Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095938), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Уровни мощности (квадрат модуля ДПФ) на рисунке 3.22 (а) нормированы так, что мощность наибольшего бина принята за 0 дБ. Поскольку мощность исходного тона меньше мощности шума, при й1 = 64 обнаружить его не так просто. (Шум во временной области, использованный для генерации сигнала, представленного на рисунке 3.22 (а), имеет нулевое среднее, т. е, не содержит постоянной составляющей, или смещения уровня.) Если же мы увеличим количество отсчетов в четыре раза и размер ДПФ до Ю = 256, мы увидим, как мощность тона поднимается над уровнем шума на бине т = 80 на рисунке 3.22 (Ъ). Повышение размера ДПФ до )ч' = 1024 дает дополнительное улучшение, так что спектр тона еще больше поднимается над уровнем шума, как показано на рисунке 3.22 (с).
Чтобы численно оценить улучшение ДПФ, мы можем определить отношение сигнал/п1ум как отношение уровня мощности сигнала к уровню мощности шума в частотной области. (Конечно же, на практике нам хотелось бы, чтобы это отношение было как можно больше.) Есть ряд причин, по которым трудно предсказать, каким будет отношение сигнал/шум для любого конкретного ДПФ. Это объясняется Глава 3. Диск етное преобразование Фурье 104 тем, что мы не можем точно предсказать энергию данных И отсчетов случайного шума. Кроме того, если частота сигнала не совпадает с центральной частотой бина, возникающая при этом утечка приводит к повышению уровня шума и снижает отношение сигнал/шум.
В дополнение к этому, любое используемое окно оказывает влияние на уровень утечки и, следовательно, на отношение сигнал/ шум. Единственное, что мы можем сказать наверняка, это то, что отношение сигнал/шум растет с ростом М, потому что стандартное отклонение (СКЗ) шума для бина ДПФ пропорционально 3'Х, а величина бина, в котором находится сигнал, пропорциональна И. В более общем виде для действительного входного сигнала, если Х ) М; отношение сигнал/шум при И-точечном ДПФ ЯМКАМ возрастает по сравнению с отношением сигнал/шум Мсточечного ДПФ БМКМ' в соответствии с соотношением: 5ИК24 = Бти + 20)ов10('и/т) (3-33) -15 -20 -25 о 10 15 20 26 30 Номер бина ДПФ (Ы -15 -20 -26 -зо -35 о 40 60 60 р 100 120 на Номер бина ДПФ го -10 (о1 -го -ЗО О 0 100 200 300 400 500 Номер бина ДПФ Рис.
3.22. Улучшение отношения сигналаашум при одном ДПФ: (а) И=64; ((3) И=256; (с) И= 10к4 3. )2. Коэ ициент л чшенияДПФ 30 35 зо 25 (д) 20 1О о о оаа зоо 1оаа и 200 30 35 зо 25 (Ь) 20 15 10 о 1 1ООО 1аа 1О Рис. 3.23. Козффициент улучшения ДПФ в зависимости от размера ДПФ Идля разных значений отношения сигнал/шум на входе; (а) линейный масштаб по оси И; (Ъ) логарифмический масштаб по оси И Если мы повышаем размер ДПФ с И'до У = 2Х; согласно (3-33) отношение сигнал/шум возрастает на 3 дБ.
Мы поэтому говорим, что коэффициент улучшения ДПФ увеличивается на 3 дБ при каждом удвоении И, Имейте ввиду, что в присутствии случайного шума удвоение размера ДПФ может увеличить отношение сигнал/шум меныпе, чем на 3 дБ, С другой стороны, мы можем получить улучшение немного больше, чем 3 дБ. Это зависит от природы случайного шума. Если мы выполняем много ДПФ, мы можем получить средний коэффициент улучшения для разных отношений сигнал/шум на входе, как показано на рисунке 3.23 (а).
Поскольку нас интересует наклон кривых на рисунке 3.23 (а), мы начертили их в логарифмическом масштабе для Ж на рисунке 3.23 (Ъ), прн этом кривые линии превратились в прямые. Глядя па графики рисунка 3.23 (Ъ), мы можем ясно видеть увеличение отношения сигнал/шум на 3 дБ при удвоении Х, если И превьппает 20 — 30, а сигнал не слигцком сильно спрятан в шуме. Абсолютныеые значения, изображаемые графиками на рисунках 3.23 (а) и 3.23 (Ъ) не являются незыблемыми. Они были получены путем моделирования шума и тона, Глава 3. Диск етное п еоб азование Ф ье частота которого совпадала с центром бина. Если бы частота тона была расположена между центрами бинов, эти кривые опустились бы ниже, но их форма осталась бы такой же', т.
е. (3-33) выполняется независимо от частоты тона. 3.12.2. Улучшение интегрирования при усреднении нескольких ДПФ Теоретически мы могли бы получать неограниченно большие коэффициенты улучшения, увеличивая размер ДП Ф. Проблема состоит в том, что количество операций умножения при выполнении БПФ растет пропорционально У~, и вычисление ДПФ длинных последовательностей становиться трудоемким.
Поскольку операция сложения выполняется проще и быстрее, чем умножение, мы можем усреднять результаты нескольких ДПФ для повышения коэффициента улучшения и чувствительности при обнаружении сигналов. Усреднение результатов ДПФ рассматривается в разделе 11.3. 3.13. ДПФ прямоугольных функций Мы завершаем эту главу, предлагая вашему вниманию математические детали двух важных аспектов ДПФ. В первую очередь мы получим выражения для ДПФ прямоугольной функции (прямоугольцого окна), а затем мы используем эти результаты для иллюстрации частотной характеристики ДПФ. Частотная характеристика ДПФ интересует нас потому, что она дает альтернативную точку зрения для понимания утечки, которая возникает при использовании ДПФ как инструмента анализа сигналов.
Вычисление ДПФ прямоугольной функции является наиболее распространенной и важной операцией в области цифровой обработки сигналов. Мы встречаемся с ним в теории дискретизации, теории окон, в обсуждении свертки, в спектральном анализе и в проектировании цифровых фильтров. Несмотря на такое широкое распространение ДПФ прямоугольных функций, литература, посвященная этому предмету, может оказаться слишком сложной для начинающих в области цифровой обработки сигналов по нескольким причинам.
На первых порах стандартные математические обозначения воспринимаются трудно, а выкладки иногда подаются со слишком скудными пояснениями. Проблема для новичков усугубляется тем, что для ДПФ существуют разные выражения. В литературе мы можем найти все перечисленные ниже формы ДПФ прямоугольной функции: РЕТ„р„„,„„ц„„„„„= ~з1п(х)Уяп(х/ДГ)], или яп(х)/х, или яп(й(х/2)/яп(х/2) . (3-34) В этом разделе мы покажем, как получены все формы в (3-34), увидим, как они связаны друг с другом и создадим таблицу, которая призвана сыграть роль ! Графики сместятся вниз, свидетельствуя о понижении отношения сигиалушум, потому что утечка приведет к повышению средней мощности шума, а гребешковые искажения понизят мощность бина. 3.
13. ДПФ п ямо гольных нкций 107 Розеттского камня и позволяет переходить от одной формы выражения для ДПФ к другой. Вдохните поглубже, и начнем с определения прямоугольной функции. 3.13.1. ДПФ обобщенной прямоугольной функции Обобщенную прямоугольную функцию х(п) можно определить как )з!отсчетов, среди которых имеется К отсчетов, равных единице, как показано на рисунке 3.24. Полная Ж-точечная последовательность х(п) и есть прямоугольная функция, которую мы хотим преобразовать. Мы называем зту форму обобщенной формой прямоугольной функции, потому что пакет К единичных отсчетов начинается в произвольный момент времени — по.
Вычислим ДПФ последовательности х(п), показанной на рисунке 3.24 и получим требуемый результат Х(т). Используя индекс т для нумерации отсчетов в частотной области, мы можем записать выражение для 1з!'-точечного ДПФ в виде )У~2 Х(т) = ~~ь'х(п)е — 12лпт/и (3-35) и- .(Х/2) з-1 Поскольку отсчеты х(п) отличны от нуля только в диапазоне — по < п < — п, + (К вЂ” 1), мы можем изменить пределы суммирования в (3-35) и выразить Х(т) как — и а(К-1) о Х(т) = ~~~„х(п)е Ч2лил'/)У, (3-36) и- — л о потому что только К отсчетов вносят вклад в значение Х(т).
Этот последний шаг важен, т. к. он позволяет нам избавиться от х(п) и сделать (3-36) более простым для последующих манипуляций. Чтобы немного облегчить восприятие последую!цих выражений, введем обозначение гу = 2пт/М. л(и) — — К— ! а ° па ° а ° ° а ° а ° а ° ° ° ° а- ° -а-Ь А Л и — а-а- ° -а-а-а- -а.а-а- ° ° о "= ио'(К!) Мг и = -и„ - Н)2 а1 Рис. 3.24. Прямоугольная функция шириной К отсчетов на интервале в )ч отсчетов, где К<И Итак, теперь на сцену выходит алгебра. Опускаем множитель ) под знаком суммы и получаем — п л(К-1) о Х(д) =Х е-)чл = л- — и о Š— 1!)( — ло) + е — 1ч( — лоа1) ч- е — 1ч( поа2) + ...
+ е — )ч! !— лоз (К вЂ” 1)! = ! См. примечание и конце раздела 8.3 — (лрим ред перев.). 108 ГлаваЗ.Диск втновп еоб азованиеФ ье = е 1У( ло) е — 109 + е-1Ч( — ло) е-119 + е Рт( ло) е 12Ч + ... + е зд( — ло) е — зд(К вЂ” 1) = ЕЗЧ(ло) [Е 10Ч+ Š— 11Ч + Š— 12Ч Ч- Ч Е вЂ” 14(К-1) ] (3-37) Ряд в квадратных скобках в (3-37) можно просуммировать, так что К-1 Х(д) = е1ч(ло)Х е зрч (3-38) Р=О Выражение (3-38), конечно же, выглядит ничуть не проще, чем (3-36), но на самом деле оно проще.
Выражение (3-38) есть не что иное, как сумма геометрической прогрессии и, согласно сказанному в приложении В, ее можно выразить в замкнутой форме вида К-1 ~~~, е урч = (1 — е — ьтк)/(1 — е-зч) (3-39) р-О Теперь мы можем упростить (3-39), что вполне уместно здесь. Если мы умножим и разделим числитель и знаменатель в правой части (3-39) на экспоненту, показатель степени которой разделен на два, мы разделим экспоненты на две части каждую и получим К-1 е урч = [е — 1дк/2(езчк/2 е — зчк/2)]/[е-зч/2(езч/2 е 1ч/2)] р=е = е зч(к-1Р2(езчкз2 — е-зчк22)/(езчl2 — е-зчз'2) (3-40) = е зч(к 1)/2[з1п(дК/2)]/[зт(д/2)] (3-41) Подставляя (3-41) вместо суммы в (3-38), получаем выражение для Х(д) Х(д) = езч(л ) е зч(к 1У2[з(п(дК/2)]/[з(п(д/2)] = = езч(ло(к-1)/2) [з)п(дК/2)],з[сйп(д/2)].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
