Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095938), страница 54
Текст из файла (страница 54)
А тепеРь покажем, что ось частоты з-плоскости )гоа отобРажаетсЯ на единичнУю окружность г-плоскости. Мы можем сделать это, положив в (6-91) а = 0 и получив г = (1 +1еоате/2)/(1 — 1гоате,, 2) (6-93) Здесь снова мы видим, что переменная г представляет собой отношение комплексных чисел, следовательно, ее модуль равен Йт = В Ма8питегаеог/Магаиаепот1паеог — [(1)г+(т г /2)гИ(1)г+( г /2)г1 (6-94) в = (2/Г ) [(1 — е-. гоа )/(1 + е-. гоа ) ), (6-95) Если мы представим з в алгебраической форме и вынесем за скобки экспоненту половинного угла, мы получим в = а +1ео = (2/Г )[е — лоь/о(едаа/о — е —.ам/г ))/[е —.гоп/Р(ейое/г+ е — )гое/г )[ (6 96) Модуль г в (6-94) всегда равен 1.
Таким образом, как мы утверждали, при использовании билинейного преобразования, ось 1еп в в-плоскости отображается на единичную окружность в г-плоскости. Но это отображение частот нелинейно. Важно знать, почему эта нелинейность, или деформация, возникает и к чему она приводит. Мы узнаем это, выведя соотношение между частотой в-плоскости и частотой г-плоскости, которую мы обозначим как еое. Если мы представим г на единичной окружности в полярных координатах как г = те 1тз, как мы делали это для рисунка 6.13, где т = 1, а ели — угол, мы можем подставить г = е1та в (6-88) и получить 266 Глава 6.
Фильт ы с имп льсной характе истикой бесконечной длины Используя тождества Эйлера яп(ф) = (е/ф — е сф)/2~' и сох(ф) = (е>Ф + е /ф)/2, мы можем преобразовать правую часть (6-96) в х =о эссо =(2/Г )(е — усосс/г)2)з(п(со1/2)))/(е /ьм/г(2сов(со1/2)]) = = (2/Г )(2е- сосс/г/2е /ьм/г) ' Уз(п(сс(1/2)/соз(ес,1/2)) = (6-97) = (у2/Г, )Сап(со,1/2) . (6-98) со = (2/г )Сап(сод/2) . Из (6-98) мы получаем полезное соотношение, выражающее частоту г-области со,счерез частоту х-области со„ со,с =2сап С(со г,/2).
(6-99) Важное соотношение (6-99), которое несет ответственность за деформацию частот при билинейном преобразовании, показано графически на рисунке 6.30. Рис. 6.30. Нелинейное соотношение между частотой г-области соо и частотой з-области оса Заметим, что, поскольку при больших со„значение сап С(со„т,/2) приближается к л/2, со,с должна приближаться к вдвое большему значению, или л. Это значит, что, какой бы большой ни была частота со, частота г-плоскости щн никогда не превысит л. Помните, как мы рассматривали рисунок 6.14 и утверждали, что достаточно рассматривать только диапазон частот от — л/, до +л/с радиан/сек на г-плоскости? Наше новое отображение, связанное с билинейным преобразованием, отображает всю х-плоскость на г-плоскость, а не только полосу, показанную на рисунке 6.14.
Теперь, если продвижение по оси ссо на х-плоскости в любом направлении приводит нас в бесконечность, то перемещение по половине единичной окружности в направлении против движения часовой стрелки соответствует нашему перемещению от со = О до со = +со радиан/сек. Итак, билинейное преобразование отображает всю ось частот)со в х-плоскости на единичную окружность в г-плоскости. Мы иллюстрируем эти свойства отображения билинейного преобразования на рисунке 6.31. Если мы теперь приравняем действительные и мнимые части (6-97), мы увидим, что ст = Ои 267 6.5. Метод п секти ованияБИХ- ильт ов...
Чтобы показать практические последствия деформации частот, свяжем частоты з-плоскости и г-плоскости с более практичной мерой частоты дискретизации /к Мы делаем это, вспомнив, что /= в/2л. (6-100) Используя (6-100) в (6-99) получаем 2л/» = 2гап ~(2л1', г, /2) . (6-101) Подставляя 1/~; вместо г, мы решаем (6-101) относительноЯ~ и получаем /» = (2/2л)Сап ~~(2л/ //;)/2~ = [Гап т(л/ Д' )]/л. (6-102) Рис.
6.31. Отображение з-плоскости наг-плоскость при билинейном преобразова- нии Соотношение (6-102), связывающее частоты / и /», показано графически на рисунке 6.32 (а) в долях частоты дискретизации /,. Искажение частоты /, при преобразовании в /» показано на рисунке 6.32 (Ь), где полосовая АЧХ аналогового фильтра ф„(~' ) ~ подвергается сжатию по частоте при преобразовании в ~НЯ»Я. Обратите внимание на то, что низкочастотная часть |Нф») ~ БИХ-фильтра примерно линейна, а высокочастотная часть сильно сжата. Это и есть проявление деформации оси частот.
Этот рисунок показывает, почему при билинейном преобразовании наложения возникнуть не могут. Независимо от формы и ширины АЧХ Щ,(~, ) ~ аналогового прототипа никакая ее часть не может выйти за пределы половины частоты дискретизации/, /2 в ~Нф») ~, и это делает билинейное преобразование таким популярным. Проектирование БИХ-фильтров с помощью билинейного преобразования выполняется в следующей последовательности: Шаг 1. Получить передаточную функцию аналогового фильтра-прототипа Н,(з) в форме (6-43). Шаг 2. Определить частоту дискретизации цифрового фильтра /', и вычислить период дискретизации г, = 1// Шаг 3.
Подставить в передаточную функцию Н,(з) вместо з выражение (2//г/)[(1 — г ~)//(1+ г ~)) (6-103) и получить передаточную функцию БИХ-фильтра Н(г). Шаг 4. Умножить числитель и знаменатель Н(г) на (1+г /) в соответствующей степени и выполнить преобразования, чтобы получить передаточную функцию в виде Н(г) = [ Я//(к)г « ')/ [1 — Яа®г «). (6-104) «-/) Шаг 5. Как и в случае метода инвариантного преобразования импульсной характеристики, мы можем прямо по передаточной функции записать разностное уравнение БИХ-фильтра 0 5/ 0.4/, о.з/, (а) О 2/, о)/, о 0 0.5/~ /з с5/, 2/ 2.5/, 3/, 3 ге 4/, 4.5/~ 5« в (ь) )н,(/,)) Рис.
6.32. Нелинейность соотношения частот 10 и 1: (а) кривая искажения частот, промасштабированная относительно частоты дискретизации БИХ-фильтра 1; (Ь) преобразование частотной характеристики аналогового прототйпа Н,(10) в частотную характеристику дискретного БИХ-фильтра Н,(1,) 268 Глава б. Фильт ы с имп льснойха акте истикой бесконечной длины 6.5. Метода оекти ованияБИХ- ильт ов..'.
269 у(п) = Ь(0)х(п) + Ь(1)х(п — 1) + Ь(2)х(п — 2) + ... + Ь(Ь?)х(п — Н) + + а(1)у(п — 1) + а(2)у(п — 2) +... + а(М) у(п — М) (6-105) Хотя уравнение (6-105) справедливо только для структуры фильтра на рисунке 6.18, для завершения проектирования мы можем использовать коэффициенты а(Ь) и Ь(Ь) в улучшенной структуре БИХ-фильтра, пока- занной на рисунке 6.22. Чтобы показать, насколько прост метод билинейного преобразования, применим его для проектирования фильтра, заданного в примерах использования метода инвариантного преобразования импульсной характеристики. 6.5.1. Пример проектирования с помощью билинейного преобразования И снова наша цель — спроектировать БИХ-фильтр, который аппроксимирует аналоговый прототип Чебышева второго порядка, показанный на рисунке 6.26, неравномерность АЧХ которого в полосе пропускания равна 1 дБ.
Частота дискретизации /; равна 100 Гц (г, = 0.01), а частота среза по уровню 1 дБ равна 20 Гц. Как и раньше, имеем передаточную функцию прототипа вида Нс(х) = 17410.145/(хг+ 137.9453бх+ 17410.145). (6-106) Н,(х) = с/(х2 +Ьх + с), (6-10?) где Ь= 13794536, с=174 10. 145. Подставив (6-103) в (6-107), получаем Н(г) =с/([(2/г,)(1 — г 1)/(1+г 1)]г+Ь(2/г)(1 — г т)/(1+г 1)+с).
(6-108) Чтобы упростить немного наши выкладки, обозначим буквой а отношение 2/гт, в результате чего получаем: Н(г) =с/(а2[(1-г 1)/(1+г 1)]г+аЬ[(1 — г т)/(1+г 1)]+с). (6-109) Выполняя Шаг 4, умножаем числитель и знаменатель (6-109) на (1 + г 1) г и получаем Н(г) =с(1+г 1)г/[аг(1 — г 1)г+аЬ(1+г-г)(1 — г 1)+с(1+г-7)г] (6-110) Перемножая сомножители в знаменателе и объединяя члены с одинаковыми степенями г, приходим к Н(г) = с(1 -ь 2г 1 + г г)/ (6-111) /[(аа + аЬ + с) + (2с — 2аг)г 1 + (аг + с — аЬ)г г].
Мы почти у цели. Чтобы представить (6-111) в форме (6-104), где свободный член знаменателя равен 1, разделим числитель и знаменатель (6-111) на (аг + аЬ + с), что даст нам выражение и г, — 0.01, что позволяет нам перейти к Шагу 3. Для удобства заменим числовые константы в (6-106) переменными: 270 Глаааб. Фильт ысимп льснойка акте истнкойбесконечнойдлнны Н(г) = (с,'(аг ч- аЬ -«с)1(1 + 2г ~ + г г)/ (6-112) 7(1+1(2с — 2аг)/(аг+ аЬ + с)~ г ~ -«1(аг -«с — аЬ)/(аг+ аЬ «с)) г г) . Теперь (6-112) выглядит похоже на требуемую форму (6-104). Если мы подставим значения переменных а = 2/г, = 200, Ь = 137.94536 и с = 17410.145 в (6-112), мы получим передаточную функцию БИХ-фильтра: Н(г) = 020482712(1+ 2г ~ + г г)/(1 — 0.53153089г ' + ОЗ5083938г г) = = (0.20482712 + 040965424г ~ + 0.20482712г г)/ (6-113) /(1 — 0.53153089г ~ + 035083938г г) Рассмотрев (6-113), мы можем записать разностное уравнение БИХ-фильтра: у(п) = 0.20482712'х(п) + 0.40965424 'х(п — 1) + 0.20482712 'х(п — 2) + (6-114) + 0.53153089 у(п — 1) — 035083938 у(п — 2).
АЧХ спроектированного методом билинейного преобразования фильтра показана черной линией на рисунке 6.33 (а), где для сравнения мы показали серой линией результат использования метода инвариантного преобразования импульсной характеристики. Обратите внимание на то, что АЧХ фильтра, полученного с помощью билинейного преобразования, стремится к нулю по мере приближения частоты к частоте заворота/; /2 = 50 Гц. Так и должно быть — в этом и состоит главная задача метода билинейного преобразования.
Рисунок 6.33 (Ц демонстрирует нелинейную ФЧХ БИХ-фильтра. Нам так и хочется сказать, что билинейное преобразование не только проще реализуется, чем инвариантное преобразование импульсной характеристики, но оно еще и дает фильтры нижних частот со значительно более крутой переходной полосой. Да, деформация частотной оси сжимает, делает более крутой, переходную полосу фильтра, как мы видели на рисунке 6.32, но дополнительной причиной улучшения АЧХ является увеличение сложности реализации БИХ-фильтра.
Мы видим это, изучая структуру фильтра, показанную на рисунке 6.34. Заметьте, что наш новый фильтр требует пять умножений на выходной отсчет, тогда как фильтр, полученный методом инвариантного преобразования импульсной характеристики, на рисунке 6.28 (а) требует всего трех умножений на выходной отсчет. Дополнительные умножения необходимы для дополнительных цепей прямой связи. Дополнительные коэффициенты Ь(Ь) в Н(г) соответствуют нулям на г-плоскости, созданным билинейным преобразованием, которые отсутствуют при инвариантном преобразовании импульсной характеристики. Поскольку аналоговый прототип, использованный в примерах, имел частоту среза, равную 1; /5, на рисунке 6.33 мы не заметили влияния искажения частот.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
