй/2(етл1»» е-тю,) г-1 «е-ьйг-2] (6-80) Теперь в Н(г) одинаковые степени г приведены, и (6-80) выглядит похожим на требуемую форму (6-52).
Зная, что окончательные коэффициенты БИХ-фильтра должны быть действительными числами, мы задаем себе вопрос; «Что нам делать с членами, содержащими/, в (6-80)?» И опять на помощь приходит Эйлер'. Используя тожлества Эйлера для синусоид, мы можем убрать комплексные экспоненты, при этом (6-80) превращается в Н(г) = ()с/2Я)е Ь»/2[ — 2/зт(Яг,)]г 1/[1 — е Ьг '2[2соз(Я1,)]г 1+ е Ьйг 2] = = (с/Я)е — Ь1/2[тйп(ЯГ )] г — 1/[1 — е — ЬГ,/2[2соз(Я1 )) г — 1 + е Ьйг — 2) (6-81) Если теперь мы подставим значения с = 174 10.
145, Ь = 13794536, Я = 112.48517 и г, = 0 01 в (6-81), то мы получим следующую передаточную функцию БИХ-фильтра: 1 согласно тождествам эйлера тйв(ф) =(е~ — е'лг)/21 и сов(ф) =(е~Ф + е л1)/2 Из (6-75) мы можем видеть, что наш фильтр-прототип второго порядка имеет два полюса, один из которых расположен в точке р1 = — Ь/2 — 1Я, а другой — в точке рг = — Ь/2 + 1Я. Теперь мы готовы отобразить эти два полюса из з-плоскости в г-плоскость, как того требует Шаг 4 Метода 2. Выполняя подстановку 1-е-рьг» г 1 вместо з+рь в (6-75), мы получаем следующее выражение для однополюсных цифровых фильтров: 260 Глаааб, Фильт ысимп льснойха акте истикойбесконечнойдлины Н(г) = (154.77724)(0.50171312)(0.902203655) г 1/ /[1 — (050171312)(0.86262058) г 1+ 025171605г г] = = 70.059517г 1/[1 — ОА3278805г ~+0.25171Б05г г] . (6-82) Поскольку Н(г) = У(г)/Х(г), избавляясь от знаменателей по обе стороны знака равенства, мы можем переписать (6-82) в виде У(г) ° (1 — 0.43278805г )ч-0.25171605г г) =Х(г) (70.059517г 1) или У(г) = 70059517~Х(г) г 1+ 043278805 ° У(г) г 1 — 025171605 У(г) г-г (6-83) А теперь по аналогии берем обратное г-преобразование от (6-83) и получаем разностное уравнение БИХ-фильтра у(п) = 70.059517 ~х(п — 1) + ОА3278805'у(п — 1) — 0.25171Б05 у(п — 2) (6-84) Остается завершающий шаг.
Чтобы коэффициент передачи БИХ-фильтра был равен коэффициенту передачи прототипа, мы умножаем коэффициент при х(п — 1) на период дискретизации г„как предлагалось на Шаге 6 Метода 2. В этом случае имеется только один коэффициент при х(п), в результате чего имеем у(п) = 001'70059517 х(п — 1) + 043278805'у(п — 1) — 025171б05'у(п — 2) = = 0.70059517 ° х(п — 1) + ОА3278805 у(п — 1) — 0.25171б05'у(п — 2) (6-85) Это совпадает в результатом, полученным Методом 1 в (6-69).
(Не правда ли, приятно решить задачу двумя разными способами и получить один и тот же результат?) На рисунке 6.27 в графической форме показаны результаты проектирования фильтра. Расположение полюсов прототипа в з-плоскости и полюсов БИХ-фильтра в г-плоскости показано на рисунке 6.27 (а). Поскольку полюсы прототипа находятся в левой полуплоскости, а полюсы БИХ-фильтра находятся внутри единичного круга, оба фильтра устойчивы.
Мы находим полюсы прототипа из (6-75). При е = — Ь/2 — 1Я знаменатель первого слагаемого в (6-75) становится равным нулю, а Н,(з) становится бесконечно большой. Это значение з = — Ь/2 — тЯ представляет собой полюс в нижней полуплоскости на рисунке 6.27 (а). Когда з = — Ь/2 +18, знаменатель второго слагаемого обращается в О, а е = — Ь/2 +ф дает позицию второго полюса на з-плоскости.
Позиции полюсов БИХ-фильтра на г-плоскости находятся из (6-76). Если мы умножим числители и знаменатели в (6-76) на г, то получим н(г). г/г =гас/2К)/[г(1 — е (ь/г 1Я)г г ~)] + г( — 1с/28)/[г(1-е (ь/г гй)г г 1)] = = ( ус/28) г/[г — е (ь/г +ля)п] + ( — ус/2Я) г/[г — е — (ь/г -1к)~ ], (6-86) Если в (6-86) г = е( Ь/2 + тй)гь знаменатель первого слагаемого обращается в ноль, а Н(г) становится бесконечно большой. Значение г, равное г = е( — ыг ч)Я)й = е( ьг,/г) е тдй = е( ьй/г) г. — йг,радиан (6-87) 6.4.
Метод инва иантногоп еоб азованияимп льснойхаракте истики 261 Т-ЛПОСКОСП ЛЛОТСКОСТЛ (О> м гц ЧОСТОТО «ти 2о гц Рис. 6.27. Характеристики фильтров, использованных в примере расчета с помощью инвариантного преобразования импульсной характеристики: (а) расположение полюсов аналогового фильтра-прототипа на з-плоскости и полюсов дискретного БИХ-фильтра на з-плоскости; (Ь) АЧХ дискретного БИХ-филь- тра определяет положение полюса, лежащего в нижней полуплоскости г-плоскости на рисунке 6.27 (а).
В частности, этот полюс расположен на расстоянии е( Ьгл'з) = 0.5017 от начала координат, а угол его радиус-вектора с действительной осью составляет 0 = — Яг, радиан, или — 64.45'. Поскольку полюсы комплексно-сопряженные, полюс в верхней полуплоскости г-плоскости расположен на том же расстоянии от начала координат, а угол его радиус-вектора равен д = Из радиан, или -«64.45'. На рисунке 6.27 (Ь) показана АЧХ БИХ-фильтра как функция частоты в Гц.
На рисунке 6.28 показаны две разные реализации БИХ-фильтра. Рисунок 6.28 (а) предлагает реализацию нашего БИХ-фильтра второго порядка, основанную на обобщенной структуре БИХ-фильтра, показанной на рисунке 6.22, а на рисунке 6.28 (Ь) показана реализация БИХ-фильтра второго порядка на основе альтернативной структуры, показанной на рисунке 6.22 (Ь). Зная, что коэффициент 6(0) в левой части рисунка 6.28 (Ь) равен нулю, мы приходим к упрощенной структуре, приведенной в правой части рисунка 6.28 (Ь).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
